協(xié)同思維與數(shù)學(xué)教學(xué)

摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們不能再片面強(qiáng)調(diào)某一種思維的單項(xiàng)訓(xùn)練，而忽視各種思維有機(jī)結(jié)合的整體功能。這也就是說，通過教學(xué)，使學(xué)生既善于整理思維又善于發(fā)現(xiàn)思維，既善于形象思維又善于抽象思維，并讓這些思維彼此聯(lián)合和協(xié)同作用，促使學(xué)生的大腦兩半球得到充分、全面與和諧的發(fā)展，成為思維協(xié)同的現(xiàn)代人。

關(guān)鍵詞：協(xié)同 思維 數(shù)學(xué) 教學(xué)

1971年德國科學(xué)家哈肯提出了統(tǒng)一的系統(tǒng)協(xié)同學(xué)思想，認(rèn)為自然界和人類社會的各種事物普遍存在有序、無序的現(xiàn)象，在一定的條件下，有序和無序之間會相互轉(zhuǎn)化，無序就是混沌，有序就是協(xié)同，這是一個(gè)普遍規(guī)律。什么是協(xié)同思維？ 考慮事物的相生或相輔相成，或相得益彰，或交互作用，或協(xié)同并存，這是事物協(xié)同，這樣的思維就稱為協(xié)同思維。協(xié)同思維和思維協(xié)同是同一思維的兩面，人們培養(yǎng)和提高了協(xié)同思維能力，就能思維協(xié)同。數(shù)學(xué)教學(xué)中的思維研究越來越受到人們的重視，這是國際數(shù)學(xué)教育的發(fā)展趨勢。在教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的學(xué)情，對數(shù)學(xué)思維的各個(gè)要素的本質(zhì)及其聯(lián)系進(jìn)行研究，強(qiáng)調(diào)各種思維的協(xié)調(diào)和同步作用，加強(qiáng)協(xié)同思維的訓(xùn)練，其意義是不可低估的。

一、整理性思維和發(fā)現(xiàn)性思維相互作用的理論是協(xié)同思維的產(chǎn)物

在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，大量地需要整理性思維，同時(shí)也需要發(fā)現(xiàn)性思維，在許多情況下，兩者是互相滲透、互為作用的。整理性思維以演繹論證為主，發(fā)現(xiàn)性思維以直覺、猜想、歸納、類比為主，數(shù)學(xué)教育不能光強(qiáng)調(diào)單項(xiàng)訓(xùn)練，或偏重于某一方面，更重要的是它們的有機(jī)結(jié)合和協(xié)同互補(bǔ)。對此，很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家都有過論述。斯托利亞爾指出：“如果我們想在數(shù)學(xué)教學(xué)中在某種程度上反映出數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程，就必須不僅教學(xué)生證明，而且教學(xué)生猜測?！辈ɡ麃喴彩謴?qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須既教證明又教猜想，既教論證推理又教合情推理，他在《數(shù)學(xué)與猜想》一書的序言中指出：“論證推理和合情推理在我看來它們互相之間并不矛盾，相反地，它們是互相補(bǔ)充的?！毙炖谓淌谔岢龅脑跀?shù)學(xué)教學(xué)改革中貫徹“歸納與演繹交互為用”的原則也體現(xiàn)了這種思想。下面就以此為例作些詳細(xì)的說明。

事實(shí)上，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，以至在思維發(fā)展過程中，總是既用歸納又用演繹，盡管兩者有各自不同的特點(diǎn)，但演繹推理的大前提——表示一般原理的全稱判斷，要靠歸納推理提供出來；為了提高歸納推理的可靠性，無論以一般原理作指導(dǎo)或者對歸納推理的前提進(jìn)行分析，都要用演繹推理。歸納與演繹在思維運(yùn)行過程中的這種辯證統(tǒng)一正體現(xiàn)了兩者之間是協(xié)同互補(bǔ)的。以演繹推理中的三段論為例（中學(xué)數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)的多是第一格的結(jié)構(gòu)），可以得到證明。

M—P（大前提：集合M的所有元素具有或不具有性質(zhì)P），

S—M（小前提：集合S？奐M），

S—P （結(jié)論：集合S的所有元素具有或不具有性質(zhì)P）。

例 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形，

正弦函數(shù)y=sinx（x？綴R）是奇函數(shù)，

正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形。

這個(gè)演繹推理的大前提“奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形”可由歸納推理提供，在這個(gè)歸納推理中，每一個(gè)前提可由演繹推理來論證。

“歸納和演繹，正如分析和綜合一樣，是必然相互聯(lián)系著的，不應(yīng)當(dāng)犧牲一個(gè)而把另一個(gè)捧到天上去，應(yīng)當(dāng)把每一個(gè)都用到該用的地方，而要做到這一點(diǎn)，就只有注意它們的相互聯(lián)系、它們的相互補(bǔ)充。”（《馬克思恩格斯選集》第三卷P548）正確地認(rèn)識和處理好歸納和演繹的關(guān)系，在教學(xué)中貫徹“歸納與演繹交互為用”的原則體現(xiàn)了思維的協(xié)同性。

我們再從在校青少年歸納推理和演繹推理發(fā)展的相關(guān)來看（根據(jù)朱智賢、林崇德的研究，相關(guān)系數(shù)r=0.56359），中學(xué)生掌握這兩種推理的水平雖有差異，但其發(fā)展趨勢是一致的。所以貫徹“歸納與演繹交互為用”的原則也符合青少年思維發(fā)展的規(guī)律。

根據(jù)前面的論述，對于整理性思維與發(fā)現(xiàn)性思維交互為用的更一般的思想，我們就有了更清楚的認(rèn)識。

二、在數(shù)學(xué)教學(xué)中貫徹形式邏輯思維與辯證邏輯思維并重和統(tǒng)一的原則展現(xiàn)了思維的協(xié)同性

中學(xué)生的辯證邏輯思維的發(fā)展是與他們的形式邏輯思維的發(fā)展相輔相成的，這兩種思維是一個(gè)人抽象思維整體的兩個(gè)不可分割的部分，是互相促進(jìn)、協(xié)同互補(bǔ)的，在發(fā)展學(xué)生形式邏輯思維的同時(shí)發(fā)展他們的辯證邏輯思維，可以使青少年的思維發(fā)展更加完整、更具有整體性，所以我認(rèn)為新課標(biāo)中的“邏輯思維能力”必須理解為包括形式邏輯思維與辯證邏輯思維在內(nèi)的兩種思維能力。

在以往的教學(xué)中，對于加強(qiáng)形式邏輯思維方面的訓(xùn)練我們已經(jīng)有了充分的認(rèn)識，有關(guān)數(shù)學(xué)教育的刊物及著作也論述得比較多，這顯然是必要的，而且應(yīng)當(dāng)是主要的。但是對于數(shù)學(xué)思維所具有的辯證法特征卻研究甚少，基本上是用靜止和孤立的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)問題，直就是直，曲就是曲，有限和無限除了對立就不存在相互轉(zhuǎn)化的那種聯(lián)系了。事實(shí)上，在中學(xué)數(shù)學(xué)中充滿了辯證法，如概念和關(guān)系的變動(dòng)性、兩重性、矛盾性、同一性、相互聯(lián)系和相互制約性，“數(shù)” 和“形”的對立統(tǒng)一，代數(shù)、幾何、三角各學(xué)科之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，有理數(shù)運(yùn)算中的性質(zhì)符號和運(yùn)算符號既是不同的又是可以統(tǒng)一的，在二元二次方程

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 （*）

的討論中，一個(gè)方程就包羅了點(diǎn)、相交線、平行線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等各種方程，它們不過是方程（*）中各個(gè)系數(shù)取某些數(shù)值時(shí)的一種特殊狀態(tài)而已，均統(tǒng)一在一個(gè)方程中；數(shù)學(xué)方法中的歸納與演繹、分析與綜合、特殊與一般等，總之，從數(shù)學(xué)內(nèi)容到數(shù)學(xué)方法到處充滿了辯證法思想。

由于在中學(xué)數(shù)學(xué)中大量存在著相對穩(wěn)定的狀態(tài)，所以我們能用形式邏輯思維的方法進(jìn)行分析和研究。但也存在著顯著的變動(dòng)狀態(tài)（如前所述），故我們能用辯證邏輯思維的方法認(rèn)識數(shù)學(xué)中概念和關(guān)系的變動(dòng)性。例如，按照形式邏輯思維規(guī)律，對于每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識要前后一致（同一律）而且不容許存在不相容的認(rèn)識（矛盾律，如果存在兩個(gè)互相排斥的認(rèn)識，那么其中必有一真一假（排中律），概念教學(xué)必須遵循上述邏輯規(guī)則進(jìn)行，但同時(shí)也應(yīng)指出，用運(yùn)動(dòng)的和聯(lián)系的辯證觀點(diǎn)來思考，數(shù)學(xué)概念也是隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的發(fā)展而發(fā)展的。許多對立的概念可以統(tǒng)一起來（比如實(shí)數(shù)和虛數(shù)同處于復(fù)數(shù)中，—元二次方程和一元二次不等式同處于二次函數(shù)中等）；一個(gè)概念在不同的場合或者不同的條件下可能有不同的認(rèn)識（比如冪的概念，最初學(xué)習(xí)的是正整數(shù)指數(shù)冪，被理解為幾個(gè)相同因素相乘的結(jié)果，以后發(fā)展到零指數(shù)冪——兩個(gè)不等于零的相同的數(shù)相除所得的商等于1；正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪——正實(shí)數(shù)的若干次方根；負(fù)數(shù)指數(shù)冪——正數(shù)指數(shù)冪的倒數(shù)）；很多概念也反映了事物的運(yùn)動(dòng)是相互聯(lián)系相互影響的這一規(guī)律（如函數(shù)概念中的x和f（x），x的值對應(yīng)著一個(gè)或幾個(gè)f（x）的值，x變f（x）就變，f（x）的變化依賴于x的變化而變此）。顯然，這些思維方式已經(jīng)不是孤立地、靜止地看待各個(gè)數(shù)學(xué)概念了，這是辯證邏輯思維在中學(xué)數(shù)學(xué)中的生動(dòng)體現(xiàn)，與形式邏輯思維相比更高一級。因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須既重視形式邏輯思維的訓(xùn)練又重視辯證邏輯思維的訓(xùn)練，讓兩種思維在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中協(xié)同作用、相互補(bǔ)充，從而發(fā)展學(xué)生完整的數(shù)學(xué)思維能力。

三、 重視形象思維和抽象思維的結(jié)合是思維協(xié)同的表現(xiàn)

我們把人的思維分為三種，即形象思維、抽象思維和靈感思維，并且認(rèn)為，每一個(gè)人的思維活動(dòng)，往往是兩種甚至三種先后交錯(cuò)在一起作用。事實(shí)上，腦科學(xué)的研究成果也表明，人的大腦左右兩半球，既分工又協(xié)同活動(dòng)，雖然左半球的功能主要在于抽象思維，右半球的功能主要在于形象思維，但任何一個(gè)思維產(chǎn)物都是左右腦密切配合協(xié)同活動(dòng)的結(jié)果，每一個(gè)人的思維過程明顯地存在著邏輯思維與非邏輯思維的互補(bǔ)運(yùn)動(dòng)。長期以來，人們總是認(rèn)為左半球是大腦中占支配、統(tǒng)治地位的優(yōu)勢半球，而右半球則被認(rèn)為是缺乏高級認(rèn)識功能、處于從屬地位的劣勢半球，沒有認(rèn)識到大腦左右兩半球的和諧發(fā)展和協(xié)同活動(dòng)是思維發(fā)展的物質(zhì)基礎(chǔ)，加上數(shù)學(xué)本身的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性，因而在學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)中“重左輕右”的現(xiàn)象就比較普遍，即只重視抽象邏輯思維（尤其是形式邏輯思維）的訓(xùn)練，而忽視數(shù)學(xué)教學(xué)中的形象思維的研究。例如，研究位置關(guān)系時(shí)，忽視其數(shù)量關(guān)系，記憶各種數(shù)量關(guān)系的結(jié)論時(shí)，不會求助于“形” ，離開圖像死記硬背各種函數(shù)的性質(zhì)。實(shí)際上這是數(shù)學(xué)教學(xué)中的思維非協(xié)同現(xiàn)象，說嚴(yán)重一點(diǎn)是忽視了半個(gè)大腦的作用，因此，我認(rèn)為數(shù)學(xué)思維研究不僅要深入探討抽象思維中的問題，更迫切地是要在形象思維方面打開缺口，開創(chuàng)新路子。同時(shí)我更主張，把形象思維和兩種抽象思維有機(jī)地結(jié)合起來，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和諧發(fā)展、協(xié)同并進(jìn)。為此，我提三點(diǎn)教學(xué)建議：

1.在數(shù)和形的對立或差異中看到和諧與統(tǒng)一。在數(shù)學(xué)教材中，從數(shù)和形兩個(gè)方面描述概念或課題的例子很多，如實(shí)數(shù)的順序性和數(shù)軸上點(diǎn)的位置，復(fù)數(shù)a+bi及各種運(yùn)算與復(fù)平面上的向量的相應(yīng)變化，各種函數(shù)與它們的圖像，解析幾何中各類方程與其所對應(yīng)的各類曲線，等等。在教學(xué)中由數(shù)思形、由形想數(shù)，不失時(shí)機(jī)地抓住兩者的相互結(jié)合和轉(zhuǎn)化，沖破數(shù)和形之間那種固有的差異，更多地強(qiáng)調(diào)二者的和諧統(tǒng)一。

2.在形象思維和抽象思維達(dá)到某種臨界質(zhì)量時(shí)，促使“自行突變”適時(shí)、有效地發(fā)生。所謂“自行突變”是指靈感發(fā)生時(shí)的那種非邏輯質(zhì)變狀態(tài)，它標(biāo)志著靈感的蘊(yùn)育成熟，剎那間就要光臨。這種“自行突變”的發(fā)生就是靈感（頓悟）思維的結(jié)果，也可以認(rèn)為是形象思維和抽象思維融為一體、協(xié)同作用的產(chǎn)物。盡管靈感是一個(gè)沒有解開的謎，但它的存在是可信無疑的了，從大量的有關(guān)資料表明，無論是社會科學(xué)家，還是自然科學(xué)家，他們在創(chuàng)造過程中的許多新思想、新觀念的涌現(xiàn)，新思路的產(chǎn)生，新形象的形成，都與靈感密切相關(guān)，如阿基米德的頓悟，笛卡兒建立坐標(biāo)系的靈感都是很好的例證。如何促使“自行突變”的盡快發(fā)生和靈感的及早到來呢？有效的辦法就是創(chuàng)設(shè)問題情境，運(yùn)用顯意識去調(diào)動(dòng)潛意識，使形象思維和抽象思維協(xié)同作用于研究對象，以達(dá)到一觸即發(fā)的境界。

3.在數(shù)學(xué)美的感受與鑒賞中，發(fā)展直覺洞察力。青少年的思維發(fā)展，雖然以抽象思維占優(yōu)勢地位，但情感和形象材料的支持仍然起著很重要的作用，而美的特點(diǎn)就在于情感的形象，在于情景交融的形象，又由于數(shù)學(xué)中的美確是大量存在的，所以在數(shù)學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)審美教育，讓學(xué)生感受美、鑒賞美，既是數(shù)學(xué)教育任務(wù)的充實(shí)，又易為中學(xué)生所接受。特別是，教學(xué)實(shí)踐已經(jīng)證明，每當(dāng)認(rèn)識主體的這種美感鑒賞力發(fā)揮作用時(shí)，也常常是思維力、想象力活躍的時(shí)刻，同時(shí)也往往是導(dǎo)致直覺產(chǎn)生的前奏。由此可見，美感鑒賞力和直覺洞察力，數(shù)學(xué)美感和數(shù)學(xué)思維是密切相關(guān)的。因此，讓學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)美的鑒賞力，對于激發(fā)學(xué)生的對數(shù)學(xué)的興趣，增長直覺能力，開發(fā)右腦功能，發(fā)展創(chuàng)造思維都會有深遠(yuǎn)的影響，從而使形象思維和抽象思維協(xié)同作用和有機(jī)結(jié)合就不會成為一句空話?！簦ㄗ髡邌挝唬航鹘逃诳纾?/p>

□責(zé)任編輯：周瑜芽