退化性產品的最優訂購策略

陳 铓，符 卓

（1.中南大學交通運輸工程學院，長沙 410075；2.湖南工程學院 機械工程學院，湘潭 411000）

0 引言

有關退化性產品庫存模型的研究起源于Ghare和Schrader[1]，他提出了一個退化率為固定常數的經濟訂購批量模型。其后，Covert和Philip[2]對Ghare和Schrader模型進行了延伸，提出了產品退化率服從二參數韋伯分布的庫存模型。Philip[3]提出退化率服從三參數韋伯分布的庫存模型，并且分別討論了產品在接收時已退化與儲放一段時間才退化兩種情形。

目前關于臨時性價格折扣的庫存模型有一些學者進行了討論。Tersine和Price[4]首先提出了非退化性商品在特價折扣下特價訂購的經濟訂購批量模型。Aucamp和Kuzdrall[5]則以考慮現值的觀點推廣了Tersine的特價訂購模型。由于Tersine模型中假設特價僅僅發生在零售商訂購期之外，Ardalan[6]將此限制條件放寬從而建立了允許特價發生在零售商訂購周期內的庫存模型。Aull-Hyde[7]則探討了對供應商有數量限制下的特價訂購批量模型。后來，Martin[8]對Tersine模型以及Ardalan模型中特價訂購策略的總成本最優化的研究目標做了修正。

供應商提供給零售商以臨時性價格折扣，對零售商而言雖然較低的單位價格可以降低單位購買成本，但是其總庫存成本可能會由于庫存數量的增加而增加，因而對零售商而言當價格折扣發生時，決定是否改變原有的訂購策略以及如何快速擬定特價訂購數量是非常重要的一件事，同時在對臨時性價格折扣的庫存問題進行討論之時如何將產品的退化因素也列入變量因素也是值得研究的。為此，本文將探討供應商對退化性商品提供臨時性價價折扣時，使得總節省成本為最大的零售商的最優特價訂購策略。

1 符號定義及假設

1.1 符號定義

本文所使用的符號如下所示：

1.2 模型假設

2 模型建立

2.1 庫存成本函數的建立

根據上節的假設，庫存水平與時間的關系如圖1、2所示。在原訂購周期[0,T1]內，時點t∈[0,T1]庫存水平的變動主要是來自于市場的需求以及產品本身的退化，因此存庫存水平I1（t）可以用下面的微分方程來表示：

圖1 情況一時庫存水平變化圖

圖2 情況二時庫存水平變化圖

同理，當產品的單位價格由P下降至（P-d）時，訂購周期T2下的庫存成本TC2(T2)可表示為：

2.2 情形1：供應商所提供的折扣特價發生在零售商的訂購周期之外

一方面，如果零售商在特價期間采取折扣訂購策略，可以推得其特價期間內的庫存水平為：

2.3 情形2：供應商所提供的折價發生在零售商的訂購周期之內

一方面，如果零售商在特價期間采取原來的訂購策略折扣訂購策略，則零售商在期間T?內所負擔的庫存成本與情形1是類似的，其不采用折扣訂購策略的總成本函數為：

3 數值范例

表1 情況一的最優解

表2 情況二的最優解

下面利用以上數值范例分析參數d及θ(t)變化對最優解的影響。由敏感性分析可知：

（1）當供應商所提供的折扣越大的時候，對于情形1與2而言，總節省成本均會發生顯著的降低。

（2）固定β和d，則α值增加將使得總節省成本即特價訂購周期減少。

（3）固定α和d，則總節省成本即特價訂購周期會隨著β值增加而增加減少。

4 結論

產品的退化是一種非常普遍的現象，很多產品在正常的儲存過程中可能因為退化而使得數量減少，為此本文探討了產品的退化特性服從二參數Weibull分布的特價訂購策略，并提出了在0≤β≤1時比Chen[9]模型更有效率的求解算法。研究結果表明，如果假設T*2=T*1且α=0，則情況一可以簡化成Martin[8]模型；而當β=1時，則與Chen模型是相似的。此外，敏感性分析的結果表明當供應商所提供的折扣愈大時，總節省成本亦會有顯著的增加，而在固定β、d之時，α值愈大則表示時點t的退化率愈高。所以，為了使得總節省成本最大化就需要零售商縮短訂購周期以減少退化成本。

[1]Ghare P.M,Schrder G.H.A Model for Exponentially Decaying Inven?tory System[J].International Journal of Production Research,1963,21.

[2]CovertR.B.,Philip G.S.An EO(a Model Yvith Weibull Distribution Deterioration[J].AIIE Transactions,1973,5.

[3]PhilipG.C.A Generalized EO(a Model for Items Yvith Weibull Distri?bution Deterioration[J].AIIE Transactions,1974,6.

[4]Tersine R.J.,Price R.L.Temporary Price Discounts and EOQ[J].Jour?nal of Purchasing and Materials Management,2007,17.

[5]Aucamp D.C.,Kuzdrall P.J.Lot Sizes for One-time-only Sales[J].Journal of the Operational Research Society,1986,37.

[6]Ardalan A.Optimal Ordering Policies in Response to a Sale[J].IIE Transactions,1989,20.

[7]Aull-Gyde R.L.Evaluation of Supplier-restricted Purchasing Op?tions under Temporary Price Discounts[J].IIE Transactions,2007,24.

[8]Martin G.E.Note on an EO(a Model Yvith a Temporary Sale Price[J].International Journal of Production Economics,2004,37.

[9]Chen J.M.An Inventory Model for Deteriorating Items Yvith Time-pro?portional Demand and Shortages under Inflation and Time Discounting[J].InternationalJournalofProductionEconomics,2008,55.