獨立多細節結構耐久性試驗壽命的統計標定

賀小帆 董彥民 劉彥毛 劉文珽

(北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京 100191)

獨立多細節結構耐久性試驗壽命的統計標定

賀小帆 董彥民 劉彥毛 劉文珽

(北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京 100191)

在進行疲勞試驗評定結構壽命時，為了能真實模擬實際結構形式和傳載情況，模擬試件往往設計成多細節試件，進行不完全疲勞壽命試驗，必須由多細節試件壽命推斷單細節壽命.針對工程上常用的兩種壽命分布形式:對數正態分布和雙參數Weibull分布，以結構串聯失效模型為基礎，建立了由相同獨立多細節結構疲勞壽命分布確定單細節壽命分布的統計標定方法.當多細節試件壽命服從對數正態分布時，可近似認為單細節壽命也服從對數正態分布，單細節壽命分布參數與多細節試件壽命分布參數間存在確定關系，并且單細節壽命數學期望和標準差均高于多細節試件相應參數;當多細節壽命服從雙參數Weibull分布時，單細節壽命也服從雙參數Weibull分布，其斜率不變，但位置參數按比例放大.最后給出了一個分析實例.

疲勞;使用壽命;多細節;對數正態分布;Weibull分布;統計標定

疲勞試驗是驗證和評定飛機結構耐久性的必需手段，在飛機結構的設計和使用階段，要進行大量模擬試件的疲勞試驗以獲取疲勞特性參數，為結構設計和壽命評定提供依據.

飛機上存在大量的由獨立相似細節構成的結構，在進行疲勞試驗測試結構的壽命時，由于時間和經費限制，往往不可能進行成組的全尺寸疲勞試驗，而是模擬結構細節進行元件級疲勞試驗，此時就存在著考慮細節數量的元件壽命和結構壽命間的折算問題［1］，需要測試得到單個細節的疲勞壽命.但在元件級試驗中，模擬試件一方面要能良好地模擬結構形式(如材料、連接狀態、幾何形狀、尺寸)、表面狀態和受力模式，另一方面又力求簡單，能夠實現以最簡單的形式再現結構關鍵部位的力學特性，并易于疲勞試驗.由于結構形式和功能要求，模擬試件往往含有多個細節.以飛機上最常見的連接件為例，為了實現合理的載荷傳遞和應力分布，模擬試件往往設計成對稱的多孔疊層連接試件.此時，一旦一個孔破壞，則試件破壞，但是試件壽命反映的并不是單一細節的壽命，在評定含有多個細節的結構壽命時，以不完全疲勞試驗壽命作為統計量來描述單細節的壽命會喪失部分信息，得到的結果過于保守.為了避免上述問題，在試驗方面，進行了很多改進，如串聯多細節試件，在一個細節破壞后，還可以將剩余部分繼續試驗以獲得有效壽命信息，但是，這樣加大了試件設計、加工以及疲勞試驗的復雜性，工程上難以采用.

為了解決試驗壽命的有效信息問題，本文討論一種統計標定方法，即考慮試件細節數目對試件壽命進行推斷以獲取單細節壽命分布參數.

1 統計標定的含義和理論基礎

1.1 假 設

1)細節相互獨立，細節裂紋尺寸達到工程可檢尺寸即認為細節失效，此時由于裂紋尺寸較小，不會引起其他細節的應力場變化，可以認為細節是相互獨立的;

2)［n］個細節失效，則結構失效，并通常取［n］=1;

3)細節壽命分布形式相同;

4)多細節壽命可用對數正態分布或雙參數Weibull分布描述.

1.2 統計標定的含義

多細節試件疲勞試驗無法進行到所有細節失效，一旦部分細節失效則停止試驗，屬于不完全壽命試驗，由多細節試件壽命分布和特征值推斷單細節壽命分布和特征值的過程稱為標定［2］.具體描述形式如下:設多細節壽命的概率密度函數為f(θ1)，單細節壽命的概率密度函數為 g(θ2)，其中f(x)，g(x)為分布函數，θ1和 θ2是分布參數.當f(θ1)已知，確定g(x)和θ2的過程稱為統計標定，θ1和θ2是一種概率意義上的統計關系.

1.3 統計標定的理論基礎

1)失效準則.對含M個獨立細節的結構，假定其中［n］個細節失效，則結構失效.

以Y表示多細節結構的壽命，FY(N)=P{Y＜N}表示Y的分布函數.以X表示單細節壽命，FX(N)=P{X＜N}表示X的分布函數，則

若令［n］=1，則多細節結構為串聯結構，有

2)疲勞壽命分布特性

由于材料、幾何、結構、加工等的分散導致的結構固有分散，疲勞壽命為隨機變量，通常采用對數正態分布或Weibull分布描述疲勞壽命的分布特性［3］.其概率密度函數為

① 對數正態分布(LN，Log-Normal).包括最小值為0和最小值不為0的對數正態分布形式，其概率密度函數為

式中，N0為最小壽命;μ=E(lg(N－N0))為數學期望;σ為標準差.

② Weibull分布.包括三參數Weibull分布和雙參數Weibull分布，其分布函數為

式中，γ為最小壽命;α為斜率;β為位置參數.

它由Weibull提出，基于最弱環理論，認為結構由若干個相同單元串聯構成，最小單元的壽命決定了結構的壽命，其最佳極值分布為Weibull分布［4］.目前在軍用運輸機和民用飛機結構疲勞失效壽命分布特性中得到了廣泛應用.

由于三參數分布參數多，參數估計穩定性差，工程上普遍采用最小壽命為0的對數正態分布和Weibull分布，以給出偏于保守的結果.

針對這兩種分布形式，給出了常用金屬結構的對數疲勞壽命標準差和雙參數Weibull分布的斜率參數［5－11］.

2 基于Weibull分布的統計標定

假設相同多細節結構壽命服從雙參數Weibull分布，取［n］=1，多細節結構壽命分布滿足

顯然，單細節壽命X也服從雙參數Weibull分布，且αi=α.表明單細節壽命分布斜率不變，而位置特征值是比例放大，設放大系數為 K，則K=M1/α，與細節數和分布斜率有關.

該問題屬于典型的尺度效應問題，在Weibull及后續的文章中進行了大量的討論［4］.

3 基于對數正態分布的統計標定

3.1 壽命分布及參數特性

取［n］=1，假定相同多細節結構壽命服從對數正態分布 LN(μ，σ2)，則有 Y=min{Xi|i=1，2，…，M}，轉化為對數形式 Y'=lg Y=min{X'=lg Xi|i=1，2，…，M}

由于Y″為標準正態分布和X″的分布僅僅與M有關，記其數學期望和方差分別為 E(X″)和Var(X″)，用Mathcad軟件計算得到的典型值見表1，且有

3.2 統計標定的近似方法

式(1)比較復雜，為便于應用，提出如下假設:

當多細節壽命Y服從對數正態分布時，單細節壽命X也服從對數正態分布.該假設等同于X″服從正態分布.

1)擬合優度檢驗

表 1 E(X″)和 Var(X″)取值

①按多細節壽命分布函數進行隨機抽樣，獲得多細節壽命的樣本點(N，PY)i(i=1，2，…，K)，其中PY=FY(N);

②按式(1)確定單細節壽命樣本點(N，PX)i，其中 PX=FX(N)=1－(1－PY)1/M;

③由(N，PX)i數據對進行分布特性擬合優度檢驗，若單細節壽命也服從對數正態分布LN(E(X″)，Var(X″))，則有

由(N，PX)i數據對構造(up，N)i數據對，按線性回歸方法給出相關系數［12］.

取隨機樣本點數量K≥50000，相關系數均大于0.997，可以接受單細節壽命服從對數正態分布的假設.

典型細節數對應的模擬結果見圖1.

圖1 分布函數對比

從圖1可以看出，在分布函數的首尾兩端差別相對比較明顯，應予以關注，典型失效概率P下對應的單細節壽命相對誤差見表2.

表2 小概率對應的相對誤差

取軍用飛機結構常用的失效概率P=0.1%，估計值均小于真值，偏于保守.

2)壽命分布參數的關系

式(2)和表1可以作為單細節對數壽命分布的數學期望和方差.隨著細節數的增加，分布函數依次右偏，說明數學期望和方差隨細節數的增加而增大.

4 算例

美國空軍耐久性手冊背景資料給出7475-T7351鋁合金雙孔平板試件在隨機載荷譜下的疲勞試驗結果［13］，該試件兩孔距離足夠大保證兩孔應力分布無相互影響，在試件斷裂后將另一孔靜拉斷，通過斷口判讀獲得裂紋萌生壽命.將兩個孔的裂紋萌生尺寸為0.76mm(0.03 in)時對應的裂紋萌生壽命列入表3.

表3 雙細節試件壽命 飛行小時

1) 假定試件壽命服從對數正態分布

假定試件疲勞壽命N服從對數正態分布，由表3數據按下式估計分布參數:

式中，n為試件數，n=7.

由表3中第4列數據估計得到雙細節試件壽命分布為 LN(4.159 12，0.060 842)，將表 3 中第1、第2列數據綜合在一起估計得到的單細節壽命分布為 LN(4.18612，0.074622)，按式(2)和表1，標定得到的單細節對數壽命期望為4.159 12+0.06084 ×0.7014=4.20195，方差為0.060842×1.557=0.075 922，即標定的單細節壽命服從LN(4.20195，0.075922)，對應的上述分布函數曲線見圖2.

由于試件樣本容量有限，估計得到的曲線與標定曲線有一定差別.但在高可靠度區，這種差別不明顯.

2)假定疲勞壽命服從雙參數Weibull分布

按下式估計分布參數:

圖2 分布函數對比

估計得到的參數分別為:雙細節試件壽命服從Wei(15 372，8.657 2)、單細節壽命服從 Wei(16686，6.1492)，標定得到的單細節壽命特征值為15372 ×21/8.6572=16653，標定得到的單細節壽命服從 Wei(16653，8.6572).上述分布函數如圖3所示.

圖3 基于Weibull分布的對比圖

同樣，由于試件樣本容量的限制，估計得到的尺度參數和斜率參數與標定值均不同.為了保證分布參數的穩健性，參考文獻［10－11］，取多細節壽命分布斜率α=4.0，按上述過程得到:試件壽命服從Wei(14 895，4.0)、估計得到的單細節壽命服從Wei(16 219，4.0)，標定得到的單細節壽命特征值為14895×21/4.0=17713，標定得到的單細節壽命服從 Wei(17 713，4.0)，上述分布函數見圖4.

同樣，由于樣本容量的限制，估計值與標定值有一定差別，但在高可靠度區，差別不明顯.

圖4 基于單參數Weibull分布的對比圖

5 結論

1)當多細節壽命服從對數正態分布時，單細節壽命也可近似用對數正態分布描述，但在分布函數首尾兩端差別比較明顯.單細節壽命分布參數與多細節壽命分布參數間存在明確關系，單細節壽命的數學期望和方差隨著細節數的增加而增大.

2)當多細節壽命服從雙參數威布爾分布時，單細節壽命也服從雙參數威布爾分布，分布參數間也存在明確關系:分布斜率不變，位置參數按比例放大.

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(編 輯:李 晶)

Statistical scaling of durability life for independent multi-detail structures

He Xiaofan Dong Yanmin Liu Yanmao Liu Wenting

(School of Aeronautic Science and Engineering，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China)

To assess the fatigue life for aircraft structure，the specimen used for the durability test is often designed as multi-details(MD)to simulate the structural configuration and load transfer.Once one detail fails，the fatigue testing is ended，and the fatigue life of single detail(SD)must be deduced statistically based on the incomplete life of MD specimen.Based on the series failure model of the same multi-detail structures，the statistical scaling approach was proposed to determine the life distribution of the single detail.Assuming the fatigue life of MD follows the log-normal distribution，Monte Carlo sampling and stimulating results show that the fatigue life of single detail follows the same distribution approximately;the expressions between the distribution parameters of MD and SD are deduced.The expectation and variation of MD are higher than those of SD.Assuming the fatigue life of MD follows the two-parameter Weibull distribution，the SD’s fatigue life follows the same distribution whose slope is unchanged，but location parameter is larger than that of MD.Finally，an example for analyzing MD fatigue test result from American durability test program is given.

fatigue;service life;multi-details;log-normal;Weibull distribution;statistical scaling

V 215.5

A

1001-5965(2012)06-0715-05

2011-03-15;網絡出版時間:2012-06-15 15:44

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120615.1544.030.htm l

國家自然科學基金資助項目(11002009)

賀小帆(1976 －)，男，湖北天門人，副教授，xfhe@buaa.edu.cn.