上一節有生命的課

一、我想上節怎樣的課？

“整數除以分數”是學生在學習了“分數除以整數”之后的教學內容。根據學習經驗，學生會類推出整數除以分數，就等于整數乘分數的倒數。課前的學情調查也證實了這一點，所以，對學生而言，在教師的引導下，發現整數除以分數的計算方法并不是難事。那么，既然算法不是問題，教學重點又應該落在何處呢？

是讓學生實現算法多樣化，抑或是借助圖意理解算理，還是進行算法的優化？……

對于學生的數學學習，我個人更期望出現的是學生展現出的對未知領域的渴求和無畏，是一種與同伴分享探求成果的愿望和心情，是充斥著傾聽與對話、交流與理解的過程……我難以用語言去描述那充滿生命的歷程。是的，我希望這是節有生命的課。這生命是從孩子們的心中萌發的，誕生于他們對知識主動求索的過程之中，成長于他們清晰表達、尊重他人、多元理解的交流過程之中，成熟于通過數學產生的對理性精神的追求。要想達成這樣的目標，就不能簡單地將目標定位在懂算理、會算法上，也不能單純地定位在算法多樣化和算法優化上，而要以此為基礎引導學生學會思考“我是怎樣算的”、“這樣算對嗎”、“這樣算的道理是什么呢”、“這種算法對其他情況適用嗎”，這些又應當通過學生的獨立思考、合作交流和多元理解等學習活動來落實。

二、教學設計及意圖

1.談話導入。

同學們，你們喜歡動物嗎？古代有一種動物被稱作人們的郵遞員，知道它是誰嗎？鴿子每小時可飛多少千米呢？猜一猜。

【設計意圖】選擇學生感興趣的題材作為學習載體，可以有效地激發學生的學習心向。動物自古就是人類的朋友，幾乎每個人都有自己喜歡的動物，但是對動物的速度卻又未必清楚，因此通過查閱相關資料獲取一些常見動物的時速，就構成了以動物速度為對象的主題式情境串。鴿子的時速，學生不易猜對，這也正為例題的出現做足了鋪墊。

2.教學整數除以幾分之一。

（1）有這樣一組信息：一只鴿子■小時飛行12千米。你能求出鴿子1小時飛行多少千米嗎？

求鴿子1小時飛行多少千米，算式怎么列？今天這節課就學習整數除以分數。（板書課題）

你愿意自己試一試嗎？12÷■你是怎樣算的？你怎樣證明你計算的結果是正確的呢？自己獨立思考，然后在小組中交流。

【設計意圖】學生已然被吊足了胃口，問題本身又處于學生的最近發展區，那就放手讓學生去試。教師只有肯放，學生才能真正得到鍛煉，才會有充滿個性的思維。但是放，也要讓學生明白思考的方向，要學會對自己的思維過程展開監控，學會對探究的結果進行驗證，學會在后續的交流過程中理解其他的思路并主動地與自己想到的方法進行比較。否則就是“空放”，有效地放和空放的區別在于學生是否會對“是什么”與“為什么”展開理性的思考，而這正是教師作為“引導者”的職責所在。學生可能出現的解決問題的方法有：

①轉化成整數除以小數進行計算，12÷■＝12÷0.2。

②憑借直覺認為應該乘分數的倒數，用12×5計算。針對這種想法，教師要追問：為什么乘5？能解釋一下嗎？

③畫線段圖幫助分析，用12×5計算。教師應請學生在圖中找出5個12來，并且與思路②相印證。

因此教師在巡視時，可以請畫線段圖的同學板演，如果沒有發現畫線段圖的同學，可以通過提問：“你會用線段圖表示條件嗎？”線段圖是學生表述思路的重要工具，是理解算理的基礎。教師要關注數形結合方法的滲透。

（2）交流匯報：12÷■的結果是多少？你是怎么想的？

學生可能會有：

①12÷■＝12÷0.2=60。

②12÷■和12×5都是求鴿子1小時飛行的路程，應該相等。

③12÷■等于乘■的倒數。要提問：你怎么想到的？

從一個例子推想出來的結論，是否適用于所有的例子呢？這時可稱之為猜想。想證明猜想是正確的，你認為應該怎么辦？

【設計意圖】對于大部分學生來說，12除以■等于12乘■的倒數，這是在學習分數除以整數之后的一種直覺。直覺對于數學學習來說是重要的，但是對學生來說，他們要了解并且要面對的事實是“驗證”，在小學階段，多舉例不失為一種有效的驗證方法。

（3）出示下面兩題，請學生解答并說出思考過程。

①蜜蜂

②貓

這兩題的計算過程符合剛才的猜想嗎？能否說明猜想適用于所有整數除以分數的情況呢？

【設計意圖】舉例只是在用不完全歸納法在進行驗證，除了關注例子的數量之外，還要通過教學讓學生感受到：要從不同的角度去舉例。剛才的舉例只驗證了整數除以幾分之一的情況，并不能代表所有的整數除以分數的情況。

3.教學整數除以幾分之幾。

（1）出示：一只蝴蝶■小時可飛行（ ）千米，1小時可飛行多少千米？

你想知道四分之幾小時飛行的千米數？為什么？

【設計意圖】學生可能會說出想知道■小時、■小時或■小時飛行的千米數。對于■小時，應組織學生討論，因為該問題可以化歸為整數除以幾分之一，因此研究的重點應放在其他的情況，這里仍然以速度為研究對象，加強了兩個例題之間思路的統一性，即只要知道幾分之一小時飛行的千米數，就可以求出1小時飛行的千米數。下面以■小時飛行的千米數為例繼續討論。

補充■小時可飛行24千米，并在線段圖中補充相應的數據。

求蝴蝶1小時飛行多少千米，可以怎樣計算呢？先獨立思考，然后小組討論。

學生可能有：24÷■，24×■，24×3÷4，24×■×4，24÷3+24，24÷0.75……

如果24÷■也可以用24×■計算，這些算式的結果都是求蝴蝶1小時的飛行速度，結果應是相同的，請大家比較一下。

既然結果相同，那么這些算式之間有沒有內在的聯系呢？能否轉化成24×■呢？

教師引導完成：

24×■×4＝24×■

24÷3×4＝24×■×4＝24×■

24÷3+24＝24×■+24＝24×■

【設計意圖】如果說例1是對12÷■進行的算法多樣化的探究，例2就是請學生根據圖意思考解決問題的方法，可以更發散地實現解決問題路徑的多樣化，這些多樣化的算法都可以對24÷■的計算結果起到驗證的作用。其次，這些不同的方法求解的是同一個對象，其內在一定是存在著聯系的，通過推導可以進一步地感受整數除以分數的計算方法的合理性。

（2）猜想正確嗎？用不同的事例來證明猜想是非常了不起的辦法，在中學的學習中，同學們還會學習如何證明猜想。

【設計意圖】如果學生提出還需要驗證整數除以假分數，教師應該感到欣喜。可以仍然以本題為例，結合線段圖先發現幾分之一小時飛行的千米數，再求得1小時飛行的千米數，并且將所得結果與整數乘分數的倒數作比較。若有將除以分數轉化成除以小數，可以提問：兩種計算方法，哪種更方便？

計算整數除以分數，可以怎樣計算？

4.鞏固練習。

（1）口答：4÷■＝4×（ ） 2÷■＝2×（ ）

（2）想想做做第1題，口頭校對。

（3）想想做做第2題，板演校對。

（4）我們知道，蝙蝠會捉蒼蠅吃。蝙蝠除了利用超聲波之外，蝙蝠飛行速度比蒼蠅快也是有利因素。（師出示下面信息）

蒼蠅■小時可飛4千米 蝙蝠■小時可飛4千米

你能通過信息發現蝙蝠的速度比蒼蠅快嗎？請計算它們的速度各是多少？

（5）數學游戲：請每個同學想一個整數（最好想一個偶數），想好后用這個偶數除以■，除得的商不要說出來。再用商除以■，這時只要你告訴我最后的商是多少，我就能猜出你想的那個數是多少。

【設計意圖】數學游戲既訓練學生的計算技能，同時又調節課堂氣氛，為教師的“神機妙算”制造神秘感，這種充斥于學生與教師之間的師生情是學生樂學數學的情感潤滑劑。從另一個方面看，學生很快也會發現其中的“奧妙”，但是個中的原因卻需要他們學會用聯系的眼光去對兩個步驟進行分析，這種高認知水平的任務比單純的技能訓練更具有挑戰性。

三、課后的思考

上課的地點在體育館，臺下坐著黑壓壓的聽課教師。初上課時孩子們還有些拘謹，不過隨著學習活動的進行，他們也越來越放松，直至沉浸在思考問題的樂趣之中。剛下課，就有幾個孩子“不顧紀律”，跑到我的面前和我討論課尾數學游戲的“奧秘”，談論著對教學幽默的喜愛。可見，能激發學生思維樂趣的好的數學問題對學生的吸引力有多么大。同樣，如何將好的數學問題演變為有效的教學過程也需要我們思考。教師要成為組織者、引導者、合作者，組織什么、引導什么、合作什么、如何組織、如何引導、如何合作等問題仍然值得我們深思。

（作者單位：南京市建鄴區教師進修學校）