曲面的主曲率中心曲面的相關性質

樊麗麗

（唐山師范學院 數學與信息科學系，河北 唐山 063000）

曲面的主曲率中心曲面的相關性質

樊麗麗

（唐山師范學院 數學與信息科學系，河北 唐山 063000）

闡述了曲面的主曲率中心曲面及其性質，通過計算得到曲面與其主曲率中心曲面的關系。

主曲率；測地線；曲面

1 引言及預備知識

對于曲線及曲面的討論始終是幾何學的一個基本問題。文獻[1-4]中給出了曲線與曲面的一些重要性質以及決定空間曲線和曲面形狀的條件。文獻[5]]給出了一個負曲率空間型中體現曲線彎曲性質的具體的例子：“魚鰾線”，而且探討了空間型中“超平面”的性質，這對構造體現空間型中閉曲面整體彎曲程度的例子是有幫助的。本文主要闡述了曲面的主曲率中心曲面及其性質，通過計算得到曲面與其主曲率中心曲面的關系。

定義1[1]對于高斯曲率K≠0的曲面∑，曲面

稱為∑的主曲率中心曲面，其中iκ為∑的主曲率。

2 主要結論

定理1曲面∑的法線與其主曲率中心曲面∑i相切。

定理2曲面∑上的曲率線對應于主曲率中心曲面∑i上的測地線。

定理3球面的主曲率中心曲面∑i退化為一點（球心），圓環面的主曲率中心曲面∑i退化為一條曲線（圓）。

3 主要結論的證明

簡便起見，取曲面的曲率線網為曲紋坐標網。

定理1的證明。

因為

同理可證與∑2相切。

定理2的證明。

不妨取∑上曲率線網為曲紋坐標網，曲率線為κ1的曲線對應u-線Γ，在∑1上它對應于曲線

其切方向

于是∑1的法向量

定理3的證明。

半徑為R球面的主曲率為常數1/R，故球面的主曲率中心曲面∑i退化為一點（球心）。

若設球面參數方程為

其中

則球面的第一、二基本形式分別為

所以主曲率中心曲面

即為一點。

圓環面的參數方程為

其中r, a是常數，且0＜r＜a，同樣經過計算可得圓環面的主曲率中心曲面即為它的中心線（圓）。

[1] 陳維桓.微分幾何初步[M].北京:北京大學出版社, 1995.

[2] 梅向明,黃敬之.微分幾何(第三版)[M].高等教育出版社,2005.

[3] 吳大任.微分幾何講義.[M].北京:人民出版社,1990.

[4] 黃宣國.空間解析幾何與微分幾何[M].上海:復旦大學出版社,2003.

[5] 王雨生.空間型中的曲線和曲面.北京師范大學學報, 40(5):569-573.

（責任編輯、校對：趙光峰）

Properties of the Center of Principal Curvature Surface

FAN Li-li

(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Teachers College, Tangshan 063000, China)

Properties of the center of principal curvature surface were elaborated, and the relations between the surface and center of principal curvature surface were obtained by calculating.

principle curvature; geodesic; curvature surface

O186.1

A

1009-9115(2012)02-0034-02

唐山師范學院科學研究與發展基金項目（07C21）

2011-10-01

樊麗麗（1981-），女，河北保定人，碩士，講師，研究方向為微分幾何。