W eibull分布更新函數的指數近似算法

劉天華 張志華 李大偉 張光宇

(海軍工程大學兵器工程系，武漢 430033)

W eibull分布更新函數的指數近似算法

劉天華 張志華 李大偉 張光宇

(海軍工程大學兵器工程系，武漢 430033)

針對Weibull分布的更新函數較難確定的問題，研究了在平均壽命相等情況下指數分布與Weibull分布之間的貼近性.在此基礎上，提出利用指數分布的更新函數模型計算Weibull分布的更新函數，能夠比較方便有效地得到近似解.通過實例計算，分別比較了指數方法(直接利用指數分布的更新函數)、線性加權模型以及幾何加權模型等三種方法的精度.結果表明:當時間較短時，線性加權和幾何加權模型比指數方法精確度有所提高;當時間較長時，幾何加權模型的精度較高.利用該結論能夠為工程應用提供方便.

更新函數;指數近似;線性加權;幾何加權

更新過程(renewal process)是可靠性與維修性研究領域里的一項基本理論.利用更新過程對部件或系統進行可靠性評估、可用度計算以及維修費用分析時，常常需要預測一段時間內的平均失效(更換)次數，這就涉及到更新函數(RF，Renewal Function)的確定問題.然而，對于有些常見的分布族來說，如Weibull分布、Gamma分布等，其更新函數的確定比較復雜，有時要得到明顯的表達式也是比較困難的.

為此，學者們提出了一些近似方法或數值方法來計算RF.例如擴展三次樣條算法(extended cubic splining algorithm)、生成函數算法(generating function algorithm)以及冪級數展開(power series expansion)等方法［1－3］.但由于實施條件復雜、具有離散化誤差或者計算量過大等原因，導致這些方法未能得到廣泛的應用.文獻［4－5］利用累積分布函數和失效函數的線性加權或幾何加權，對特征壽命內的更新函數進行近似，思路簡單，精確度較高，但對于特征壽命處更新函數值的確定方法并沒有明確給出，故仍然需要通過計算機模擬得到.

指數分布由于具有“無記憶性”以及與Poisson過程之間的關系，在可靠性理論與應用概率模型中有著非常重要的地位.指數分布的更新函數形式簡單，在已知其平均壽命的情況下能夠直接得出結果.因此，本文在研究指數分布與Weibull分布之間的緊密關系基礎上，提出利用指數分布近似計算Weibull分布的更新函數.進而結合更新函數的上下限——累積失效函數和累積分布函數進行線性加權或幾何加權，能夠比較方便得到更新函數的近似解，最后通過模擬驗證其有效性.

1 Weibull分布與指數分布的貼近性

工程中遇到的分布常常是非指數的.由于這些分布并不具有“無記憶性”，給一些定性定量分析帶來了不便.很多情況下常常直接按指數分布來對待.這樣處理是否具有合理性，有必要進行研究.首先需要研究這些壽命分布類的分布函數與指數分布的差異有多大.

通過數值的方法評估Cd，將區間(0，1)劃分成 K+1 個子區間:(0，p1)，(p1，p2)，…，(pK，1)，其中，pj=(j－0.5)/K，j=1，2，…，K.(pj，pj+1)的中間值為mj=j/K.則

這樣，式(1)可以通過下式近似計算

為不失一般性，取λ=1，K=50，能夠獲得如圖1的結果.

由圖 1 可知，當 β∈(0.6，3.3)時，Cd＜0.25，此時指數分布與Weibull分布比較貼近，誤差比較小.實際上進一步還能證明當β＞1，且t＜μ時，有F(t)≤G(t).

圖1 Weibull分布與指數分布的逼近程度C d與β關系

2 更新函數的指數近似算法

2.1 近似思想

對于壽命分布函數為F(t)的部件，其累積失效函數(CHF，Cumulative Hazard Function)為H(t)，則其失效率函數為 r(t)=d H(t)/d t.F(t)與H(t)的關系為

F(t)的更新函數為

其中，f(t)=d F(t)/d t是概率密度函數.

由式(3)可知M(t)＞F(t).當t比較小時，后一項幾乎等于0，則

即F(t)可以看作M(t)的下限.

類似地，由于M(t)的物理意義可以看作對于不可修產品，在完全更換條件下的平均故障次數;而H(t)可以看作在最小維修條件下的平均故障次數.顯然最小維修的故障次數要大于完全替換時的故障次數，即M(t)＜H(t).當t比較小時，則有

即H(t)可以看作M(t)的上限.

由以上分析，結合M(t)的上限和下限，能夠對M(t)進行近似計算.

2.2 指數近似方法

結合更新函數的上下限，采用以下兩種模型近似計算 F(t)的更新函數 M(t)［4－5］.

模型1:線性加權模型

其物理意義表示［0，t)內的平均更新次數.當F(t)服從Weibull分布時，更新函數的計算是比較困難的.實際上，更新函數還有另一種表達形式，即

模型2:幾何加權模型

其中，p，q，x，y 是待確定參數，且滿足 p+q=1，x+y=1.

在M(T)已知的情況下，聯立方程組

即可確定參數 p，q，x，y.從式(7)可以看出，只需要知道時刻T的更新函數值M(T)，即可利用式(5)或式(6)對時間T以內的更新函數M(t)進行近似計算.

當F(t)服從Weibull分布時，其更新函數值M(T)確定比較困難.通過前面的研究發現，在形狀參數 β∈(0.6，3.3)時，平均壽命相同的指數分布與Weibull分布函數比較接近，即F(t)≈G(t).那么，當時間 T比較小時，會有 F(n)(t)≈G(n)(t).也就意味著兩種分布的更新函數會比較接近.而指數分布的更新函數形式為

顯然，指數分布的更新函數形式簡單，容易計算.因此，利用指數分布的更新函數近似計算Weibull更新函數可以避免計算機模擬，便于工程應用.具體的計算步驟如下:

2)利用式(8)計算 p，q或 x，y;

3)利用式(6)或式(7)求得T以內的更新函數值.

3 實例分析

下面通過實例驗證第2節提出的Weibull更新函數的兩種指數近似方法精確性.

為方便比較，可取F(t)的平均壽命為μ=1，根據β的范圍，可分別取參數為(β，λ)=(1.5，0.8577)，(2.0，0.785 4)，(2.5，0.741 5).計算T=μ=1以及T=10以內的更新函數值.首先通過模擬的方法得到精確度較高的更新函數值M(t)，然后分別采用兩種模型進行近似計算，以及直接利用指數分布的更新函數式(9)(這里簡稱指數法)計算，結果如表1～表3所示.

從表1～表6中結果可以看出:

1)當時間在平均壽命以內時(見表1～表3)，兩種近似計算模型結果與真實值比較接近，而指數方法得到的更新函數值則保守度較高;

2)當時間比較長時，大于平均壽命時(見表4～表6)，模型1即線性加權的結果會比真實值偏小，而模型2的近似效果與真實值比較接近.

表 1 (β，λ)=(1.5，0.8577)，T=1 以內

表 2 (β，λ)=(2.0，0.7854)，T=1 以內

表 3 (β，λ)=(2.5，0.7415)，T=1 以內

表 4 (β，λ)=(1.5，0.8577)，T=10 以內

表 5 (β，λ)=(2.0，0.7854)，T=10 以內

表 6 (β，λ)=(2.5，0.7415)，T=10 以內

4 結論

利用指數分布模型近似計算Weibull分布的更新函數是比較方便的，兩種模型的使用時機是:①當精確度要求較低時，直接利用指數方法進行近似計算;②當精確度要求較高，且時間較短時，可利用線性加權或幾何加權進行近似計算;③當精確度要求較高，且時間較長時，可利用幾何加權模型進行近似計算.

類似地，對于其它分布如對數正態分布以及Gamma分布等更新函數計算比較復雜的壽命分布同樣可通過指數分布的近似方法來解決.

References)

［1］ Eric Smeitink，Rommert Dekker.A simple approximation to the renewal function［J］.IEEE Transactions on Reliability，1990，39(1):71－75

［2］ McConalogue D J.Numerical treatment of convolution integrals involving distributions with densities having singularities at the origin［J］.Communications in Statistics，1981，B10:265 －280

［3］ Jiang R.A Gamma-normal series truncation approximation for computing the Weibull renewal function［J］.Reliability Engineering ＆ System Safety，2008，93:616 －626

［4］ Jiang R.A simple approximation for the renewal function with an increasing failure rate［J］.Reliability Engineering ＆ System Safety，2010，95:963 －969

［5］ Jiang R.A simple approximation for the Weibull renewal function［C］//Proceedings of the 2009 IEEE IEEM.Hong Kong:IEEE，2009:1146－1149

(編 輯:婁 嘉)

Applications of exponential-approximate method w ith multi-resolution in spare requirement determ ination

Liu Tianhua Zhang Zhihua Li Dawei Zhang Guangyu

(Dept.ofWeapon Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China)

As to the fact that it is difficult to determine the renewal function(RF)of the Weibull distribution，the closeness between the two distributions with the same average life was studied.On this condition，the RF of exponential distribution was applied to compute that of the Weibull distribution，and the approximate solution would be gained expediently.Furthermore，the accuracy of the three methods was compared.That is，exponential method(The RF of the exponential)，linear weight model and geometrical weight model respectively.The result shows that compared with the exponential method，the precision of the two models are highly enhanced when the time is short;and the precision of the geometrical weight model is still high when time is long.This conclusion would provide convenience for the engineering.

renewal function;exponential approximation;linearly weighted;geometrically weighted

TP 391.9

A

1001-5965(2012)06-0816-03

2011-09-23;網絡出版時間:2012-06-15 15:44

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120615.1544.040.htm l

總裝預研資助項目(51327020105，51304010206);海軍工程大學博士生創新基金資助項目(HGBSJJ2011009)

劉天華(1984－)，男，湖北南漳人，博士生，111navy@163.com.