基于不同決策準則的應急資源布局模型

董銀紅，付麗麗，任俊博

(1.中南民族大學 管理學院，武漢430074;2.中國社科院 數(shù)量經(jīng)濟與技術經(jīng)濟研究所,北京 100732;3.北京聯(lián)合大學 商務學院，北京 100025；4.公安部信息中心，北京 100006)

0 引言

應急資源布局問題是指在一個應急設施集合中選擇一個集合，使得從應急設施點到受影響地區(qū)之間總距離最小，包括應急資源的選址和配置兩部分，分別解決應急資源的存放位置、存放量使得有限的應急資源能發(fā)揮最大的經(jīng)濟效用和社會效用。應急資源安置在合理的位置不僅可以降低成本，而且還能滿足應急救援的緊急性，可以最大限度的減少損失。然而，在應急資源調度過程中，由于物資需求狀況、路段狀況和供給等因素的影響給實時救援工作帶來了巨大的挑戰(zhàn)，因此，在實施資源調度之前，做好資源布局規(guī)劃是非常有必要的。

1 基于薩凡奇決策準則的應急資源布局魯棒模型

由于在突發(fā)事件發(fā)生前，對于突發(fā)事件發(fā)生的概率并不清楚，因此，利用處理隨機事件的方法來處理應急資源布局問題是不合理的，關注最壞情境的資源布局也將是一種資源浪費，基于多種情境的薩凡奇決策的魯棒優(yōu)化資源布局模型是合適的?，F(xiàn)假定，已經(jīng)存在一個備選應急設施集合M,從其中選擇出p個設施，使其盡量滿足需求集合N中n個需求點的應急需求。為了考慮模型的方便，可以將符號記作如下：

B——政府在建立應急配送中心前的資金預算；

M——應急設施集合M＝{1,2,...,m}；

N——應急需求點集合N＝{1,2,...,n}；

S——情境集合S＝{1,2,...,s}；

p——決定選擇的應急設施個數(shù)；

Cij——從第j個應急設施中心到第i個需求點的單位物資總成本；

xijs——在情境s下，從第j個應急設施中心到第i個需求點的配送量；

yj——為0－1變量。其中，當yj=1時，第j個可能的應急設施被選中作為應急配送中心，當yj=0時，不在第j個可能應急設施上實施配送；

yijs——表示在情境s下，是否有物資從第j個應急設施中心運送到第i個需求點。若有，則yijs＝1，反之，yijs＝0；

wj——在第j個應急配送中心的物資容量；

Di——在第i個需求點的初步預估需求；

α——需求滿足率；

決策變量是yijs和yj，均為二進制變量，但是這兩個變量是有本質區(qū)別的。其中，yijs是控制變量，其值會隨著每一種情境的實現(xiàn)而調整，而yj是設計變量，也即是在給定情境前是確定的。換句話說，以下的應急資源布局模型將考慮一系列情境中的最壞情境，求解最壞情境下的最優(yōu)，yj是在情境決定之前決定的量，yijs是情境下要確定的量?；诂F(xiàn)實情形和以上的假設條件可以得到離散需求變動下應急資源布局的魯棒優(yōu)化模型。其目標函數(shù)是所有情境中的最小最大目標值。也即：

在上式中，目標函數(shù)和約束（1）是線性化原來的目標函數(shù)。約束（2）確?？傆行枨蟊环峙涞矫恳粋€需求點上。約束（3）保證在每一種情境下，需求總要滿足初始需求目標的一定比例。約束（4）表示從備選應急設施集合M中選擇出p個設施，使其盡量滿足需求集合N中n個需求點的應急需求。約束（5）表示從每個應急設施點運出量不能超過其容量約束。約束（6）說明只有當某個應急設施被選中，才會安排資源配置。約束（7）表示成本約束不能超過預算，在此處的作用是去掉完全不符合預算的。最后一個約束說明變量類型是0－1變量。

以上模型和以前討論的模型是不同的。首先體現(xiàn)在對目標的考慮。Ghezavati考慮了在路段距離發(fā)生變動的情境下的距離，最小化最大的總距離，考慮的約束條件也相對較為簡單。以上模型除了考慮到成本約束外，還考慮到了需求滿足水平變量α，容量約束等。這些條件的考慮，會更加貼近現(xiàn)實，也勢必會增加問題的難度。其次在考慮決策準則時，也與以往的研究有所不同。以往的研究關注于目標的最優(yōu)，或者概率水平的最優(yōu)，但是本文主要從薩凡奇決策準則出發(fā)，考慮的是最壞情況下的最好狀況，這種狀況的考慮將能更大程度的滿足系統(tǒng)的魯棒性原則。

2 基于拉普拉斯決策準則的應急資源布局期望值模型

本節(jié)討論基于拉普拉斯決策準則的應急資源布局期望值模型，其中隨情境變化的需求都用均值來代替。模型的目標函數(shù)將是最小化成本期望值。提出期望值模型的作用就是要和魯棒優(yōu)化模型進行比較。其模型可以表示為：

3 應急資源布局兩種模型比較

3.1 兩種模型建模思想比較

對于不確定型決策，可能知道發(fā)生的概率，也可能不知道各種情境發(fā)生的概率。因此作為決策者一般都是基于相應的決策條件和決策目標，依據(jù)決策者的行為偏好（主要是對風險的偏好和喜惡程度以及對未來收益的主觀估計），選擇一種決策標準，在這種標準下得到相對滿意解。顯然，以上提及的應急資源布局的魯棒優(yōu)化模型和期望值模型，可以用這個定義來區(qū)分。期望值模型所對應的是已知發(fā)生的概率（這里采用的等概率，也稱為等可能性法或者拉普拉斯決策準則），這個模型假定各種情境發(fā)生的概率是相同的，通過所有情境下的平均值來選擇平均成本最小的參數(shù)。而魯棒優(yōu)化模型則是不知道概率分布，選擇在所有情境中最壞的一種，然后優(yōu)化最壞的情境，那么得到的解是具有魯棒性的，這種決策標準對應著決策理論中的“薩凡奇決策”。雖然都是數(shù)學規(guī)劃模型，但是二者的建模思想很明顯是不一樣的。

從決策理論的角度，二者都屬于經(jīng)濟學古典理性模型。但是決策依據(jù)上的不同，使得兩個模型在結果上有很多不同的地方。現(xiàn)實的數(shù)學規(guī)劃模型一個最基本的假設就是預先給定確定的輸入，在給定輸入的情形下尋求最優(yōu)。這實際上是與現(xiàn)實有區(qū)別的。在現(xiàn)實情況中，往往輸入是不知道的，此時對于模型的要求就是輸入?yún)?shù)在變化時，所求得的最優(yōu)解還仍然是可行的，既然主觀概率難以獲取，并且不能排除最壞情況的發(fā)生，那么考慮最壞情形的最優(yōu)比研究主觀概率下的最優(yōu)更具有實踐上的意義。

3.2 第一種模擬情形與數(shù)值分析

分別考慮多個需求點和多個備選應急設施點在多個不同情境下的最優(yōu)情況。首先可以設計一組情況：待選的應急設施點有6個，需求點有4個，其中有2種不同的情境，分別對應不同的需求分配狀況。最終將選定3個應急設施點作為配送中心。具體參數(shù)如表1。

表1 第一種情況下參數(shù)說明表

同時，Cij作為從第j個應急設施中心到第i個需求點的單位物資總成本，與情境無關，其原始數(shù)據(jù)見表2。

表2 單位物資運輸成本Cij

xijs表示在情境s下，從第j個應急設施中心到第i個需求點的配送量；當s=1和2時，需求分配量分別為表3和表4。

表3 第一種情況情境1下的需求分配量xij1

表4 第一種情況情境2下的需求分配量xij2

表5 第一種情況兩種情境平均需求分配量

表6 第一種情形下兩種模型數(shù)據(jù)分析表

以上數(shù)值都是通過對于實際情況的參考，通過計算機模擬仿真得到的。其中，Cij中每一個元素為區(qū)間[0,50萬元]之間的隨機數(shù)，需求分配量xij1和xij2也分別為區(qū)間[0,50萬元]的隨機數(shù)。模型得到的結果說明，若考慮兩種情境發(fā)生的概率相同，則得到的最優(yōu)資源布局成本為4077.332萬元，其中選擇第一個、第五個、第六個可能的配送中心點作為應急設施點。若考慮薩凡奇決策（最小化所有情境的最大遺憾值），則選擇第三個、第四個、第五個配送中心作為應急設施點，此時的最優(yōu)資源布局成本為2501.869萬元。通過對比分析可以得到，魯棒模型的結果要優(yōu)于期望值模型。如果將目標值提高率r定義為：r=(期望值模型目標值-魯棒模型目標值)/魯棒模型目標值，那么，魯棒模型目標提高率為62.97%。很明顯，通過這個實例說明了魯棒模型的確是優(yōu)于期望值模型的，也就是說薩凡奇決策準則要優(yōu)于拉普拉斯決策準則。以下將通過多個數(shù)值試驗來證明這個結論。

3.3 魯棒模型與期望值模型的數(shù)值比較

為了檢驗魯棒模型和期望值模型的優(yōu)劣，特別選定十個問題進行比較。這些問題的數(shù)據(jù)都是通過給定一定范圍進行隨機生成。首先給定應急需求點個數(shù)、備選應急設施點的個數(shù)、情境個數(shù)和選定設施點個數(shù)。然后隨機產(chǎn)生相應的成本矩陣和幾種情境下的需求分配矩陣，也即，Cij∈[50,100],xij1∈[50,100],xij2∈[100,200],xij3∈[200,400]。以下的數(shù)據(jù)基本按照需求點個數(shù)，設施點個數(shù)依次遞增的規(guī)律。具體試驗結果見表7。

表7 魯棒模型和期望值模型解的比較

很明顯，從表7中可以看出，在只有一種情境的情形下，魯棒模型和期望值模型的目標函數(shù)值是相等的。當有多個可能情境時，魯棒優(yōu)化模型要優(yōu)于期望值模型。下面就專門針對第十個問題，逐漸加大情境的數(shù)目，探討在不同情境數(shù)目下兩個模型的差異。

表8 魯棒模型解和期望值模型解的比較

從表8數(shù)據(jù)表可以看出，隨著模型中給定的情景數(shù)目的增加，模型的差異性就越大，魯棒模型的優(yōu)勢就更能體現(xiàn)了。用折線圖表示如圖1。

從圖可1以看出，隨著情景數(shù)目的增加，魯棒模型比期望值模型在成本節(jié)約上更有優(yōu)勢。并且，模型更具有健壯性。

圖1 情景數(shù)目與模型目標提高率

4 結論與展望

在數(shù)值試驗中不難發(fā)現(xiàn)，盡管魯棒優(yōu)化模型在多數(shù)情形下的數(shù)值結果要優(yōu)于期望值模型，但是偶爾也會有一些數(shù)值結果不盡人意，例如下面的第二種情形，當選擇需求點個數(shù)為6個，應急設施點為8個，情境數(shù)為3個，在隨機生成的三組數(shù)據(jù)中，就會有期望值模型的目標函數(shù)值優(yōu)于魯棒模型的目標函數(shù)值。換句話說，魯棒優(yōu)化模型能保證結果的普適性和更大范圍內(nèi)的可行性，但是無法保證在成本節(jié)約上就一定要優(yōu)于給定主觀概率的期望值模型，理論上不能證明，實踐上也不能保證。下面是經(jīng)過多次反復試驗得到的數(shù)值表（見表9）。

從表9中可以看出，絕大多數(shù)情形下魯棒優(yōu)化模型的目標函數(shù)要優(yōu)于期望值模型。從理論上分析這也是自然的。魯棒優(yōu)化模型考慮的是最壞情況下的最優(yōu)目標，而期望值模型考慮的是平均概率下的最優(yōu)，平均概率下的最優(yōu)當然有可能優(yōu)于最壞情形下的最優(yōu)。事實上，魯棒優(yōu)化模型的最大優(yōu)勢在于考了特定的最壞的情況，因此一般情況也能夠適合。

表9 魯棒模型解和期望值模型解的原始數(shù)值結果圖

本文就是利用離散情境來表示不確定參數(shù)的幾種不同狀態(tài)，幾種情境發(fā)生的概率是未知的。因此選擇合理的決策依據(jù)，對應急物流規(guī)劃成本有重要的決定因素。通過薩凡奇決策和拉普拉斯決策依據(jù)的比較，得到了在未知情境發(fā)生概率的情況下，薩凡奇決策要優(yōu)于拉普拉斯決策。兩種決策依據(jù)的思想和數(shù)學表達形式是不同的。薩凡奇決策對應魯棒模型主要是選擇所有情境中最壞的情景將其最優(yōu)化，而拉普拉斯決策對應期望值模型主要是給定先驗概率相等的情形下，尋求最優(yōu)的資源配置方式。

通過數(shù)值試驗，至少可以得到三個重要結論：（1）在考慮成本最低的情況下，魯棒模型比期望值模型要優(yōu)越。尤其是針對大幅度變化的情景，這種優(yōu)勢更加明顯；（2）隨著情境數(shù)目的加大，這種優(yōu)勢將更大；（3）魯棒模型具有對特性或參數(shù)攝動的不敏感性。這三個優(yōu)勢使得魯棒模型比傳統(tǒng)的期望值模型在解決應急物流規(guī)劃方面具有很強的適應性。

盡管如此，本文的工作還是主要集中在不同情境下的模型比較上，還是沒有完全解決好實時需求預測問題。這一問題的有效解決可以得到不同情境下的需求分配數(shù)據(jù)，將能更好的驗證結論。

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