從三個(gè)層次突破高考最后一題

沈榮燦 王國(guó)軍

（上虞中學(xué) 浙江 紹興 312300）

帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是歷年高考考查的重點(diǎn)，各地高考往往將它作為壓卷題，具有較高的區(qū)分度．由于在平時(shí)學(xué)習(xí)中學(xué)生沒(méi)有及時(shí)、有效地歸納，臨場(chǎng)找不到恰當(dāng)?shù)慕忸}方法而心生畏懼，加之在兩個(gè)半小時(shí)內(nèi)要完成物理、化學(xué)、生物三門(mén)學(xué)科組成的理綜考試，時(shí)間顯得尤為緊迫．如何在短時(shí)間內(nèi)迅速找到突破口一直是困擾廣大師生的難題．本文從三個(gè)層次分析帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)題型，并給出相應(yīng)對(duì)策，以期對(duì)學(xué)生、教師有所幫助．

1 基礎(chǔ)題

【例1】一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于x Oy平面，在x Oy平面上，磁場(chǎng)分布在以O(shè)為中心的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為＋q的帶電粒子，由原點(diǎn)O開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，初速為v，方向沿x正方向．后來(lái)，粒子經(jīng)過(guò)y軸上的P點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸的夾角為30°，P到O的距離為L(zhǎng)，如圖1所示．不計(jì)重力的影響．求磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B的大小和x Oy平面上磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R．

圖1

對(duì)策：熟練掌握解題的基本思路，提高畫(huà)圖能力．

（1）找圓心，畫(huà)軌跡 ——確定圓心的幾種方法

方法一：已知入射方向和出射方向時(shí)，可以通過(guò)入射點(diǎn)和出射點(diǎn)分別作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩直線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心，如圖2（a）所示；

方法二：已知入射方向和入射點(diǎn)、出射點(diǎn)的位置，可以通過(guò)入射點(diǎn)作入射方向的垂線，連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，做其垂線，這兩條垂線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心，如圖2（b）所示．

（2）由幾何關(guān)系求半徑——弦切角、圓心角、速度偏向角之間的關(guān)系，如圖2（c）所示．

弦切角θ、速度偏轉(zhuǎn)角α、圓心角β，三者關(guān)系

（3）確定圓心角求時(shí)間

圖2

解：已知條件中給出了入射點(diǎn)、入射方向和出射方向，需要找到出射點(diǎn)．引出射方向的反向延長(zhǎng)線，再作反向延長(zhǎng)線的垂直，該垂線被截得線段＝O′O，則M點(diǎn)為出射點(diǎn)，O′點(diǎn)為圓弧軌道中心．畫(huà)出帶電粒子軌跡如圖2（d）所示．

2 提高題

【例2】（2010年高考全國(guó)卷第26題）如圖3所示，在0≤x≤槡3 a區(qū)域內(nèi)存在與x Oy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B．在t＝0時(shí)刻，一位于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源在x Oy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0～180°范圍內(nèi)．已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在t＝t0時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)邊界上P（槡3 a，a）點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)．求：

（2）此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；

（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開(kāi)磁場(chǎng)所用的時(shí)間．

圖3

此類題型的特點(diǎn)是帶點(diǎn)粒子從同一點(diǎn)以相同速度大小、不同速度方向或相同速度方向、不同速度大小射入磁場(chǎng)，要求學(xué)生畫(huà)出動(dòng)態(tài)圓，尋找臨界條件．但正如圖4所示，要求學(xué)生在短時(shí)間畫(huà)出動(dòng)態(tài)圓，并分析出臨界條件，對(duì)學(xué)生的畫(huà)圖、分析能力要求較高．

圖4

對(duì)策：化動(dòng)態(tài)圓為動(dòng)態(tài)弦，從弦長(zhǎng)角度分析臨界條件．

對(duì)第一類動(dòng)態(tài)圓，若粒子軌跡為劣弧，則相同弦長(zhǎng)對(duì)應(yīng)相同弧長(zhǎng)、相同弦切角、相同運(yùn)動(dòng)時(shí)間等；較長(zhǎng)弦對(duì)應(yīng)較長(zhǎng)弧、較大弦切角、較長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間等．

解：（1）、（3）略．

（2）由題知，沿＋y方向射入磁場(chǎng)的粒子，OP為其軌跡圓弧的弦，對(duì)應(yīng)的弦切角為60°，若粒子入射速度方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖5所示，則粒子在右邊界的出射點(diǎn)P將向下移動(dòng)，弦長(zhǎng)OP先變短后變長(zhǎng)，即對(duì)應(yīng)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間先變短后變大．

圖5

如圖，當(dāng)弦OP1與OP關(guān)于x軸對(duì)稱，該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝t0，此時(shí)弦切角同為60°，速度與＋y成60°角．

同理分析可知，粒子從左邊界射出的臨界弦OP2，該粒子的速度方向與＋y成120°角．

3 能力提升

【例3】（2009年高考浙江卷第25題）如圖6所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上．在x Oy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在半徑為R的圓內(nèi)還有與x Oy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q（q＞0）和初速度v的帶電微粒．發(fā)射時(shí)，這束帶電微粒分布在0＜y＜2R的區(qū)間內(nèi)．已知重力加速度大小為g．

圖6

（1）從A點(diǎn)射出的帶電微粒平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向離開(kāi)，求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向．

（2）請(qǐng)指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說(shuō)明理由．

此類題型較新穎，對(duì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題的能力要求較高．

對(duì)策：運(yùn)用數(shù)學(xué)工具——平面幾何、解析幾何、參數(shù)方程．

（1）平面幾何．添加相關(guān)輔助線，尋找直角三角形或菱形，通過(guò)三角函數(shù)或勾股定理確定長(zhǎng)度關(guān)系；

（2）解析幾何．寫(xiě)出磁場(chǎng)邊界方程（約束方程）與粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡方程，聯(lián)立方程組解出入射點(diǎn)和出射點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）參數(shù)方程．以變量為參數(shù)，寫(xiě)出邊界點(diǎn)與參數(shù)的關(guān)系，消參寫(xiě)出軌跡方程．

解：（1）略；

（2）

方法一：解析幾何

從任意一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電微粒在磁場(chǎng)中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．如圖7所示，連接PO′點(diǎn)與y軸的夾角為θ，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（－R sinθ，R＋R cosθ），軌跡圓心Q的坐標(biāo)為（－R sinθ，R cosθ）．

圖7

圓周運(yùn)動(dòng)軌跡方程為

而磁場(chǎng)邊界方程為

x2＋（y－R）2＝R2

第一組解（0，0）即為出射點(diǎn)坐標(biāo)，第二組解［－R sinθ，R（1＋cosθ）］即為入射點(diǎn)P的坐標(biāo)．由此可知帶點(diǎn)粒子均從原點(diǎn)O點(diǎn)射出．

方法二：平面幾何

過(guò)P點(diǎn)做PQ⊥v，且PQ＝R，連接PO′和Q O．

由PQ瓛O′Q，可推得四邊形PO′OQ 為平行四邊形．

由PQ＝PO′＝R，可推得平行四邊形PO′OQ為菱形，則有Q O＝R．

以Q為圓心，R為半徑做圓弧．可知，P點(diǎn)射入的粒子將從原點(diǎn)O射出．

從上例不難發(fā)現(xiàn)，平面幾何方法解題的特點(diǎn)是簡(jiǎn)潔、易懂、計(jì)算量小，但對(duì)分析、推理能力要求較高，具有一定技巧性．一般學(xué)生遇到此類問(wèn)題感覺(jué)棘手，難以尋找題目的切入點(diǎn)；而運(yùn)用解析幾何方法按部就班，通過(guò)軌跡方程與約束方程確定交點(diǎn)坐標(biāo)，尋找規(guī)律，學(xué)生易下手，找到題目的突破口，但往往需要解方程組，計(jì)算量相對(duì)較大．

【例4】如圖8所示，直角坐標(biāo)系中直線AB與x軸夾角∠BAO＝30°，AO長(zhǎng)為a．假設(shè)在點(diǎn)A處有一放射源可沿∠BAO所夾范圍內(nèi)的各個(gè)方向放射出質(zhì)量為m、速度大小均為v、電荷量為e的電子，電子重力忽略不計(jì)．在三角形ABO內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，當(dāng)電子從頂點(diǎn)A沿AB方向射入磁場(chǎng)時(shí)，電子恰好從O點(diǎn)射出．試求：

圖8

（1）從頂點(diǎn)A沿AB方向射入的電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；

（2）磁場(chǎng)大小、方向保持不變，改變勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布區(qū)域，使磁場(chǎng)存在于三角形ABO內(nèi)的左側(cè)，要使放射出的電子穿過(guò)磁場(chǎng)后都垂直穿過(guò)y軸后向右運(yùn)動(dòng)，試求勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域分布的最小面積S；

（3）磁場(chǎng)大小、方向保持不變，現(xiàn)改變勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布區(qū)域，使磁場(chǎng)存在于y軸與虛線之間，示意圖見(jiàn)圖8（b）所示，仍使放射出的電子最后都垂直穿過(guò)y軸后向右運(yùn)動(dòng)，試確定勻強(qiáng)磁場(chǎng)左側(cè)邊界虛線的曲線方程．

解：（1）略；

（2）當(dāng)電子沿AB方向射入磁場(chǎng)，其圓弧部分軌跡即為有界磁場(chǎng)的上邊界（半徑為a，圓心角為60°的圓弧）．

設(shè)電子以與x軸夾θ角射入磁場(chǎng)，離開(kāi)磁場(chǎng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），如圖9（a）所示．

圖9

磁場(chǎng)的下邊界為以（－a，a）為圓心，a為半徑的部分圓弧，磁場(chǎng)區(qū)域分布的最小面積為

（3）設(shè)電子與x軸正方向夾角θ，從P（x，y）點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，如圖9（b）所示．

【例5】如圖10所示，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系xy，沿y軸放置一平面熒光屏．在y＞0，0＜x＜0．5 m的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B＝0．5 T．在原點(diǎn)O放一個(gè)開(kāi)有小孔粒子源，粒子源能同時(shí)放出比荷為＝4．0×105C／kg的不同速率正離子束，沿與x軸成30°角從小孔射入磁場(chǎng)，最后打在熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮．入射正離子束的速率在零到最大值vm＝2．0×106m／s的范圍內(nèi)，不計(jì)離子之間的相互作用，也不計(jì)離子的重力．

（1）求離子打到熒光屏上的范圍；

（2）若在某時(shí)刻（設(shè)為t＝0時(shí)刻）沿與x軸成30°角入射的各種速率的正離子，求經(jīng)過(guò)10－7s時(shí)這些離子所在位置構(gòu)成的曲線方程．

圖10

解：（1）略；

如圖11所示，設(shè)離子粒子軌道半徑為r，t時(shí)刻所在位置P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）．

圖11

由圖可知

運(yùn)用參數(shù)方程解決粒子軌跡方程或磁場(chǎng)的邊界方程的難點(diǎn)在于如何設(shè)置參數(shù)，從例5、例6不難發(fā)現(xiàn)——設(shè)變化的物理量為參數(shù)．例5中速度大小確定，方向可變，故需設(shè)入射角θ為參數(shù)；例6中速度偏轉(zhuǎn)角確定，但速度大小連續(xù)變化，故設(shè)半徑r為參數(shù)．