柯西-施瓦茲不等式證明方法探討

摘要：柯西—施瓦茲不等式是高等代數中非常重要的一個不等式.本文通過微積分學第一基本定理、函數方法等證明柯西—施瓦茲不等式，并闡述相關定理的證明，通過例子說明其應用。

關鍵詞：柯西—施瓦茲不等式 定理 證明

1.微積分學第-基本定理證明柯西—施瓦茲不等式

設[fx]連續，則[ddxaxfxdt=fx]，這是一個十分重要的公式.今用它來證明柯西-施瓦茲不等式.

設函數[fx]、[gx]都在[a，b]上連續，證明柯西-施瓦茲不等式[abfxgxdx2≤abf2xdx?abg2xdx]

證明： 將[b]變為參數[x]，引進輔助函[Fx=axftgtdt2-axf2tdt?axg2tdt]

顯然[Fa=0]，[Fb=abfxgxdx2-abf2xdx?abg2xdx]，因此只要證明[Fx]單調減少，從而只要證明[F′x≤0]便可.而 [F′x=2axftgtdt?fxgx-f2xaxg2tdt-g2xaxf2tdt]

=-[axfxgt-ftgx2dt≤0] 滿足要求.

2.函數法證明柯西-施瓦茲不等式

對于任意實數[ai，bi][i=1，2，?，n]，證明：

[a1b1+a2b2+?+anbn2][≤][a21+a22+?a2n][b21+b22+?b2n]

對于任意實數[ai，bi][i=1，2，?，n]，

多項式[b1x-a12+b2x-a22+?bnx-an2]恒不為負，即為一切實數[x]，有

[fx=b21+b22+?b2nx2-2a1b1+a2b2+?+anbnx+a21+a22+?a2n≥0].

從而 方程[fx=0]的判別式

△[=-2a1b1+a2b2+?+anbn2-4b21+b22+?b2na21+a22+?a2n≤0].

即[a1b1+a2b2+?+anbn2][≤][a21+a22+?a2n][b21+b22+?b2n]，當且僅當[fx=0]，有二重根[x=k]時取等，此時[b1k-a12+b2k-a22+?bnk-an2=0]，即[ai=kbii=1，2，?n].

3.柯西-施瓦茲不等式的應用

定理 3.1： 對于[n]個正數：[a1，a2，?，an]，有[(a1+a2+?+an)n][≥][a1a2?ann]并且當且僅當[a1=a2=?=an]時等號成立.

例1.(1989年全國高中數學聯賽第一試第三題)已知[a1，a2，?，an]是[n]個正數，滿足[a1a2?an=1].求證[2+a12+a2?2+an≥3n].

分析：注意到不等式右邊的底數是[3]故只要將不等式左邊[2+ai]拆成[1+1+ai]，用三個正數的平均值不等式即可.

證明：利用平均值不等式[a+b+c≥3abc3] ([a，b，c]為正數)，有

[2+ai]＝[1+1+ai][≥3ai3][i=1，2，?，n]

[2+a12+a2?2+an≥3n][?a1a2?an3=3n]

定理3.2：如果[a1，a2，?，an]與[b1，b2，?，bn]是兩列正數，[k=1na2kbk][≥][k=1nak2k=1nbk]，并且當且僅當[a1b1=a2b2=…=anbn]時等號成立.

例3：設[x，y，z∈R+]且[x+y+z=1]，求證[x2+y2+z2≥13，][1x+1y+1z≥9.]

證明：由定理3.2知 [x2+y2+z2=x21+y21+z21≥x+y+z2(1+1+1)=13]

[1x+1y+1z=12x+12y+12z≥1+1+12(x+y+z)=9]，

[∴] [x2+y2+z2≥13] [1x+1y+1z≥9.]

當且僅當[x=y=z=13]時，兩式等號成立.

參考文獻:

[1] 王萼芳，石生明.《高等代數（第三版）》[M].北京：高等教育出版社，2005.4

[2] 安錚.淺談與柯西-施瓦茲不等式有關的一些不等式[J].烏魯木齊成人教育學院學報，1996，7（1）：35-39

[3] 曾德備.Cauchy不等式的拓廣[J].玉溪師專學報（自然科學版），1996，8（6）：494-497

作者簡介：

李元玉（1963- ），女，重慶市合川區人，大學本科，重慶水利電力職業技術學院副教授，主要從事高等數學的教學與研究。