帶電粒子在非均勻磁場中運動的教學設計

史祥蓉 張景卓

（海軍工程大學應用物理系，湖北 武漢 430033）

大學物理教學不僅要讓學生學習知識，更重要的是讓學生在學習知識的過程中體會物理學研究、處理問題的方法，以培養他們解決問題的能力.作為老師怎樣設計教學才能達到這樣的目的呢？

帶電粒子在非均勻磁場中運動的情況比較復雜，需具體問題具體分析，所以一般的大學物理課程都不會詳細講解這部分內容［1，2］.而這一部分內容中的帶電粒子在軸對稱非均勻磁場中運動所引起的磁約束現象在實際中的應用非常廣泛［3］，是能引起學生關注并提高其學習積極性的內容.怎樣才能在學生現有的知識基礎上將其講解清楚呢？經過認真分析研究，筆者做了如下的教學設計.

1 帶電粒子在均勻磁場中的運動是基礎

帶電粒子在均勻磁場中運動的情況比較簡單，可以引導學生從熟悉的力學出發進行分析研究.將帶電粒子作為研究對象，假設其以初速υ進入均勻磁場中，將怎樣運動呢？研究對象及其初始條件已經清楚，此時只要再找到所研究的帶電粒子的受力情況，問題即可解決.帶電粒子在磁場中的受力即洛倫茲力為F＝qυ×B.

1）當υ平行于B時，F＝0，粒子的運動狀態不改變，以初速υ做勻速直線運動.

2）當υ垂直于B時，F＝qvB并且F⊥υ，粒子做勻速率圓周運動，半徑：R＝mv／qB，周期：T＝2πm／qB.

3）當υ與B成任意夾角θ時，根據運動的合成與分解，可將其分解為兩個運動：初速分別與B平行、垂直，最終粒子的運動將是這兩個運動的合成，即螺旋線運動，回旋半徑：R＝mv⊥／qB，周期：T＝2πm／qB，螺距：h＝v‖T＝v‖2πm／qB.

2 分析軸對稱非均勻磁場的特點是重點、難點

圖1示意為同軸同方向的兩個電流圓環所產生的軸對稱非均勻磁場，當帶電粒子以初速υ進入該磁場中時，將如何運動呢？此時雖然研究對象即帶電粒子及其初始條件是清楚的，但若要再找到研究對象的受力，必須寫出該非均勻磁場B的表達式，這對于本科生尤其是非物理專業的本科生來說是不容易解決的問題.怎么辦呢？

圖1 軸對稱非均勻磁場示意圖

分析該磁場的特點：軸向和橫向都不均勻.可以引導學生思考：如圖2，用一組與磁力線垂直

圖2 軸對稱非均勻磁場的分析

的曲面（圖中虛線為曲面與紙面的交線）、結合磁力線，將空間分為若干小區域，那么對于圖中每一個小區域（如陰影區域）是否可近似為均勻場？答案“是！”，這樣問題就好解決了.可以將帶電粒子在均勻磁場中運動的情況引入，學生很容易理解此時應為螺旋線運動.

這里所體現的教學思想是：從學生已掌握的知識及解決問題的方法入手，引導其掌握新知識.此時關鍵是引導學生分析新問題（軸對稱非均勻磁場）與舊問題（均勻磁場）之間的銜接點（一小段軸對稱非均勻磁場可近似為均勻磁場），引導學生怎樣在已有知識（帶電粒子在均勻磁場的運動）的基礎上掌握新知識（帶電粒子在軸對稱非均勻磁場中的運動）.

這里所用到的處理問題的方法是“近似”.其實近似這種方法在大學物理學研究問題時經常用到，比如求解變力做功或非均勻場中的磁通量、電通量時都會用到取微元然后再積分的方法，在這其中就是將微元范圍內的變力近似為恒力或微元范圍內的場近似為均勻場.如果在此能為學生點到，引起學生的注意，那么可以更有效地幫助學生對問題的理解及方法的掌握.

3 磁約束概念的講解是結果

從以上的分析中學生已經清楚：帶電粒子在軸對稱非均勻磁場中的運動為螺旋線，那么螺旋線的回旋半徑、周期及螺距又是多少呢？由于磁場在橫向上大小近似均勻，但在軸向上大小有變化，所以由回旋半徑、周期及螺距與B的關系（在第1節中有公式），可以清楚看到運動應為：回旋半徑、周期及螺距都隨B沿軸線不斷變化的非均勻螺旋線運動，如圖3（a）所示.這樣，粒子的運動在“橫向上”被“限制”在了一定的范圍之內，稱為橫向約束.若增加電流使磁場加強的話，回旋半徑會減小，磁場對粒子運動的橫向約束就加強，加強到一定程度時會將粒子限制在一根磁感應線附近運動，如圖3（b）所示.

圖3 磁場沿軸向不斷變化

當粒子運動到電流環附近時，是否會沿軸向逃逸出磁場呢？如圖4所示由洛倫磁力F＝qυ×B的方向可知：粒子所受洛侖茲力總有一個指向磁場較弱方向的軸向分量，若力與速度軸向分量關系適當，就有可能使粒子的軸向分速度減為零，這樣帶電粒子在這個分力作用下，只能沿軸向在兩電流環之間的一定區域內來回螺旋振蕩，其運動在“軸向上”被“限制”在了一定的范圍之內，稱為軸向約束.

圖4 洛倫茲力的方向

由此可以看出：當帶電粒子進入軸對稱非均勻磁場后，在該磁場的作用下，帶電粒子只能在兩電流環之間的一定區域內做來回振蕩的回旋運動，運動范圍被限制在了一定的區域范圍內，這種現象稱為磁約束.

這一部分內容是在前兩部分即帶電粒子在均勻磁場中的運動以及對軸對稱非均勻磁場特點理解的基礎上講解，在此有兩個關鍵點：（1）引導學生理解：雖然每一小部分可以近似為均勻磁場，但不同曲面間即軸向上所具有的磁感強度B是不一樣的，所以沿軸向回旋半徑會隨B的大小不斷變化；（2）引導學生分析當粒子運動到電流環附近時，是否會沿軸向逃逸出磁場.

所用教學方法是問題式的引導，不是直接告訴學生結果，而是設計問題引導學生思考，讓學生自己得出結果，自己建構知識體系.

4 結語

該教學設計最大的特點是：將物理學中經常用到的處理問題的方法“近似”巧妙地應用到“帶電粒子在軸對稱非均勻磁場中運動”的分析之中，使復雜問題簡單化.不僅將該部分內容演繹得清晰明了，使學生易于理解；更重要的是讓學生在學習知識的過程中體會到了物理學研究、處理問題的方法，有利于學生解決問題能力的培養，而這應該是教學的最終目的.

［1］ 康穎.大學物理［M］.2版.北京：科學出版社，2010：42－43.

［2］ 程守洙，江之永.普通物理學2［M］.北京：高等教育出版社，1982年修訂本：173－174.

［3］ 趙凱華，陳熙謀.電磁學［M］.北京：高等教育出版社，2003：135－136.