讓數(shù)學(xué)課展現(xiàn)獨(dú)有的學(xué)科魅力

分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算對(duì)小孩子們來(lái)說(shuō)是很難理解的。許多數(shù)學(xué)教育家認(rèn)為最好到初中低年級(jí)再處理這個(gè)課題。雖然對(duì)于“乘除數(shù)的倒數(shù)”本身掌握起來(lái)并不困難，但是這并不表示孩子們對(duì)這一法則已經(jīng)理解了。學(xué)習(xí)中學(xué)生如果沒(méi)有真實(shí)的體驗(yàn)、沒(méi)有真正理解所學(xué)習(xí)的法則，就不僅容易出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，對(duì)他們的思維也沒(méi)有任何促進(jìn)作用。在分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)中，只有讓學(xué)生清晰地理解計(jì)算的算理，揭示不同情境背景下的本質(zhì)聯(lián)系，才能真正掌握計(jì)算的方法。

我處理這個(gè)問(wèn)題的方法是讓學(xué)生多看一些簡(jiǎn)單的例子，在具體例子的學(xué)習(xí)中逐漸感悟到“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。本節(jié)課我充分利用分?jǐn)?shù)墻這一有效載體，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，邊操作、邊觀察、邊思考，并通過(guò)討論、交流，在理解的基礎(chǔ)上得出算法，進(jìn)而掌握算法，使學(xué)生不僅知其然，而且知其所以然。

為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，本節(jié)課我還巧妙地利用等式的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)等于這個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”，從而使本節(jié)課更加具有了“數(shù)學(xué)味”。

一、課前談話

教師播放春晚劉謙魔術(shù)表演片段（硬幣穿玻璃），激發(fā)學(xué)生興趣，為新課學(xué)習(xí)提供素材。

教師出示從網(wǎng)上購(gòu)買的蝴蝶幣，學(xué)生認(rèn)識(shí)蝴蝶幣的結(jié)構(gòu)，為下面提出數(shù)學(xué)問(wèn)題做好素材上的準(zhǔn)備。

二、探究新知

1.從劉謙魔術(shù)中蝴蝶幣談起，研究整數(shù)乘、除法知識(shí)，為學(xué)習(xí)例2積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

教師用課件出示下面左圖（桌面上放12個(gè)單幣），提問(wèn)：如果老師一拍玻璃，你們猜桌面上會(huì)出現(xiàn)幾個(gè)組合幣。

學(xué)生回答后，教師結(jié)合課件演示，由下面左圖變成右圖，體現(xiàn)“二合一”的過(guò)程。

教師提問(wèn)：剛才的思考過(guò)程，用算式怎樣表示？（12÷2=6）

教師用課件出示下面左圖（桌面上有5個(gè)組合幣），提問(wèn)：如果老師一拍玻璃，要出現(xiàn)5個(gè)組合幣，你們猜桌面上應(yīng)該放幾個(gè)單幣。

學(xué)生回答后教師課件演示，由下面左圖變成右圖，體現(xiàn)“一對(duì)二”的過(guò)程。

教師提問(wèn)：剛才的思考過(guò)程，用算式怎樣表示？（2×5=10）

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)有趣的“蝴蝶幣”游戲，結(jié)合“二合一”的演示復(fù)習(xí)整數(shù)除法的知識(shí)，結(jié)合“一對(duì)二”的演示復(fù)習(xí)整數(shù)乘法的知識(shí)。

2.教學(xué)例2的前兩個(gè)問(wèn)題，提出猜想。

（1）教師出示例2：

幼兒園李老師把4個(gè)同樣大的橙子分給小朋友。

①每人吃2個(gè)，可以分給幾人？每人吃1個(gè)，可以分給幾個(gè)人？

學(xué)生口答并列出算式：4÷2=2（人），4÷1=4（人）。

②教師課件出示：

每人吃半個(gè)，可以分給幾人？

把你的想法用圖或算式表示出來(lái)。

學(xué)生自己獨(dú)立思考，可以畫(huà)圖表示結(jié)果，也可以列式表示結(jié)果。

【設(shè)計(jì)意圖】?jī)和纳罱?jīng)驗(yàn)是理解算理的基礎(chǔ)，教師不急于出現(xiàn)■，而是充分利用學(xué)生“一半”的生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，這里的畫(huà)圖是一種非常好的教學(xué)策略，借助圖形語(yǔ)言，學(xué)生可以把自己的想法直觀地展示出來(lái)，讓我們看到學(xué)生真實(shí)的思考過(guò)程。

教師把桔子的個(gè)數(shù)改成“40個(gè)”“400個(gè)”“4000個(gè)”，讓學(xué)生回答，每人吃半個(gè)，可以分給幾個(gè)人？

學(xué)生很容易說(shuō)出：80人、800人、8000人。

【設(shè)計(jì)意圖】由“4個(gè)”變成“40個(gè)”“400個(gè)”“4000個(gè)”，在學(xué)生的腦子里“乘2”的思路已初步形成。

（2）回到剛開(kāi)始的問(wèn)題，聚焦計(jì)算過(guò)程。

結(jié)合課件演示，直觀看出計(jì)算結(jié)果是8人。

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：還有什么辦法可以推出：4÷■=8？

學(xué)生回答后，教師課件演示：

4÷■=4÷0.5=8

4÷■=（4×2）÷（■×2）=8÷1=8

【設(shè)計(jì)意圖】激活學(xué)生的已有知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生把沒(méi)有學(xué)過(guò)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的問(wèn)題解決，在算法的探究中掌握解決問(wèn)題的一些基本策略。

結(jié)合下面的課件演示，從不同視角研究得出計(jì)算結(jié)果的過(guò)程。“一個(gè)一個(gè)”地?cái)?shù)如何得到8人；“一組一組”地?cái)?shù)，如何得到8人。

進(jìn)而得到等式：4÷■=4×2。

【設(shè)計(jì)意圖】經(jīng)驗(yàn)是一種過(guò)程性知識(shí)，是在實(shí)踐活動(dòng)中所形成的一種“活動(dòng)圖式”。同樣是“8人”，但得到這個(gè)結(jié)果卻有不同的路徑，可以由直觀演示看出結(jié)果，可以把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)計(jì)算出結(jié)果，可以根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)推出結(jié)果，還可以“一個(gè)一個(gè)”數(shù)出結(jié)果，“一組一組”數(shù)出結(jié)果。結(jié)合操作和圖形語(yǔ)言，引導(dǎo)學(xué)生探索、理解計(jì)算方法，直接服務(wù)于算理的理解和掌握。在此過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)解決問(wèn)題，讓學(xué)生感受和體驗(yàn)解決問(wèn)題策略的多樣化。

（3）利用“分?jǐn)?shù)墻”幫助學(xué)生理解“4÷■=4×2”。

【設(shè)計(jì)意圖】“分?jǐn)?shù)墻”是一種非常好的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，用圖形語(yǔ)言刻畫(huà)運(yùn)算過(guò)程，幫助學(xué)生直觀理解四則運(yùn)算的算理，教學(xué)中老師組織學(xué)生進(jìn)行“圈一圈”的活動(dòng)，“幾個(gè)幾”的圖像便躍然紙上，有利于學(xué)生表象的建立，使問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系更易于理解，使抽象的算理具體化。

（4）利用“等式的性質(zhì)”推導(dǎo)“4÷■=4×2”。

設(shè) 4÷■=x

4÷■×■=x×■

4=■x

4×2=■x×2

4×2=x

4÷■=4×2

【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)旦大學(xué)張蔭南教授曾經(jīng)說(shuō)過(guò)這樣一句話：“數(shù)學(xué)家之所以有飯吃，在于能夠運(yùn)用符號(hào)獲得結(jié)果。”利用等式的性質(zhì)推出4÷■=4×2，推理過(guò)程無(wú)需現(xiàn)實(shí)情境的說(shuō)理支撐，也不用直觀演示，雖然有一定難度，因?yàn)檫@種方法具有一般性，這里還是想介紹給學(xué)生，但不作為全班要求，只是定位在“了解”的層次上。學(xué)生掌握了這種思考方法，那么接下來(lái)的分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，便很容易推導(dǎo)出等于乘分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)上，教師充分發(fā)揮自身在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的主導(dǎo)作用，在學(xué)生思維受阻的時(shí)候給予適度指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生積累科學(xué)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

也就是說(shuō)，教師要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，在學(xué)生能夠接受的情況下，應(yīng)盡可能伸長(zhǎng)“學(xué)習(xí)的觸角”，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行適當(dāng)拓展延伸，讓學(xué)生通過(guò)一節(jié)課的學(xué)習(xí)能夠收獲更多“能帶走”的東西，能夠積攢學(xué)習(xí)的“后勁”。

（5）進(jìn)一步研究算式中的數(shù)，結(jié)合“4÷■=4×2”，引導(dǎo)學(xué)生思考：■與2有什么關(guān)系？學(xué)生先獨(dú)立思考，再在小組里交流自己的想法。

（6）學(xué)生初步提出猜想：一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)，等于這個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】重視引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，建立“合理猜想”，然后加以驗(yàn)證，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維，形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和良好的思維習(xí)慣是非常必要的，這也是蘇教版教材在這個(gè)環(huán)節(jié)的重要編寫(xiě)意圖。

3.教學(xué)例2的第3個(gè)問(wèn)題。

（1）學(xué)生在教材上獨(dú)立完成，然后指名匯報(bào)。

（2）利用“分?jǐn)?shù)墻”幫助學(xué)生理解。

（3）利用“等式的性質(zhì)”自己推出。

4.教師結(jié)合圖引導(dǎo)學(xué)生思考：如果我們分的不是橙子，而是月餅，結(jié)果會(huì)怎樣呢？如果是4個(gè)蘋(píng)果、4個(gè)西瓜、4箱蘋(píng)果，結(jié)果又如何呢？

5.學(xué)生觀察黑板上的3組算式，思考：什么變了？什么沒(méi)變？你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)：被除數(shù)不變，除號(hào)變乘號(hào)，除數(shù)變成它的倒數(shù)。

引導(dǎo)學(xué)生在前面猜想的基礎(chǔ)上得出結(jié)論：一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)，等于這個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】要使學(xué)生會(huì)計(jì)算，必須使他們明確怎樣計(jì)算，也就是要加強(qiáng)法則及算理的理解。計(jì)算的算理是說(shuō)明計(jì)算過(guò)程中的依據(jù)和合理性，也就是為什么這樣計(jì)算。為了落實(shí)“四基”的培養(yǎng)目標(biāo)，使學(xué)生受到數(shù)學(xué)思想方法的熏陶，經(jīng)歷“提出猜想——驗(yàn)證猜想——得出結(jié)論”的學(xué)習(xí)過(guò)程，教師放慢了教學(xué)的節(jié)奏，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷算法的探究過(guò)程，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法，使學(xué)生享受到了獲得成功的愉悅感。

三、鞏固練習(xí)

1.畫(huà)一畫(huà)。

有1根2米長(zhǎng)的繩子。

（1）截成每段長(zhǎng)■米，可以截幾米？

列式計(jì)算：

（2）截成每段長(zhǎng)■米，可以截幾米？

列式計(jì)算：

2.填一填。

6÷■=6×（ ） 9÷（ ）=9×3

10÷■=10×（ ） 12÷2=12×（ ） 15÷（ ）=15×■

3.大嘴鳥(niǎo)吃魚(yú)。

4.拓展：根據(jù)今天的學(xué)習(xí)，你能否推出4÷■=？

學(xué)生說(shuō)出計(jì)算方法和結(jié)果后，教師借助“分?jǐn)?shù)墻”進(jìn)行驗(yàn)證。

【設(shè)計(jì)意圖】這里的練習(xí)設(shè)計(jì)有3個(gè)層次，第1、2小題為基本練習(xí)，第3題為變式練習(xí)，數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的求異思維和逆向思維，有助于學(xué)生提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。大嘴鳥(niǎo)吃魚(yú)的最后一題比較開(kāi)放，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，溝通分?jǐn)?shù)乘除法之間的關(guān)系。第4題為拓展練習(xí)，主要培養(yǎng)學(xué)生的遷移類推能力和類比能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“舉一反三”。

四、回顧與反思

教師結(jié)合課件引導(dǎo)學(xué)生回顧今天的學(xué)習(xí)歷程，使學(xué)生進(jìn)一步明確，“提出猜想——驗(yàn)證猜想——得出結(jié)論”是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的重要思考方法。

同時(shí)使學(xué)生感受到：有了倒數(shù)，乘法和除法兩種不同的運(yùn)算就可以統(tǒng)一為乘法運(yùn)算了，使學(xué)生感受這種轉(zhuǎn)化的美妙與魅力。

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課，教師引導(dǎo)學(xué)生在舒緩的音樂(lè)聲中，結(jié)合課件演示回顧自己的學(xué)習(xí)歷程，最后落到“提出猜想——驗(yàn)證猜想——得出結(jié)論”的數(shù)學(xué)思想方法上，使數(shù)學(xué)思想方法更具“親和力”，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)后勁，完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（作者單位：中國(guó)人民大學(xué)附屬小學(xué)）