合情推理何去何從

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號(hào)：1673-4289（2012）11-0021-03

長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)教學(xué)十分強(qiáng)調(diào)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，過(guò)分渲染邏輯推理的重要性而忽視了生動(dòng)活潑的合情推理，使人們誤認(rèn)為數(shù)學(xué)就是一門純粹的演繹科學(xué)。事實(shí)上數(shù)學(xué)發(fā)展史中的每一個(gè)重要發(fā)現(xiàn)，除演繹推理外，合情推理也起重要作用。合情推理與演繹推理是相輔相成的。學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程實(shí)質(zhì)是從合情推理上升到演繹推理的過(guò)程。

所謂“合情推理”，就是合理的猜測(cè)。它以類比和歸納為主要形式，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維是不可缺少的。合情推理既是進(jìn)行數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要技能，也是未來(lái)生活進(jìn)行有效思維的需要。因此，合情推理作為學(xué)生的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)于培養(yǎng)他們的探索能力和創(chuàng)新精神有著重要的教育價(jià)值。那么，我們數(shù)學(xué)教學(xué)中合情推理的現(xiàn)狀如何呢？

一、數(shù)學(xué)合情推理，在追求什么？

現(xiàn)狀一：走馬觀花，缺少對(duì)推理的深度理解

筆者曾聽(tīng)過(guò)《找規(guī)律》（蘇教版五下）一課，在總結(jié)歸納規(guī)律時(shí)，一個(gè)教學(xué)細(xì)節(jié)引起了筆者的注意。

教師出示學(xué)生完成的表格：

師：仔細(xì)觀察，有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：平移的次數(shù)加上每次框幾個(gè)數(shù)等于10。

生2：數(shù)的總個(gè)數(shù)減去每次框的個(gè)數(shù)等于平移的次數(shù)。（一排有10個(gè)方格，分別寫(xiě)有1～10這10個(gè)自然數(shù)。）

生3：得到不同和的個(gè)數(shù)比平移的次數(shù)多1。

……

教師對(duì)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)給予充分肯定后，緊接著就讓學(xué)生利用規(guī)律去解決一些實(shí)際問(wèn)題。

這時(shí)，坐在筆者身邊的一個(gè)女孩嘀咕：怎么這么巧？10減去每次框的個(gè)數(shù)正好等于平移的次數(shù)？

課后，那個(gè)女孩的嘀咕聲不停地在我耳旁回蕩：“10減去每次框的個(gè)數(shù)為什么正好等于平移的次數(shù)”？是啊，我們只引導(dǎo)學(xué)生利用收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行合情推理，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大多數(shù)學(xué)生雖然可以通過(guò)算式10-2+1=9、10-3+1=8、10-4+1=7、10-5+1=6推理得出“總個(gè)數(shù)-框的個(gè)數(shù)+1=不同的和”這個(gè)“規(guī)律”。但是否就能意味著學(xué)生“真理解”規(guī)律背后數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián)系？從這個(gè)女孩的嘀咕中，不難發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生可能只是走馬觀花，在表面熱鬧的合情推理中沒(méi)有真正形成自己的知識(shí)建構(gòu)。因此我們有必要通過(guò)質(zhì)疑與反思，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)規(guī)律存在的必然性與合理性，深入理解推理的本質(zhì)內(nèi)涵。

現(xiàn)狀二：強(qiáng)勢(shì)引領(lǐng)，忽視學(xué)生的自主建構(gòu)

這是一位老師在學(xué)校一次教研活動(dòng)中上《能被3整除數(shù)的特征》一課的教學(xué)片斷：

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)3的倍數(shù)有哪些？

生：3、6、9、12、15、18……

師：這些數(shù)都是3的倍數(shù)，也就都能被3整除。觀察這些數(shù)你能猜猜能被3整除數(shù)的特征嗎？

生1：看個(gè)位上能不能被3整除。

生2：不行，比如13、23就不能被3整除。

生3：能被3整除數(shù)的個(gè)位上1-9個(gè)數(shù)字都有可能出現(xiàn)，不能僅從個(gè)位來(lái)判斷。

師：再看看與這些數(shù)各數(shù)位上的數(shù)的前后順序有沒(méi)有關(guān)系？

生：沒(méi)有關(guān)系，21能被3整除，12也能；14不能被3整除，41也不能。

師：那我們同學(xué)再小組討論討論，能被3整除數(shù)的特征究竟是什么？把各個(gè)數(shù)字加起來(lái)試一試。

生：我們發(fā)現(xiàn)了！如果把這些數(shù)各位上的數(shù)字加起來(lái)，它們的和也能被3整除。比如12，1+2=3；24，2+4=6。

師：其他同學(xué)自己找?guī)讉€(gè)數(shù)試試是不是這樣？

生：（驚喜的）是的！

師：由此你發(fā)現(xiàn)能被3整除數(shù)特征是什么？

生：各位上數(shù)字之和能被3整除！

……

在本片斷教學(xué)中，教師注重強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)合情推理的邏輯性，先引導(dǎo)學(xué)生用能被2、5整除數(shù)的特征看個(gè)位的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行推算，發(fā)現(xiàn)僅從個(gè)位不能建立特征后進(jìn)而研究發(fā)現(xiàn)數(shù)字的順序關(guān)系也不能被3整除，最后在老師的暗示下，研究發(fā)現(xiàn)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除。學(xué)生在探究能被3整除數(shù)特征的過(guò)程中，形成從特殊到一般的認(rèn)知建構(gòu)歷程，從中培養(yǎng)了學(xué)生觀察、分析、比較、聯(lián)想等思維能力。但深入到教學(xué)的背后，教師步步為營(yíng)的程序化教學(xué)過(guò)程是否過(guò)于強(qiáng)勢(shì)，這樣的課堂學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性是否能得到有效激發(fā)？教師的引導(dǎo)是否過(guò)分而影響學(xué)生知識(shí)的自主建構(gòu)？

現(xiàn)狀三：機(jī)械模仿，缺乏推理的價(jià)值體驗(yàn)

這是一位青年教師《比的基本性質(zhì)》的教學(xué)設(shè)計(jì)：

研究材料：

5÷6=（5×◇）÷（6×◇）=（5÷2）÷（6÷◇）

8/13=8×2/13×◇=8÷◇/13÷1

5∶8=◇/◇∶◇/◇=◇÷◇∶◇÷◇

解決依據(jù)：請(qǐng)問(wèn)做題的依據(jù)是什么？

合情推理：在整數(shù)除法中有“商不變性質(zhì)”，在分?jǐn)?shù)中也有“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”。比與整數(shù)除法和分?jǐn)?shù)有如此密切的關(guān)系，那么，在比中是否有類似的性質(zhì)呢？

導(dǎo)出新知：比也有類似的性質(zhì)，并能進(jìn)一步推出這一性質(zhì)叫“比的基本性質(zhì)”。

比的基本性質(zhì)的知識(shí)建構(gòu)應(yīng)結(jié)合相應(yīng)的生活情境展開(kāi)，讓學(xué)生在豐富的情境體驗(yàn)中理解比的基本性質(zhì)。然后再結(jié)合比、除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系幫助學(xué)生進(jìn)一步理解三種性質(zhì)內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系。而這位青年教師雖然是建立在學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)的基礎(chǔ)上，逐步進(jìn)行合情推理得到結(jié)論，但顯然這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)于讓學(xué)生進(jìn)行機(jī)械地模仿，缺乏思維的含金量。這種從一個(gè)極端走向另一個(gè)極端的做法阻礙了兒童類比、遷移等思維能力的發(fā)展，更缺乏數(shù)學(xué)推理思維的體驗(yàn)，不利于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

二、數(shù)學(xué)合情推理，應(yīng)追求什么？

（一）過(guò)程到意識(shí)的培養(yǎng)，是數(shù)學(xué)合情推理之本源

合情推理，要給學(xué)生留下什么？抑或給學(xué)生產(chǎn)生怎樣的影響？前蘇聯(lián)科學(xué)家凱德洛夫曾明確地說(shuō)：“沒(méi)有任何一個(gè)創(chuàng)造性行為能離開(kāi)合情推理”。數(shù)學(xué)合情推理是直接反映數(shù)學(xué)對(duì)象、結(jié)構(gòu)以及關(guān)系的思維活動(dòng)。

鑒于小學(xué)生的年齡與認(rèn)知特點(diǎn)，他們不可能通過(guò)具有嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)的邏輯推理來(lái)發(fā)現(xiàn)和掌握數(shù)學(xué)原理和概念。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中大量地采用了像數(shù)學(xué)猜想、枚舉歸納、類比遷移等合情推理的方法。所以，我們?cè)诮虒W(xué)中，應(yīng)給學(xué)生提供具有充分再創(chuàng)造的情境，以激勵(lì)學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng)造的活動(dòng)，培養(yǎng)兒童的推理意識(shí)。把數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的過(guò)程展開(kāi)、還原，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、歸納、類比……即合情推理提出猜想，然后再通過(guò)演繹，推理證明猜想正確或錯(cuò)誤。

例如《乘法分配律》教學(xué)中，拓展到三個(gè)數(shù)或更多的數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘。

師：通過(guò)聯(lián)想，同學(xué)們由“兩個(gè)數(shù)的和”拓展到了“兩個(gè)數(shù)的差”，這是一種很有價(jià)值的思考。確實(shí)，有時(shí)呀，從已有的結(jié)論中通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q、聯(lián)想，同樣可以形成新的想法，進(jìn)而形成新的結(jié)論。

師：這不，有一個(gè)同學(xué)就暗暗在想：如果把乘法分配律中“兩個(gè)數(shù)的和”換成“三個(gè)數(shù)的和”、“四個(gè)數(shù)的和”或更多個(gè)數(shù)的和，不知道結(jié)果還會(huì)不會(huì)不變？（出示：（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d）你們明白他的意思嗎？他想的有道理嗎？

生：有。

師：這是一個(gè)與眾不同的、全新的猜想！如果猜想成立，它將大大豐富我們對(duì)“乘法分配律”的認(rèn)識(shí)。你也能像剛才一樣用合適的方法試著進(jìn)行驗(yàn)證嗎？

生舉例驗(yàn)證，集體交流。

波利亞認(rèn)為：“說(shuō)得直截了當(dāng)一點(diǎn)，合情推理就是猜想”。我們?cè)谏厦娴睦又袆?chuàng)設(shè)這樣一個(gè)大膽猜想情境，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行分析，通過(guò)觀察、類比、歸納等手段提出猜想。這樣，不僅有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，滿足學(xué)生的求知欲望，更激發(fā)了學(xué)生合情推理的內(nèi)在需求。數(shù)學(xué)課堂不應(yīng)該成為學(xué)生接受知識(shí)的場(chǎng)所，而應(yīng)成為學(xué)生大膽創(chuàng)新，勇于推理的舞臺(tái)。當(dāng)我們放開(kāi)手腳后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：學(xué)生的創(chuàng)造力真是不可估量！

（二）方法到思想的漸進(jìn)，是數(shù)學(xué)合情推理之內(nèi)涵

新課標(biāo)對(duì)推理能力做了如下要求：“能通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、做出證明或?qū)で蠓蠢薄Ｍㄟ^(guò)不完全歸納獲得結(jié)論，是合情推理的結(jié)果。我們需要合情推理，使它成為學(xué)生充分展示自我的舞臺(tái)；我們也需要理性思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和科學(xué)的方法。

在執(zhí)教“交換律”一課時(shí)，學(xué)生根據(jù)一個(gè)特例得出結(jié)論：交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變，舉例驗(yàn)證后全班交流。

師：你們舉了哪些例子，又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

生1：我舉了三個(gè)例子，7+8=8+7，2+9=9+2，4+7=7+4。從這些例子來(lái)看，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。

生2：我也舉了三個(gè)例子，5+4=4+5，30+15=15+30，200+500=500+200。我也覺(jué)得，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。

師：兩位同學(xué)舉的例子比較而言，你更欣賞誰(shuí)？

生3：我更欣賞第一位同學(xué)，他舉的例子很簡(jiǎn)單，一看就明白。

生4：我不同意。如果舉的例子都是一位數(shù)加一位數(shù)，那么我們最多只能說(shuō)，交換兩個(gè)一位數(shù)的位置和不變。至于加數(shù)是兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)等等就不知道了。

生5：我更喜歡第二位同學(xué)的，她舉的例子更全面。

師：如果這樣的話，那你們覺(jué)得下面這位同學(xué)的舉例，又給了你哪些新的啟迪？

（教師出示作業(yè)紙：0+8=8+0，6+21=21+6，1/9+4/9=4/9+1/9）

生6：我們?cè)谂e例時(shí)，都沒(méi)考慮到0的問(wèn)題，但他考慮到了。

生7：他還舉到了分?jǐn)?shù)的例子，讓我明白了，不但交換兩個(gè)整數(shù)的位置和不變，交換兩個(gè)分?jǐn)?shù)的位置和也不變。

教師組織了對(duì)舉例驗(yàn)證的兩次探討，使學(xué)生體會(huì)到舉例不應(yīng)只追求簡(jiǎn)單，舉例的覆蓋面越廣，代表性越強(qiáng)，結(jié)論的可靠性就越高。例子的多元化、特殊性恰恰是結(jié)論準(zhǔn)確和完整的前提，在驗(yàn)證的過(guò)程中讓數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和科學(xué)的方法浸潤(rùn)其中。

（三）經(jīng)驗(yàn)到策略的積累，是數(shù)學(xué)合情推理之追求

牛頓早就說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”。在教學(xué)中重視合情推理教學(xué)，有助于學(xué)生在經(jīng)驗(yàn)的累積中思想方法，增強(qiáng)形成推理的信心與勇氣。

例如：學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形面積時(shí)，組織這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)：

在三個(gè)不同長(zhǎng)方形中，讓學(xué)生用1平方厘米的小正方形擺一擺，再把它們的長(zhǎng)、寬和面積記錄下來(lái)，讓學(xué)生討論發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？從而歸納出長(zhǎng)方形面積公式，這個(gè)公式是否正確呢？讓學(xué)生自己隨意畫(huà)一個(gè)長(zhǎng)和寬是整厘米的長(zhǎng)方形，先用公式計(jì)算出它的面積，再用小正方形擺一擺，驗(yàn)證一下這樣計(jì)算是否正確。

以上例子注意突出圖形性質(zhì)的探索過(guò)程，重視直觀操作和邏輯推理的有機(jī)結(jié)合，通過(guò)多種手段，如觀察度量、實(shí)驗(yàn)操作、圖形變換、邏輯推理等來(lái)探索圖形的性質(zhì)，同時(shí)也有助于學(xué)生空間觀念的形成，合情推理的方法為學(xué)生的探索提供努力的方向。由此可見(jiàn)，學(xué)生合情推理可以積累相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，形成終身受用的策略，培養(yǎng)解決新穎、較難的問(wèn)題的信心與能力，也為其將來(lái)的成長(zhǎng)積聚智慧！

斯圖爾特曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)的全部力量就在于合情推理和嚴(yán)格性巧妙地結(jié)合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯”。合情推理過(guò)程是培養(yǎng)學(xué)生有根有據(jù)地進(jìn)行思維的過(guò)程，因此在教學(xué)中，必須充分挖掘教材中有利于發(fā)展合情推理的潛在因素，根據(jù)學(xué)生年齡特征和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有意識(shí)地給學(xué)生提供合情推理的機(jī)會(huì)，營(yíng)造合情推理的風(fēng)氣，為學(xué)生合情推理思維的形成創(chuàng)造條件。讓學(xué)生邁步在數(shù)學(xué)合情推理的陽(yáng)光大道上，為他們的未來(lái)奠基，應(yīng)成為我們每一個(gè)數(shù)學(xué)教師努力的方向！

（作者單位：金壇市華城實(shí)驗(yàn)小學(xué)，江蘇，常州 213200）