獨立分量分析在諧波源辨識中的應用

鄭東方，陳紅坤，楊志平

（武漢大學電氣工程學院，武漢430072）

自從采用交流電作為電能輸送的一種方式起，人們就已經意識到電力系統中存在的諧波問題。近年來隨著社會經濟的快速發展，大量的電力電子非線性設備接入電力系統中，使電力系統受到嚴重的污染，諧波問題更加突出。另外，隨著低碳經濟時代的到來，國家大力開發風能以及太陽能等清潔資源，并將風電、光伏發電與傳統電網并網，使得系統中的諧波情況更加復雜，這些對電力系統的安全、穩定運行造成了極大的危害。如何有效地對諧波進行控制并確定諧波污染責任和治理責任，已成為電力系統和用戶共同關注的問題，而控制和改善諧波的前提就是對諧波源進行準確辨識[1]。

目前，電力系統中的典型諧波源，就其非線性特性而言有三類[2]：鐵磁飽和型，包括各種鐵芯設備，如變壓器、電抗器等，其鐵磁飽和特性呈現非線性，這種鐵芯的非線性磁化特性將引起諧波；電子開關型，主要為各種交直流換流裝置、雙向晶閘管可控開關設備以及脈沖寬度調制PWM（pulse width modulation）變頻器等電力電子設備；電弧型，交流電弧爐和交流電焊機等。

諧波源辨識最初是作為諧波潮流的逆問題提出的[3]。即通過測量電網中線路的諧波電流和部分節點的諧波電壓，采用狀態估計的方法計算負荷注入電網的諧波功率，當注入的諧波功率為正時，則判定該負荷為諧波源。此外，瞬時功率理論也被運用于諧波源辨識研究當中，通過三相系統中特定節點處的濾波裝置數據得到系統諧波的瞬時有功功率，來辨識電網中主要的諧波源。另外，有很多新的算法如線性神經網絡等被應用于諧波狀態估計中[4]，并在此基礎上開發了相應的程序和裝置用于實際電網中諧波源的辨識。另一類辨識諧波源的方法是通過研究電流波形和電壓波形之間的聯系，找出相應的負荷參數作為判定諧波源的指標。以上這些研究主要集中在狀態估計方法的基礎上，目的是利用盡可能少的測量裝置取得令人滿意的辨識效果，對于諧波源辨識的判據并沒有提出新的觀點。

獨立分量分析ICA（independent component analysis）是近年來發展起來的一種高效的盲源分離方法，描述了對未知源信號的估計重現過程，也可以作為一種抽取獨立信號源的技術，已在特征提取、語音識別、生物醫學信號處理、通信等領域受到廣泛關注[5～7]。本文將電力系統諧波辨識的問題抽象為盲源分離問題，從而將獨立分量分析應用于諧波辨識。和一般的盲源分離問題不同的是，基于對諧波干擾的先驗知識有一定的了解，因而處理起來比較容易。本文以交流電弧爐和飽和變壓器為例在Matlab軟件中進行仿真。仿真結果表明，基于獨立分量分析的諧波辨識法具有很高的精度和抗噪性能。

1 獨立分量分析法

1.1 基本原理

獨立分量分析是盲源分離方法的一個重要分支，其主要思想是在對源信號及其傳輸通道均未知的情況下，使分離出來的獨立分量最大程度地逼近各個源信號，即建立目標函數以尋優來實現逼近。其簡單原理框圖如圖1所示。

圖1 ICA的簡單框圖說明Fig.1 Simple diagram shows of ICA

其中S ＝[s1，s2，…，sn]T是相互獨立的源信號，X＝[x1，x2，…，xm]T是觀測信號，每個觀測信號均由源信號線性加權得到，即：

式中A是m×n的混合矩陣，A和S 均未知，利用中心極限定理，即當多個相互獨立的隨機變量具有有限的均值和方差時，則不論這些隨機變量服從何種分布，其和形成的隨機變量必近似服從高斯分布。由上式知，xi比si更接近高斯分布，換句話說，si比xi有更強的非高斯性。在分離的過程中通過測量si的非高斯性，當si的非高斯性度量達到最大時，則說明源信號從觀測信號中分離。ICA 的方法正是通過對各獨立量進行非高斯性度量，采用某種優化方法求解混矩陣B，并令

使Y 盡可能的逼近S。有時解混過程又可以分為兩步—— 球化W 和正交變換U，球化的目的是使輸出Z的各分量的方差為1，而且互不相關；正交變換的目的是使輸出Y 的各分量的方差保持為1，同時使其各分量盡可能獨立。由于Z中的各分量已經滿足獨立性對二階統計量的要求，因此正交變換時只需考慮三階以上的統計量，使算法得到很好的簡化。

對于式（1），通常有以下3點約束：（1）源信號S 是統計獨立的；（2）源信號S 中至多有一個是服從高斯分布的；（3）觀測信號的個數不小于源信號的個數。

由上述分析可知，ICA 的主要任務是：首先建立以分離信號的獨立性為量度的目標函數，目前常用的目標函數有互信息、負熵、似然函數等[7]；其次是尋找優化算法使目標函數取得極值，常用的算法有極大峰度法、自適應算法、探查性投影追蹤法等[8]。本文將采用基于負熵的ICA 固定點算法：FastICA 算法。

隨機向量y 的負熵定義為

式中yG為與y 具有相同的均值及方差的高斯分布的隨機向量；H（y）為概率密度為p（y）的向量y的信息熵：

由信息論的知識可知，在同方差的情況下，高斯信號具有最大的信息熵，所以負熵的值總是非負的，可以用來作為隨機向量非高斯量的度量。由于p（y）很難求出，所以無法計算出式（1.3）中的負熵J（y），從而無法判斷信號的非高斯性。負熵可以近似表示成下式[9]：

式中：k是正的常量；E（·）為均值運算；v是一個與y 具有同均值同方差的高斯隨機向量。G（y）通常可取以下形式的函數：

以式（5）為目標函數，應用FastICA 算法，通過迭代過程來調整B，使J（y）達到最大，收斂后可使Y 盡可能的逼近S。

1.2 Fast ICA算法的步驟

采用負熵作為判據時，由式（5）及yi＝Z得：

穩態時Δui＝0，由此得到固定點迭代的兩步算式[10]：

由于第二步中有歸一運算，所以第一步中的系數可以省略。為了改進該算法的收斂性能，用牛頓迭代算法，并將上式等效地表示為[11]：

用牛頓迭代法求解，得：

由于Z是球化數據，再對上式進行通分簡化整理得：

總而言之，采用負熵的固定點算法的步驟可總結如下：

（1）將X 去均值，然后通過球化得到Z；

（2）任 意 選 擇ui的 初 值ui（0）， 滿 足‖ui（0）‖2＝1；

（3）令

（5）如不收斂，回到步驟（3）。

采用本算法的優點是：由于采用牛頓法，使得收斂較有保證，可以證明它具有三階的收斂速度[10]；迭代過程中不需要引入調節步長等人為設置的參數，因而更簡單方便。

2 仿真

為了驗證本文算法的有效性，這里令si（t）為源信號中的一路單位信號，yj（t）為對應的單位分離信號，殘差r（t）＝si（t）－yj（t），分離結果的優劣用如下的誤差函數來評估：

單位最大絕對誤差：

單位平均絕對誤差：

單位均方誤差：

誤差越小，說明算法越有效。

2.1 諧波源信號仿真

對于交流電弧爐系統，由于其在煉鋼過程中的一些固有特點：電弧延遲發弧、電弧電阻的非線性、電弧游動、冶煉過程中電極同爐料的接觸性短路、爐料的崩塌、爐料成分的氣化、氧化期內被熔金屬的劇烈沸騰等原因，使得電弧爐的電弧電壓和電弧電流的變化很不規則，在此簡化處理并由文獻[12]得到交流電弧爐的電壓變化曲線如圖2中U21所示；由文獻[13]得到飽和變壓器的電壓變化曲線如圖2中U22所示，縱坐標為電壓信號，橫坐標為時間。

圖2 交流電弧爐和飽和變壓器的電壓信號Fig.2 Voltage signals of AC－EAF and saturation transformer

為了模擬測量的電壓信號，在此用一個隨機產生的2×2矩陣對上述兩個電壓信號進行線性疊加，得到測量的電壓信號如圖3U31、U32所示。

圖3 測量的電壓信號（Ⅰ）Fig.3 Measured signals of voltage（Ⅰ）

由圖3可知測量的電壓信號已完全失去諧波源信號的電壓特性，用ICA 的方法可以分離出諧波源信號，仿真參數G 采用式（6）的表達式，應用本文算法得到分離后的電壓信號如圖4U41、U42所示。

圖4 分離的電壓信號（Ⅰ）Fig.4 Separated signals of voltage（Ⅰ）

由于在ICA 算法中，分離后的電壓信號與諧波源信號沒有固定的對應關系[7]，所以要確定分離后得到的電壓信號所對應的諧波源信號。為此構造一個相關系數矩陣[14]：

式中相關系數

由于越相似的電壓信號其相關系數越大，故由c1j可確定分離后的電壓信號中與第一個諧波源信號相對應的電壓信號，c2j可確定分離后的電壓信號中與第二個諧波源信號相對應的電壓信號，以此類推可將諧波源信號中各電壓信號辨別出來。應用式（17）對上面分離后得到的電壓信號進行計算得到相關系數矩陣為

由此可知分離后的電壓信號U41對應的是飽和變壓器的電壓信號U22，U42對應的是交流電弧爐的電壓信號U21，由式（14）～（16）計算得到分離信號與源信號的誤差如表1所示。

表1 分離后電壓信號與諧波源信號的誤差Tab.1 Errors between the separated voltage signal and signal of harmonic source

由表1可知，該算法的單位最大絕對誤差依次為0.0101、0.0251，單位均方誤差更小，數量級為10－5，各相關系數接近1，說明該算法能夠很好地完成諧波源的辨識。

2.2 帶有噪聲的諧波源信號仿真

為了說明該算法在更復雜情況下的有效性，在2.1中兩個諧波源的基礎上再加上一個模擬諧波源的電壓信號，其表達式為

另外為了檢驗該算法的抗噪性能，用一零均值的隨機信號來模擬系統中的噪聲，在此也將其看作一個諧波源信號，如圖5所示，U51～U54依次為交流電弧爐的電壓信號，飽和變壓器的電壓信號，及噪聲。用4×4的隨機矩陣對諧波源信號進行線性疊加，得到測量的電壓信號如圖6U61～U64所示。

再用本文算法對測量的電壓信號進行計算，得到分離后的電壓信號如圖7所示。

圖5 諧波源電壓信號（Ⅱ）Fig.5 Voltage signals of harmonic sources（Ⅱ）

圖6 測量的電壓信號（Ⅱ）Fig.6 Measured signals of voltage（Ⅱ）

圖7 分離的電壓信號（Ⅱ）Fig.7 Separated signals of voltage（Ⅱ）

應用式（17）對分離后的電壓信號進行計算得到相關系數矩陣為

由相關系數矩陣可知分離后的電壓信號中U71與飽和變壓器的電壓信號對應，U72與交流電弧爐的電壓信號對應，U73與模擬諧波源的電壓信號對應，U74與噪聲信號對應。由式（14）～（16）計算得到分離信號與源信號的誤差如表2所示。

表2 有噪聲時分離后電壓信號與諧波源信號的誤差Tab.2 Errors between the separated voltage signal and signal of harmonic source with a noise

由表2可知，相對于2.1的仿真結果，有噪聲時分離后的電壓信號與諧波源信號的誤差增大，相關系數減小。但單位均方誤差仍能保持10－2的數量級，各相關系數也在0.95以上，誤差仍在可以接受的范圍內。說明本文算法具有很好的魯棒性。

3 結語

本文將諧波源辨識問題抽象為盲源分離問題，并運用該領域流行的獨立分量分析法進行分析，通過仿真研究表明ICA 方法能夠分離多種不同類型的諧波源信號，可以準確地對諧波源進行辨識；即使是在有噪聲的條件下也能取得較好的抗噪效果，說明該方法具有很強的魯棒性。本文算法在電力系統應用處于初級階段，在對具有復雜諧波源的網絡，還需要做更進一步的研究。

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