數學歸納法的應用

[摘 要]數學歸納法是一個常用的數學工具，在猜想證明的數學問題上表現出了它的強大作用。在教學中，教師可以將它用于整除問題、證明恒等式問題和不等式問題。

[關鍵詞]歸納法；數學；應用

數學歸納法是證明與自然數有關的命題的一種方法，應用廣泛。在最近幾年的高考試卷中體現的特別明顯，以下通過幾道高考試題來談一談數學歸納法的應用。

一、用數學歸納法證明整除問題

用數學歸納法證明整除問題時，首先要從要證的式子中拼湊出假設成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式（數）整除，這是數學歸納法證明問題的一大技巧。

〔例1〕 求證：5個連續自然數的積能被120整除。

證明：

1.當n=1時1×2×3×4×5=120，能被120整除，原命題成立。

2.假設當n=k時原命題成立，則當n=k+1時

（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）（k+5）

=k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）+5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）

因為k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍數，

只需證5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍數，

即欲證（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是24的倍數，四個數中兩奇兩偶，一定有4的倍數，3的倍數，還有另一個偶數，所以一定能被4×2×3=24整除。即當n=k+1時原命題成立。

所以，綜合1、2，原命題對任何自然數成立。

二、用數學歸納法證明恒等式問題

對于證明恒等的問題，在由證等式也成立時，應及時把結論和推導過程對比，也就是我們通常所說的兩邊湊的方法，以減小計算的復雜程度，從而發現所要證明的式子，使問題的證明有目的性。

〔例2〕 是否存在常數a，b，c，使得等式

1·22+2·32+n·（n+1）2=■（an2+bn+c）對一切自然數n成立？并證明你的結論。

解：假設存在a，b，c，使得題設的等式成立，則當n=1，2，3時也成立，代入得

4=■（a+b+c）22=■（4a+2b+c）70=9a+3b+c

解得a=3，b=11，c=10，于是對n=1，2，3，下面等式成立：

1·22+2·32+n·（n+1）2=■（3n2+11n+10）

令Sn=1·22+2·32+…+n·（n+1）2

假設n=k時上式成立，即Sk=■（3n2+11k+10）

那么Sk+1=Sk+（k+1）（k+2）2

=■（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2

=■（k+2）+（3k+5）+（k+1）（k+2）2

=■（3k2+5k+12k+10）

=■［３（k+1）2＋11（k+1）+10］

這就是說，等式當n=k+1時也成立。

綜上所述，當a=3，b=11，c=10時，題設的等式對一切自然數n都成立。

三、用數學歸納法證明不等式問題

用數學歸納法證明一些與有關的不等式時，推導“n=k+1”時成立，有時要進行一些簡單的放縮，有時還要用到一些其他的證明不等式的方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法等等。

數學歸納法的運用是非常廣泛的，它在猜想證明中的作用是非常明顯的。

責任編輯 一 覺