一種新的Malmquist指數(shù)測(cè)算與分解方法

魯 濤，陸邦祥

（南京理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，南京210094）

0 引言

Malmquist生產(chǎn)力變化指數(shù)是由Caves等（1982）在Malmquist(1953)文獻(xiàn)的激發(fā)下引入的。Malmquist指數(shù)度量生產(chǎn)力變化，并通過分解為前沿面移動(dòng)和效率變化因素，包含著有關(guān)生產(chǎn)力變化的來源信息。Fare等（1994a）定義了可用距離函數(shù)，例如DEA分?jǐn)?shù)來計(jì)算的Malmquist指數(shù)。另一個(gè)可用DEA分?jǐn)?shù)計(jì)算的Malmquist指數(shù)的基期形式，則由Berg等（1992）引入。Malmquist指數(shù)的分解，尤其是Fare等的定義（其常被稱為相鄰Malmquist指數(shù)）在各種文獻(xiàn)中引起了相當(dāng)關(guān)注。但是，本文卻是探討Malmquist指數(shù)的另一方面——合成而不是分解。

前沿面移動(dòng)或技術(shù)變化可以被認(rèn)為是一個(gè)全局現(xiàn)象，它常由改變的經(jīng)濟(jì)條件、改善的技術(shù)條件這些因素的出現(xiàn)而帶來。很多情況下，這些因素對(duì)于分析中的觀察值，也即DMU（它們之間假定是可以比較的），可被假定為一致或大體相似的，因此某一值就可被用來代表所有DMU的前沿面移動(dòng)。傳統(tǒng)做法中，Malmquist指數(shù)和其分解都是個(gè)體或局部計(jì)算，而整體描述的，即從個(gè)體角度計(jì)算的前沿面移動(dòng)利用加權(quán)或不加權(quán)的幾何平均數(shù)（有時(shí)為算術(shù)平均數(shù)）來加和。因此，總體的結(jié)論就基于這些平均值做出，例如“前沿面在研究的時(shí)期內(nèi)向外移動(dòng)10%”即為此類典型表述。

本文將提出一個(gè)測(cè)算全局指數(shù)的新方法，它在就某一個(gè)全體視為整體（而不是單獨(dú)的觀察值）的生產(chǎn)力變化，尤其是前沿面移動(dòng)做出判斷時(shí)很有用。本文將定義相鄰與基期Malmquist指數(shù)的全局形式，同時(shí)也包括相應(yīng)的前沿面移動(dòng)的全局形式。本文還要表明，與傳統(tǒng)的大多數(shù)典型的利用（不加權(quán)）幾何平均數(shù)對(duì)個(gè)體指數(shù)加和的方法相比，全局指數(shù)的測(cè)算具有的優(yōu)勢(shì)。

1 基于DEA的Malmquist指數(shù)

1.1 相鄰Malmquist指數(shù)

1.2 基期Malmquist指數(shù)

以時(shí)期t0的參考技術(shù)作為基期參考技術(shù)的基期Malmquist指數(shù)給定如下：

2 全局Malmquist指數(shù)及其基本性質(zhì)

相鄰指數(shù)（4）中的前沿面移動(dòng)特定于待評(píng)價(jià)的觀察值，它是從時(shí)間t和t+1對(duì)應(yīng)的DMU所觀察到的前沿面移動(dòng)的幾何平均數(shù)。然而，技術(shù)變化常被認(rèn)定為是一個(gè)全局，而非局部現(xiàn)象。該點(diǎn)在很多實(shí)證應(yīng)用中表現(xiàn)明顯，個(gè)體或局部前沿面移動(dòng)的平均值會(huì)被作為總體的技術(shù)變化來報(bào)告和描述。下面，將給相鄰和基期指數(shù)定義一個(gè)測(cè)算全局指數(shù)的不同方法。

2.1 全局相鄰指數(shù)與前沿面指數(shù)

式(9)與Balk和Althin（1996）的多邊技術(shù)變化指數(shù)類似。

值得注意的是，全局前沿面移動(dòng)的計(jì)算非常簡單：（1）計(jì)算所有K×T個(gè)DMU相對(duì)于每一時(shí)間階段的距離；（2）對(duì)于T個(gè)前沿面中的每一個(gè)，計(jì)算K個(gè)距離的幾何平均值;（3）計(jì)算每對(duì)時(shí)間階段的比率。

鑒于全局前沿面移動(dòng)可理解為相對(duì)于已有前沿面的平均移動(dòng)，它也表現(xiàn)出Hicks中性移動(dòng)，而與此值不同的局部指數(shù)表現(xiàn)出非Hicks中性移動(dòng)。因此，它可以作為相鄰指數(shù)的一種替代分解形式。

它是樣本中K個(gè)觀測(cè)值在t和t+1之間各自效率變化的幾何平均值。因此，我們可以定義相鄰生產(chǎn)力變化的全局指數(shù)為：

2.2 全局基期Malmquist與前沿面移動(dòng)指數(shù)

上述指數(shù)是基于相鄰生產(chǎn)力變化指數(shù)來構(gòu)建的。如果偏好基期指數(shù)，也可以基于其給出一個(gè)消除了基期選擇任意性的全局指數(shù)形式，全局前沿面移動(dòng)可定義為：

它是樣本中每一DMU利用每一時(shí)期基于基期所得前沿面移動(dòng)的幾何平均值?；诨冢F(xiàn)在可定義t和t+1之間的生產(chǎn)力變化指數(shù)如下：

如果t=2，則全局相鄰指數(shù)（11）、（10）和（9）則變?yōu)閭鹘y(tǒng)相鄰指數(shù)的幾何平均值（2）、（3）和（4），與此相似，（13）、（10）和（12）則變?yōu)榕c（5）、（6）和（7）的平均值相同。但是當(dāng)時(shí)間階段大于2時(shí)，全局指數(shù)將給出對(duì)真實(shí)前沿面移動(dòng)的較好測(cè)算，并也具有傳遞性的優(yōu)勢(shì)。

2.3 全局指數(shù)性質(zhì)

式（8）所定義的時(shí)期t的技術(shù)指數(shù)是數(shù)據(jù)集中所有觀測(cè)值（所有時(shí)間階段所有DMU）相對(duì)時(shí)期t的前沿面距離的幾何平均值。時(shí)期t和t+1之間全局前沿面移動(dòng)則用兩個(gè)階段的技術(shù)指數(shù)比率來計(jì)算。該方法的結(jié)果則是，每個(gè)前沿面上的K×T個(gè)點(diǎn)被用來計(jì)算前沿面之間的距離。使用傳統(tǒng)的合成平均值方法，每一前沿面上只有2×K個(gè)點(diǎn)被用來計(jì)算相鄰指數(shù)（對(duì)于基期指數(shù)，則只有K個(gè)點(diǎn)被使用）。因此，全局指數(shù)就給出了一個(gè)真實(shí)前沿面移動(dòng)的較好測(cè)算，特別是對(duì)較為稀疏的總體數(shù)據(jù)集來說更是如此。后面的有關(guān)討論和例子將局限于相鄰指數(shù)的全局形式，但是相應(yīng)的結(jié)論對(duì)于基期指數(shù)的全局形式也是類似的。

為了探求全局相鄰指數(shù)（11）和全局基期指數(shù)（13）的不言自明的性質(zhì)，使用了Altin（2001）的測(cè)試方式來進(jìn)行評(píng)價(jià)。對(duì)于傳統(tǒng)的相鄰、基期指數(shù)（2）和（5）同相應(yīng)的全局指數(shù)的評(píng)價(jià)結(jié)果概括于表1中，全局指數(shù)的相應(yīng)證明限于篇幅不再給出。鑒于全局指數(shù)涉及整個(gè)數(shù)據(jù)集而不是單個(gè)的觀測(cè)值，相應(yīng)的測(cè)試根據(jù)這些指數(shù)進(jìn)行了修改。

表1 不同指數(shù)的指數(shù)測(cè)試

全局相鄰指數(shù)同局部指數(shù)相比，滿足傳遞性的特征。同時(shí)，全局基期指數(shù)則獨(dú)立于基期的選擇，因?yàn)門個(gè)時(shí)期中每一個(gè)作為基期的平均值都得到了使用，從而消除了基期選擇的任意性。但是，全局指數(shù)的一個(gè)缺陷在于，因?yàn)闃颖局械乃杏^測(cè)值都（源于所有時(shí)期）都參與了計(jì)算，因此。它對(duì)于在數(shù)據(jù)集中增加額外的數(shù)據(jù)（DMU或是時(shí)間周期）敏感。

3 實(shí)證研究

本文首先利用中國道路交通運(yùn)輸業(yè)相關(guān)數(shù)據(jù)，計(jì)算其全局相鄰生產(chǎn)力變化指數(shù)、全局相鄰前沿面移動(dòng)指數(shù)和全局相鄰效率變化指數(shù)。而后，利用全局指數(shù)去計(jì)算中國道路交通運(yùn)輸業(yè)六大區(qū)域的前沿面差異。

3.1 決策單元的選擇、處理及分組

DEA方法的核心概念是決策單元。使用基于DEA的Malmquist指數(shù)方法的一個(gè)重要前提是：決策單元數(shù)不能太少，至少是模型變量數(shù)的兩倍。而本研究中所涉及的決策單元有31個(gè)，即全國各省、自治區(qū)和直轄市的道路交通運(yùn)輸部門。

在計(jì)算中國道路交通運(yùn)輸業(yè)各區(qū)域前沿面差異時(shí)，劃分為六大區(qū)域，即華北區(qū)，包含北京、天津、河北、山西、內(nèi)蒙古；東北區(qū)，包含遼寧、吉林、黑龍江；華東區(qū)，包含上海、江蘇、浙江、安徽、福建、江西、山東；中南區(qū)，包含河南、湖北、湖南、廣東、廣西、海南；西南區(qū)，包含重慶、四川、貴州、云南、西藏；西北區(qū)，包含陜西、甘肅、青海、寧夏、新疆。

3.2 輸入輸出指標(biāo)構(gòu)建

應(yīng)用DEA技術(shù)，首先需要界定研究對(duì)象的投入指標(biāo)和產(chǎn)出指標(biāo)。以下對(duì)本研究產(chǎn)出和投入指標(biāo)的選擇及數(shù)據(jù)來源和處理情況進(jìn)行說明。

（1）產(chǎn)出指標(biāo)。比較合理的選擇是將“道路運(yùn)輸行業(yè)附加值”作為產(chǎn)出指標(biāo)，但是該指標(biāo)尚無法獲得。目前交通行業(yè)常用運(yùn)輸周轉(zhuǎn)量這一指標(biāo)反映各種運(yùn)輸方式提供服務(wù)的數(shù)量。因此從指標(biāo)數(shù)據(jù)可得性的角度，分別以道路客運(yùn)周轉(zhuǎn)量和道路貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量等實(shí)物量指標(biāo)作為道路交通運(yùn)輸業(yè)的產(chǎn)出指標(biāo)。

（2）投入指標(biāo)。就投入而言，可選用的指標(biāo)較多，例如資本存量、運(yùn)輸線路長度、運(yùn)輸工具數(shù)、從業(yè)人員數(shù)和能源消耗量等指標(biāo)均可作為投入指標(biāo)。從基本的投入看，一個(gè)是資本，一個(gè)是勞動(dòng)。

就資本投入而言，最理想的是服務(wù)流量，但是其難以直接度量。勞動(dòng)投入量包括就業(yè)人數(shù)、勞動(dòng)時(shí)間、勞動(dòng)強(qiáng)度和勞動(dòng)質(zhì)量等方面的內(nèi)容。但考慮到指標(biāo)在交通各部門間的可比性及可累加性，以及指標(biāo)數(shù)據(jù)可獲得性，本研究選取了二項(xiàng)指標(biāo)作為投入指標(biāo)：公路里程和年底職工人數(shù)。

3.3 模型求解結(jié)果及分析

3.3.1 中國道路交通運(yùn)輸業(yè)全局相鄰生產(chǎn)力變化指數(shù)、前沿面移動(dòng)指數(shù)及效率變化指數(shù)

根據(jù)上面確定的各項(xiàng)指標(biāo)及數(shù)據(jù),可以求出1998～2007年我國道路運(yùn)輸業(yè)的全局Malmquist相鄰生產(chǎn)力變化指數(shù)、前沿面移動(dòng)指數(shù)及效率變化指數(shù)。為了便于比較，也給出了基于效率變化與技術(shù)進(jìn)步的傳統(tǒng)Malmquist指數(shù)及其分解，表2中數(shù)據(jù)根據(jù)《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》(1999～2008年)計(jì)算得到。為直觀反映表2，將其數(shù)據(jù)反映到圖1中。

表2 全局Malmquist指數(shù)及其分解與傳統(tǒng)Malmquist指數(shù)及其分解

圖1 全局Malmquist指數(shù)及其分解與傳統(tǒng)Malmquist指數(shù)及其分解

按照本文的研究方法，全局Malmquist相鄰生產(chǎn)力變化指數(shù)可以分解為兩個(gè)部分，即相鄰前沿面移動(dòng)指數(shù)和相鄰效率變化指數(shù)。而傳統(tǒng)的生產(chǎn)力指數(shù)MI則被分解為兩個(gè)部分，即效率變化指數(shù)ECH，技術(shù)變化指數(shù)TCH。由圖可知，除了2002～2003年和2005～2006年間全局Malmquist指數(shù)MG小于1，表示生產(chǎn)力水平下降（2002～2003下降幅度尤其巨大）外，其他年份間的生產(chǎn)力水平均是增長的。而全局效率變化指數(shù)ECG除了2000～2001年、2003～2004年、2005～2006年、2006～2007年小于1，表明技術(shù)效率下降外，其他年份不變或增加，但是波動(dòng)幅度不大。而全局前沿面移動(dòng)指數(shù)TCG除了2002～2003年和2005～2006年間小于1，表明技術(shù)變化下降（其中2002年到2003年下降猶大）外，其他年份間的技術(shù)變化都是提升的。全局前沿面移動(dòng)指數(shù)TCG的走勢(shì)同全局Malmquist指數(shù)MG的變化趨勢(shì)基本相同，這反映了生產(chǎn)力的變化基本上可以由技術(shù)的變化來解釋。與傳統(tǒng)Malmquist指數(shù)及其分解相比，MG指數(shù)的變化趨勢(shì)同MI指數(shù)基本相同，但是波動(dòng)幅度相對(duì)較大些，生產(chǎn)力水平提升和下降的年份區(qū)間也比較吻合。ECG指數(shù)同ECH指數(shù)則幾乎重合，反映了幾乎相同的技術(shù)效率變化趨勢(shì)和變化程度。TCG指數(shù)同TCH指數(shù)則反映了技術(shù)變化的相似趨勢(shì)，兩者的波動(dòng)幅度也比較接近。

3.3.2 中國道路交通運(yùn)輸業(yè)六大區(qū)域前沿面差異

當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)屬于不同群組的觀察點(diǎn)而不是不同時(shí)間段的觀察點(diǎn)時(shí)，我們?nèi)匀豢梢岳蒙鲜龅娜种笖?shù)去計(jì)算全局前沿面移動(dòng)或者前沿面之間的差距。例如當(dāng)我們要去比較各省、自治區(qū)和直轄市的道路交通運(yùn)輸業(yè)狀況時(shí)，用全局指數(shù)計(jì)算的其前沿面差距就可提供豐富信息。

對(duì)于T群組中的每一群組，假設(shè)K()t是群組t中所含DMU的數(shù)目（本文中指中國各省、自治區(qū)和直轄市的道路交通運(yùn)輸業(yè)），而KT是DMU的總數(shù)，即

而前沿面間的差距可以由式（9）給出。

表3 中國道路交通運(yùn)輸業(yè)分區(qū)域前沿面差距度量

表2反映了中國交通運(yùn)輸業(yè)六大區(qū)域的前沿面差距，它在一定程度上反映了這些區(qū)域整體技術(shù)方面的差異，例如華北地區(qū)與華東地區(qū)之間的前沿面距離是1.67。則從技術(shù)角度講，則華東地區(qū)平均優(yōu)于華北地區(qū)67%。

4 結(jié)語

傳統(tǒng)做法中，Malmquist指數(shù)及其分解都是個(gè)體或局部計(jì)算，整體描述的，即從個(gè)體角度計(jì)算的Malmquist指數(shù)、技術(shù)效率及前沿面移動(dòng)利用加權(quán)或不加權(quán)的幾何平均數(shù)（有時(shí)為算術(shù)平均數(shù)）來加和，因此總體的結(jié)論就基于這些平均值做出。本文首先提出一個(gè)測(cè)算全局指數(shù)的新方法，通過提出全局Malmquist指數(shù)來測(cè)量將某一全體視為整體（而不是單獨(dú)的觀察值）的生產(chǎn)力變化，并將其分解為全局技術(shù)效率變化和全局前沿面移動(dòng)。與傳統(tǒng)指數(shù)及其分解相比，全局指數(shù)具有一些獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)。其次，利用該方法對(duì)1998年到2007年的中國道路運(yùn)輸業(yè)進(jìn)行了實(shí)證研究，測(cè)算了全局相鄰Malmquist指數(shù)、全局相鄰技術(shù)效率變化及全局前沿面移動(dòng)，并將其同傳統(tǒng)Malmquist指數(shù)及其分解進(jìn)行了比較，得出了相似的結(jié)論。而且，還利用該指數(shù)方法測(cè)量了中國六大區(qū)域的道路交通運(yùn)輸業(yè)前沿面之間的距離，反映了其在平均技術(shù)水平上的相對(duì)差異。

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