具有復雜非線性環節的一類嚴反饋形式非線性系統的魯棒自適應動態面控制

張秀宇，王建國，孫靈芳，付宏偉

(1.東北電力大學自動化工程學院，吉林吉林132012;2.華北電力科學研究院，北京100045)

磁滯是最重要的非平滑非線性環節之一，廣泛存在于實際物理系統和裝置中［1］。當一個裝置受到磁滯非線性環節影響時，控制系統將產生諸如準確性降低、系統發生抖震甚至變得不穩定等嚴重問題［2］。工程應用中，磁滯現象的建模與控制是一個極具挑戰性的問題。近年來，隨著含有磁滯現象的智能材料的廣泛使用，該問題亦受到研究人員的廣泛重視［3］。

控制系統中磁滯環節的處理方法主要分為兩大類:一類方法是在控制系統中引入磁滯現象的逆過程來抵消磁滯現象(詳見參考文獻［4］);另一類方法是在不建立磁滯你環節的情況下，利用魯棒自適應控制策略來抵消或抑制系統中的磁滯現象。由于這種方法允許設計者采用各種魯棒控制策略且便于穩定性分析，引起了控制領域學者的興趣［5］。

在未建立磁滯逆環節的情況下，大部分控制策略都采用了自適應反推方法，這種方法在過去二十年中被廣泛使用并且成為了解決非線性系統控制問題的重要方法［6］。但是，反推法的缺點也顯而易見，存在所謂“微分爆炸”問題。

近年來，為了克服反推控制方法的缺點，受多滑模面控制方法的啟發，Swaroop等學者最先提出了動態面控制方法［7］。目前，在一些文獻中，也有用到動態面技術來處理一些非平滑非線性環節。

針對帶有PI模型描述的磁滯現象的一類非線性系統，本文所提出的自適應動態面控制方案克服了采用反推方法所引起的“微分爆炸”問題。

1 系統描述

對于系統(1)有如下假設。

假設1系統中不確定項Δi(x，t)，i=1，…，n，為未知Lipschitz連續函數且滿足

其中:ρi()為已知正光滑函數，bi為未知正常數。

假設2參考信號yr光滑、有界且對于t≥0，［yr，］T屬于某一緊集。

假設3gi，i=1，…，n，的符號已知且存在一個常數gmin，使得gmin≤gi。不失一般性，我們假定gi＞0。

本文中所用到的PI磁滯模型如下:

其中:p(r)為磁滯的密度函數，Fr［u］(t)為Play算子。現將(3)式代入(1)式可得，其中:β=gnp0(β＞0)，pg(r)=gnp(r)。

2 自適應動態面控制器設計

本文給出了自適應動態面技術來處理PI模型描述的磁滯現象的控制方案。整個設計過程共包含n步，實際控制律將在最后一步給出。

第1步定義第一個面誤差(也是跟蹤誤差)為

其中，yr為參考信號。考慮如下二次型方程其中，且分別為的估計值;γg1，γb1，γφ1為大于零的設計參數。因下述不等式成立:

虛擬控制律x2d可設計為

且η1，σ1，κ1為正設計參數。令x2d經過一階低通濾波器獲得的新變量x2，表示如下:

其中，τ2為濾波器時間常數。

第i步(2≤i≤n-1):定義第i個面誤差為

其中:ci為正設計參數，c2，…，cn用來保證系統跟蹤誤差性能指標。考慮如下二次型方程

且ηi，σi，κi為大于零的設計參數。令xi+1d經過一階低通濾波器獲得的新變量zi+1如下所示:

其中，τi+1為濾波器時間常數。

第n步定義第n個面誤差為

我們考慮如下二次型方程

將設計u為

且ηn，σpr，κn為正設計參數。的調參律設計為

且ηζ為正設計參數。

3 穩定性分析

本對所提出的動態面控制方案采用Lyapunov穩定性分析方法進行穩定性分析。

定理1考慮由被控對象，一階低通濾波器，實際控制律以及調參律所組成的閉環控制系統。若假設1-3成立。令Lyapunov函數定義為如下形式

其中:Vi已分別定義。對于任意給定的正常數p，若V(0)≤p成立，則存在ki，τi+1，γgi，γθi，γbi，γζ，γgn，γpr，γbn，ηi，σi，κi，ηn，σpr，κn，i=1，…，n-1，使得閉環系統所有信號半全局一致有界，且通過合理調整可調參數，系統的跟蹤誤差可收斂到任意小的鄰域內。此外，通過設置系統的初始化條件，系統跟蹤誤差可滿足性能指標。

證明:對Lyapunov函數V求導得

令

則當V=p時˙V≤0。這說明V≤p是一個不變集。若V(0)≤p，那么對于所有t≥0，V(t)≤p恒成立。可得

4 仿真算例

現考慮如下具有磁滯輸入的二階非線性系統:

其中ω磁滯環節的輸出，g1，g2為未知參數，Δ1和Δ2為擾動項。在仿真中，參數選擇為g1=1.1，g2=1.1，θ1=0.12，θ2=0.01，f1(x1)=0.9，f2(x1，x2)=0，Δ1=0.2sin(x2)，Δ2=0.15(+)cos3t。因此b1=0.15，ρ1(x1)=1.5，b2=0.12，ρ2()=0.8+0.95。p(r)=0.5e-0.0014(r-1)2。控制目的是使系統輸出y能夠跟蹤給定參考信號yr=sin(1.5t)。系統設計步驟如本文第三部分所示，這里不再詳述。

圖1 磁滯補償項存在時系統的輸出y與參考信號yr(分別為實線和虛線)

圖2 沒有磁滯補償項時系統的輸出y與參考信號yr(分別為實線和虛線)

［1］Mittal S.，Menq C.H..Hysteresis Compensation in Electromagnetic Actuators Through Perisach Model Inversion［J］.IEEE Transactions on Mechatronics，2000，5(4):394－409.

［2］Tao G.，Kokotovic P.V..Adaptive Control of Plants with Unknown Hystereses［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1995，40(2):200－212.

［3］Tan X.，Baras J.S..Adaptive Identification and Control of Hysteresis in Smart Materials［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2005，50(6):827－839.

［4］Moheimani S.，Goodwin G.C..Guest Editorial Introduction to The Special Issue on Dynamics and Control of Smart Structures［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2001，9(1):3－4.

［5］Zhang Xiuyu.，and Lin Y.A robust adaptive dynamic surface control for a class of nonlinear systems with unknown Prandtl-Ishlinskii hysteresis.International Journal of Robust and Nonlinear Control，2011，21(13):1541－1561，.

［6］Krsic M.，Kanellakopoulos I.，Kokotovic P.V..Nonlinear and Adaptive Control Design［M］.New York:A Wiley-Interscience Publication，1995.

［7］張秀宇，林巖.具有磁滯輸入非線性系統的魯棒自適應控制［J］.自動化學報，2010，36(9):1264－1271，

［8］Zhang T.P.and Ge S.S.Adaptive Dynamic Surface Control of Nonlinear Systems with Unknown Dead Zone in Pure Feedback Form［J］.Automatica，2008，44(7):1895－1903