基于總體最小二乘的大地測量反演理論及應用研究

王樂洋

東華理工大學測繪工程學院，江西南昌330013

基于總體最小二乘的大地測量反演理論及應用研究

王樂洋

東華理工大學測繪工程學院，江西南昌330013

對于地球物理大地測量學中大部分線性模型來說，其系數矩陣并非常數陣，而是由其他方法觀測、計算得到的；一般由于數據采樣大小、模型化及測量等原因，系數矩陣是具有一定誤差的變量矩陣。如何處理系數矩陣和觀測向量同時存在的誤差，是大地測量反演等數據處理領域研究的新課題之一。總體最小二乘（total least squares，TLS）方法是處理這一問題的有效方法，論文的研究內容分為以TLS為中心的理論（解的性質及算法）研究和應用（TLS大地測量反演）研究兩個方面，主要包括：

（1）系統研究TLS解的性質，通過理論推導和證明發現TLS解及數學期望是最小二乘（LS）解及數學期望的線性變換；TLS單位權方差估值小于LS單位權方差估值；TLS解的條件數總是比LS解大，TLS解更容易受到數據誤差的影響等。

（2）系統研究TLS的幾何解釋及適用性，定義與殘差距離有關的角度，繪制了LS、數據最小二乘（DLS）和TLS準則的幾何關系圖；推導TLS的擾動分析公式，通過分析發現，該公式是LS和DLS擾動分析公式的概括（統一）形式；詳細推導了倍乘、和或差、線性、非線性函數等關系下及兩個相關變量矩陣之間的TLS誤差傳播定律。

（3）詳細推導觀測值與系數矩陣元素相關且不等精度下的TLS計算公式，利用矩陣拉直運算求解隨機模型，并利用組合觀測值的思想將TLS轉化為傳統的、為大家熟知的LS計算方法，給出了TLS平差的精度評定公式，利用測邊網坐標平差驗證了方法的有效性。

（4）采用嶺估計法處理加權TLS的病態性問題，推導相應的求解公式及均方誤差評定精度的方法，定義了病態加權TLS中的模型參數分辨矩陣，并討論嶺參數的含義及其作用，給出確定嶺參數的嶺跡法、廣義交叉核實法和L曲線法；算例顯示本文方法是非常有效的。

（5）推導附有相對權比（標度）的加權TLS估計公式，提出確定相對權比的驗前單位權方差法和目標函數最小化法。當觀測值和系數矩陣的單位權方差在估計之前比較準確已知時，驗前單位權方差法可以確定出合理的相對權比并得到較好的計算結果；當驗前單位權方差不準確時，采用目標函數最小化法來確定相對權比，可以得到目標函數最小的結果。

（6）推導獨立、不等精度、同單位權方差時的附隨機等式約束的加權TLS方法；提出TLS聯合反演方法，詳細推導了線性、非線性等情況下加權TLS的單一反演和聯合反演方法，給出了算法流程圖及迭代步驟。

（7）提出并推導地殼應變參數反演的TLS方法，包括邊長變化、坐標位移反演應變參數的TLS方法；提出地殼應變參數反演的多維變量模型，并推導相關的TLS方法；提出了基于TLS的非均勻地殼應變模型（TLSHSM），利用1998—2004年的249個GPS水平速度場觀測數據和TLS－HSM反演川滇地區的應變率參數，通過對比分析發現，TLS－HSM是比LS－USM（均勻模型）更適合該區域地殼運動和形變解釋的模型。

（8）利用2002—2003年的長白山天池火山區垂直位移和水平位移觀測數據進行Mogi模型的TLS單一反演和聯合反演，通過分析發現，TLS結果整體上優于最小二乘結果，顧及了線性化以及觀測等原因帶來的系數矩陣誤差，參數結果更加可信，并且也更加符合其他方法得到的參數結果，驗證了本文推導的病態、加權、非線性及聯合反演等一系列情況下TLS方法的有效性。

（9）利用Envisat／ASAR雷達影像處理后獲取的2008－11－10青海大柴旦Mw6.3級地震InSAR同震形變場數據和LN算法反演了觀測值含有粗差情況下的地震Okada矩形位錯模型斷層參數，斷層深度為19.691 5km，傾角為56.892 3°，長度為16.499 3km，寬度為6.854 8km，傾滑量為0.832 6m，中心經度為95.884 7°，中心緯度為37.529 5°，走向方位角為116.411 5°，相應的地震矩為3.108 4×1018N m（Mw6.295 0）。當觀測值含有粗差時，LN算法在1范數下求解結構總體最小范數問題可以有效抵抗粗差的干擾，充分利用已有先驗信息的同時顧及了觀測、線性化等原因引起的系數矩陣誤差的影響。

Author：WANG Leyang（1983—），male，lecturer.He received his doctorate in Geodesy and Surveying Engineering from School of Geodesy and Geomatics of Wuhan University in 2011.He is interested in geodetic inversion and geodetic data processing.

E－mail：wleyangwhu＠163.com

Research on Theory and Application of Total Least Squares in Geodetic Inversion

WANG Leyang
Faculty of Geomatics，East China Institute of Technology，Nanchang330013，China

P207

D

1001－1595（2012）01－0631－01

國家自然科學基金及創新群體項目（40874003；40974017；41074007；41021061）；教育部博士點基金（20090141110055）；國家863計劃（2009AA12Z317）；國家公益地震行業科研專項（200808080）

2011－06－15

王樂洋（1983—），男，講師，2011年6月畢業于武漢大學測繪學院，獲大地測量學與測量工程專業博士學位（指導教師：許才軍教授）。主要研究方向為大地測量反演及大地測量數據處理。