自主實踐探究，提升綜合能力

【設計理念】

《表面積的變化》是蘇教國標版十一冊“長方體和正方體”單元最后安排的“綜合與實踐”內容。通過用若干個相同的小正方體擺成一排或多排拼成一個長方體或正方體后，了解其體積不變，但表面積卻發生了變化。為什么表面積會發生變化？表面積又是如何變化的？其中隱含著什么樣的數學規律？它與現實生活有什么聯系？如何運用其變化規律解決實際問題？對于課題研究內涵的追問有利于突出數學的本質，體現了“綜合與實踐”以“自主合作探究”為主要學習方式的選擇，有利于培養學生的問題意識、應用意識和創新意識，積累學生的學習活動經驗，提高學生綜合運用有關的知識與方法解決實際問題的能力。

學習活動的設計以“板塊式”的結構呈現，通過創設問題情境，激發學生的自主探究意識；通過直觀形象的實物操作與合作交流，引導學生發現數學問題，探究數學規律，積累數學活動經驗；通過實踐應用提升數學思考，解決實際問題，體驗數學價值。活動設計以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，讓他們有足夠的時間和空間，經歷觀察、實踐、猜測、計算、推理、驗證、應用等活動過程。突出學生的“主角”地位：問題讓學生發現，操作讓學生自主，思考讓學生獨立，交流讓學生表達，規律讓學生探索。引導學生從生活問題中發現和提煉數學問題，探索和應用數學規律解決生活問題。

【教學目標】

1.基礎知識。

通過實踐發現若干相同正方體（或長方體）拼成長方體后體積不變而表面積發生變化的數學現象。

通過動手操作、觀察比較、推理驗證等方式，探索把幾個相同的正方體（或長方體）拼成長方體（或正方體）后表面積變化的規律。

2.基本技能。

掌握動手操作的技能和多層次觀察對比的方法；培養善于作出合理的歸納和合乎邏輯的分析技能；發展空間觀念和形象思維的技能。

能應用表面積變化的規律，合理解決生活中的實際問題。

3.基本思想。

理解數學和生活的密切聯系，體現數學的應用價值；理解化復雜為簡單的學習思想，發展兒童的直覺思維和簡單思維，形成抽象的數學思維。

4.基本活動經驗。

在實踐操作和合作交流中，獲取豐富的感性認識和直接經驗，發展數學思考，積累探索數學規律、解決數學問題的活動經驗。

【教學過程與意圖】

活動一：嘗試設計，引發數學思考

工廠要設計一種正好能放置12個魔方的包裝盒，要求盡可能少用包裝材料，你能幫忙嗎？

（1）可以用正方體木塊擺一擺、畫一畫，也可以用算式表示出來。

（2）還有不同的方案嗎？同桌相互交流一下。

（3）匯報交流：

（4）提出猜想：哪種方案可能被選中呢？說說你的想法。

（5）這種設計方案隱藏著一個數學秘密，相信通過今天的學習，大家一定能破解這個秘密。

【通過創設具體的生活情境，激發學生的學習興趣和探究欲望；鼓勵相互合作交流，表達自己的思維過程，互相啟發，開放學習的情境和方式，既培養學生的發散思維，又體現因人施教，滿足不同層次的孩子的學習需求，發展他們的學習潛能。】

活動二：探究規律，發展數學思考

操作1：用兩個相同的小正方體拼成一個長方體，研究表面積變化的規律。

（1）呈現一個棱長是1分米的正方體（魔方），它的表面積和體積各是多少？

（2）用這樣兩個相同的正方體拼成一個長方體后，你有什么發現？

用桌上的小正方體拼一下，將自己的發現與同桌交流。

（3）匯報討論：（可以通過觀察、計算等方法得出結論，鼓勵方法多樣性。）

①把兩個小正方體拼成一個長方體后，體積變化了嗎？把三個或更多個相同的小正方體拼成長方體后，體積會變化嗎？

②把兩個小正方體拼成一個長方體后，表面積與原來兩個小正方體表面積的和比較，你有什么發現？

表面積變化了，減少了原來兩個面的面積。（讓學生指出減少的面在哪里。）

（4）引導小結：剛才我們用兩個相同的小正方體拼成一個長方體后，發現它們的體積沒有變化，表面積發生了變化，原來一共有12個面，拼成長方體后減少了原來兩個面的面積。大家閉上眼睛想象一下，如果用3個同樣的小正方體拼成一個長方體后，表面積有什么變化？（如想象不出來，可以動手拼一下。）

【通過動手拼一拼、看一看、指一指、想一想等活動，讓學生體會到把兩個相同的小正方體拼成長方體后表面積發生了變化，比原來減少了2個面的面積，把3個小正方體拼成長方體后，比原來減少了4個面的面積。這樣直接鏈接學生的活動經驗，立足學生的思維起點，用直觀實例培養學生的直覺思維，發展空間觀念，同時兼顧學生的個性化學習。】

操作2：用多個相同的小正方體擺成一排拼成長方體，進一步探究規律。

（1）通過剛才的學習，我們發現將相同的小正方體拼成長方體后，表面積會發生變化，（把表中前面兩列填上）這種變化有什么規律嗎？

（2）學生自己猜想、操作、探究、推理、驗證，發現把4個、5個、6個相同的小正方體拼成一排成為長方體后表面積的變化。把相關數據填在表中，并相互交流。

（3）發現規律：你能聯系操作和填表的過程，說說自己發現的規律嗎？（給予充分時間讓學生討論、交流。）

規律一：把相同的正方體擺成一排拼成長方體，正方體的個數越多，表面積減少得越多，則長方體的表面積就越小；

規律二：相同的正方體擺成一排拼成長方體，有一個拼接處，表面積就減少2個正方形面的面積。

（4）深化規律：如果把10個相同的小正方體拼成一排成為長方體后，表面積將減少幾個正方形的面積？如果是N個呢？你有什么新發現？（交流、討論。）

規律三：每多一個正方體（每拼一次），表面積就多減少2個正方形的面積；

規律四：正方體的個數減1就是拼的次數，再乘2就是減少了多少個正方形的面積。即：把N個小正方體拼成一排成為長方體后，減少（N-1）×2個正方形的面積。

【通過把多個小正方體拼成一排成為長方體，讓學生邊操作、邊思考，進一步發現表面積隨著正方體個數的變化而變化，初步感知這種變化存在一定的規律，在操作中讓學生的頭腦中顯現“拼”的過程。再通過觀察、比較、推理、驗證，經歷由特殊到一般，歸納提煉出表面積的變化規律，既突出了學生的自主探究，同時也強化了學習活動的“數學味”。】

操作3：探究用多個相同的小正方體拼成不同的長方體后表面積變化規律。

（1）分別用4個、6個、8個相同的小正方體拼成不同的長方體，你能發現哪種拼法的表面積最大？哪種拼法的表面積最小？

每位同學任意選一個完成，可以通過操作、畫圖、列算式等方式來發現規律。

（2）匯報交流：

（3）總結規律：把多個小正方體拼成不同的長方體后，表面積發生了變化。其中，拼成的長方體為“一”字形時，表面積最大；當拼成的長方體是正方體或最接近正方體（長寬高最接近）時，表面積最小。

【在把多個相同的小正方體拼成一排長方體的基礎上，通過操作、畫圖、列式、計算、比較等方法，探究將多個小正方體拼成不同的長方體后表面積的變化規律，既強化了學生的操作技能訓練，又發展了學生的空間觀念；既培養了學生思維的靈活性和深刻性，又強化了數學與生活的聯系；同時也為進一步的探究提供了思維和方法的基礎。】

活動三：應用規律，提升數學思考

（1）探究把兩個相同的長方體拼成大長方體后表面積的變化規律。

①用兩個相同的長方體（長5厘米、寬4厘米、高3厘米）拼成一個大長方體，有幾種拼法？小組合作完成后交流。

②拼成大長方體后，你有什么發現？表面積是怎么變化的？

拼成大長方體后，表面積變了，都比原來減少了兩個面，但不同的拼法減少的面積也是不一樣的。

③你發現拼成的哪個大長方體的表面積最大？哪個最小？（組織學生交流討論。）

④怎么驗證你的發現呢？引導學生通過估算或計算來驗證自己的發現。

三個長方體表面積減少分別是：5×4×2=40(平方厘米)，5×3×2=30（平方厘米），4×3×2=24（平方厘米）

減少的面積越少，拼成的大長方體表面積就越大，減少的面積越多，拼成的大長方體表面積就越小。

【由于學生已經有了前面的操作與認知基礎，該活動鼓勵學生用自己喜歡的方法來探索思考，如實物拼擺、畫圖示意、想象估算、計算比較等，通過自主探究來發現各種不同的拼擺方式的表面積變化規律，進一步發展空間觀念，積累數學經驗，做到潤物無聲的教學效果。】

（2）解決問題：回到一開始的魔方包裝盒設計，你現在知道哪個設計方案符合要求嗎？

設計要求包裝材料最少，就是要求包裝盒的表面積最小，根據剛才總結的規律，顯然是3×2×2這個方案符合要求。

（3）實踐應用：把10只火柴盒包裝成一包，有哪些不同的方法？怎樣包最節省包裝紙？

①小組合作完成，有幾種不同的包裝方法？

②交流討論：哪種方法最節省包裝紙呢？（比較中說明理由。）

根據前面拼正方體或長方體的經驗：重疊的面越大，表面積減少越多；兩兩相拼的次數多，表面積減少也多。這兩條要靈活地綜合應用，才能得到理想的方案。

【在這個“拼拼說說”環節，主要是運用規律解決實際問題。讓學生在小組里拼一拼、比一比、說一說，根據總結出來的相關規律，解決生活中的相關問題，在這個過程中，強化認知，熟練技能，掌握規律，解決問題，進一步培養學生的空間觀念和思維能力，感受數學來源于生活又服務于生活，體驗數學的價值。】

寫在后面：

根據“綜合與實踐”課型的特點和要求，本設計以“為學生提供良好的數學教育，讓不同的學生在數學上得到不同的發展”為宗旨，立足于培養學生的問題意識、應用意識和創新意識，積累學生的活動經驗，提高學生綜合運用數學知識和方法解決實際問題的能力。本設計改變傳統的教學結構，以實踐活動為載體，通過拼一拼、擺一擺、比一比、想一想、算一算、說一說等活動，激發學生自主參與、全程參與、積極動腦、動手、動口，讓規律成為每個學生的發現；鼓勵學生勤于實踐、合作探究、交流共生、學以致用；促進學生長知識、長智慧、長能力，體驗數學的魅力與價值。

（作者單位：江蘇省淮安市實驗小學）