一道模擬網(wǎng)絡(luò)電阻的習(xí)題

許 槑

（中國科學(xué)院 北京 100190）

問題：各線電阻均為12Ω的12根導(dǎo)線構(gòu)成一立方體的十二條邊，如圖1所示．請問此立方體任何兩角之間的最大電阻是多少？

圖1

解答：兩角之間的最大電阻為10Ω．

首先考慮相距最遠(yuǎn)兩角A與H之間的電阻．施加一電壓于A，H之間，從對稱可知角B，C和D均處于相等之電壓．因此，可以將B，C和D三個(gè)角聯(lián)結(jié)起來形成A與（B，C，D）之間三個(gè)并聯(lián)的電阻12 Ω，其結(jié)果得出電阻為4Ω．同理，將E，F(xiàn)和G聯(lián)結(jié)起來得出H 與（E，F(xiàn)，G）之間的電阻也是4Ω．從而見到（B，C，D）與（E，F(xiàn)，G）之間被六個(gè)并聯(lián)的12Ω的電阻聯(lián)結(jié)著，兩者之間的有效電阻為2Ω．最終得出A與H 之間的電阻為（4＋2＋4）Ω＝10Ω．

其次，還要證明任何比A與H為近的兩角之間的電阻都小于10Ω．雖然結(jié)論是明顯的，但詳細(xì)討論一下是有益的．在A與E之間施加一電壓，從系統(tǒng)的對稱性可知角（B，C）與角（F，G）處于等電壓，G與C或F與B之間均無電壓差，從而G－C與F－B兩根導(dǎo)線可以去掉，于是得出一個(gè)對于鏈環(huán)A－（B，C）－E（12Ω）與鏈環(huán)A－D－（G，F(xiàn)）－H－E（36 Ω）并聯(lián)的網(wǎng)絡(luò)．這樣，得出A與E之間的電阻為9 Ω．

最后，考慮靠得最近的兩個(gè)角A與B之間的電阻．當(dāng)一電壓施加于A，B之間時(shí)，角（D，C）與角（F，E）分別處于等電壓，故D－G，C－G及E－H，F(xiàn)H 4根導(dǎo)線均可移去，出現(xiàn)了一個(gè)A－B（1 2Ω），A－D－F－B（36Ω）與A－C－E－B（36Ω）并聯(lián)的網(wǎng)絡(luò)．從而得出A，B間的電阻為

從上述解題過程可得出下列有助于對電網(wǎng)分析的4條小結(jié)：

（1）具有相同電壓的點(diǎn)可以連接起來．

（2）連接相同電壓之點(diǎn)的電阻可刪除．

（3）刪除節(jié)點(diǎn)之間的電阻不會降低電網(wǎng)中任何兩點(diǎn)之間的電阻．

（4）在兩節(jié)點(diǎn)間加入一電阻不會增加電網(wǎng)中任何兩點(diǎn)間之電阻．

參照上述思路解下列兩題：

［題1］電阻值均為6Ω的6個(gè)電阻構(gòu)成四面體的六條邊，求兩頂角之間的電阻．

［題2］6個(gè)電阻，阻值分別為1，2，3，4，5和6Ω建構(gòu)成一四面體的六條邊．證明：兩頂角間最小可能的電阻小于0．763Ω．

注：本 文 譯 自 Gran Grimvall，Brainteaser physics．challenging physics puzzlers （2007）problem 1．7 Resistor Cube．

附：兩道電阻題的解

圖1

［題1］施加一個(gè)電壓于等價(jià)的平面化了的網(wǎng)絡(luò)（圖1）之A與B之間．連桿CD可以刪除，因?yàn)閮烧哂邢嗤碾妷海@樣就形成6Ω，12Ωt 12Ω，從而得出A，B之間的電阻為3Ω．

［題2］我們不尋求得出有效電阻的精確值．只是證明該電阻小于0．763Ω．讓四面體“平面”化如圖1所示，刪除虛線所表示的連桿CD．設(shè)AB＝1，AC＝2，CB＝3，AD＝4及DB＝5（單位均為Ω），則得到一總電阻為1．5Ω和9Ω的電阻之并聯(lián)耦合．從而A，B間的總電阻為而剩下的電阻（6Ω）置于CD之間，開出了一條電流的新通道，使A，B之間的有效電阻被降低，低于0．763Ω．