非線性最小二乘問題的不適定性及算法研究

唐利民

長沙理工大學交通運輸工程學院，湖南長沙410004

非線性最小二乘問題的不適定性及算法研究

唐利民

長沙理工大學交通運輸工程學院，湖南長沙410004

非線性模型廣泛存在于測量平差、變形監測及路面模量反算領域中。諸如導線測量中以待定點坐標為未知參數的角度觀測方程和邊長觀測方程，它們都是待定點坐標的非線性函數；GPS偽距測量中，衛星至測站的幾何距離的觀測方程是測站點待定坐標的非線性函數；路基沉降變形分析與預測模型中，沉降量是關于時間的非線性函數；路面模量反算的模型也是非線性函數等。一般的，這些模型的求解均基于非線性最小二乘原理。針對工程應用上的特點，研究非線性最小二乘問題的性質和解算方法，具有重要的理論意義和實踐價值。

求解非線性最小二乘問題可能會存在不適定現象。不合適的原始問題的函數模型或者解算方法的選擇不當都有可能導致非線性最小二乘問題的求解失敗，特別是數值迭代算法中涉及迭代矩陣的求逆運算，而迭代矩陣的病態或奇異則會導致算法失敗。有必要根據不適定理論，研究非線性最小二乘的不適定現象，為解決非線性最小二乘在工程實際問題應用中的局限性提供理論和方法支持。本文針對不適定非線性最小二乘問題的現狀和存在的問題進行了研究，主要內容有以下幾點：

（1）論文分析求解非線性最小二乘問題的經典數值迭代法，提出求解非線性最小二乘問題的數值迭代法的統一模型，在此基礎上對非線性最小二乘問題可能產生的兩種不適定性進行了分析，給出兩種不適定性的定義。并明確指出統一模型中迭代矩陣的求逆運算是產生第一種不適定現象的重要原因。

（2）由于迭代矩陣求逆會導致非線性最小二乘問題產生第一種不適定性，研究迭代矩陣的病態判據就顯得尤其重要。論文分析非線性最小二乘數值迭代算法中迭代矩陣的特性，結合一般病態矩陣判據理論，給出迭代矩陣的病態判據，并研究一種新的替代矩陣，此替代矩陣可以有效地降低迭代矩陣的條件數，為后續研究相關算法提供了理論基礎。

（3）由于Landweber迭代無需矩陣求逆，避免一般非線性最小二乘問題解算方法中由于矩陣求逆而產生的不適定現象，論文基于Landweber迭代理論，建立不適定非線性最小二乘的Landweber迭代算法，此算法無需迭代矩陣求逆即可有效收斂。

（4）論文結合同倫延拓和正則化方法，構造一個穩定泛函，建立非線性最小二乘問題正則同倫解算方法，對其迭代過程進行了詳細的推導。在該泛函中，正則參數可同時起到同倫參數的作用。由于正則同倫參數的存在，可以根據迭代矩陣病態特點選取不同的正則同倫參數值來避免和改善迭代矩陣在迭代過程中的病態性或奇異性。

（5）基于Tikhonov正則化原理，通過添加穩定泛函項，結合修正高斯－牛頓法，論文還建立起Tikhonov正則化修正高斯－牛頓法，此方法可以有效改善迭代矩陣在迭代過程中的病態程度。

（6）通過對迭代矩陣添加一個正則化因子α來改善矩陣在迭代過程中的病態程度，論文建立了不適定非線性最小二乘問題的正則化牛頓迭代算法，給出算法迭代步驟。基于路基沉降泊松預測模型的計算實例表明，此算法在改善迭代矩陣病態性或奇異性的同時，也較普通牛頓迭代法具有更好的擬合曲線。

（7）介紹正則參數選擇策略的研究進展，并對7種正則化因子選擇方法作了簡單的介紹。論文根據不適定非線性最小二乘問題的特點，提出直接搜索法和區間劃分法這兩種確定正則化因子的方法，此方法非常便于計算機實現。

（8）結合計算機語言，開發出相應的求解不適定非線性最小二乘問題算法的INLS工具箱，利用此工具箱，可以很方便的解算不適定的非線性最小二乘問題。

Research on the Ill－posed and Solving Methods of Nonlinear Least Squares Problem

TANG Limin
School of Traffic and Transportation Engineering，Changsha University of Science Technology，Changsha410004，China

his doctorate from School of Geosciences and Info－Physics，Central South University in June 2011.His research interests include meassuring data processing and nonlinear ill－posed problems.

P207

D

1001－1595（2012）01－0632－01

2011－07－05

唐利民（1978—），男，講師，2011年6月于中南大學地球科學與信息物理學院獲得大地測量學與測量工程博士學位（指導教師：朱建軍教授）。研究方向為測量數據處理、非線性的不適定問題。

E－mail：tlmttt＠163.com