一個(gè)新的正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法

顧先明，彭 浩

（唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000）

一個(gè)新的正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法

顧先明，彭 浩

（唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000）

用級(jí)數(shù)

比較判別法；級(jí)數(shù)判別法的極限形式；Lagrange中值定理；對(duì)數(shù)判別法

as a comparing standard. This type of criterion is finer and more convenient than that frequently-used Raaba’s criterion.Key Words:new criterion; positive series; ponvergence; Raaba’s criterion

1 引言

目前較常用而又精細(xì)的正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法是拉阿比判別法，然而此判別法有時(shí)精確度仍然不夠。本文以級(jí)數(shù)

做比較標(biāo)準(zhǔn)，得到一個(gè)比拉阿比判別法更為精細(xì)又應(yīng)用方便的判別法—“對(duì)數(shù)判別法”。雖然文獻(xiàn)[1-3]以對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)

做比較標(biāo)準(zhǔn)得到一系列關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法，并稱為Bertrand判別法，但是筆者在文章中得到的一種有別于Bertrand判別法的新的判別法。首先先給出幾個(gè)引理：

Lemma 1[1]設(shè)

和

為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在正數(shù)N，對(duì)一切n＞N，有

于是

（1）若級(jí)數(shù)

收斂，則

來(lái)說(shuō)，當(dāng)p＞1時(shí)是收斂的；當(dāng)p≤1是發(fā)散的。

2 主要結(jié)果

我們得到的定理如下：

Theorem（Logarithm Test） 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)

發(fā)散。

先考慮發(fā)散的情況。設(shè)數(shù)列{un}是正項(xiàng)數(shù)列，若n足夠大時(shí)，由比較判別法有

發(fā)散。

為了應(yīng)用方便，我們來(lái)尋求像拉阿比判別法那樣的“極限形式”：

由拉格朗日中值定理知，對(duì)任意n，存在

發(fā)散。

收斂的情況可類似討論：設(shè)數(shù)列{un}是正項(xiàng)數(shù)列，若存在p＞1使得n足夠大時(shí)，有

由拉格朗日中值定理知，對(duì)任意n，存在

收斂。

此外，當(dāng)s=1時(shí)此判別法失效。

[1] 吳良森,等.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(下冊(cè))[M].北京:高等教教育出版社,2006:26.

[2] 謝惠民,等.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義(下冊(cè))[M].北京:高等教教育出版社,2004.

[3] 菲赫金哥爾茨.徐獻(xiàn)瑜,等譯.微積分學(xué)教程(第二卷-第二分冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2007.

[4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))(3版)[M].北京:高等教教育出版社,2006:13-14.

（責(zé)任編輯、校對(duì)：趙光峰）

A New Criterion of the Convergence and Divergence of the Positive Series

GU Xian-ming, PENG Hao

(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Teachers College, Tangshan 063000, China)

In this paper, a new criterion was proposed to discriminate the convergence of positive series by using series

O173

A

1009-9115(2012)02-0031-03

唐山師范學(xué)院的大學(xué)生科技創(chuàng)新立項(xiàng)項(xiàng)目

2011-01-22

顧先明（1989-），男，安徽壽縣人，本科學(xué)生，研究方向?yàn)楹瘮?shù)論，計(jì)算數(shù)學(xué)。

做比較標(biāo)準(zhǔn)，得到一個(gè)比拉阿比判別法更為精細(xì)又應(yīng)用方便的判別法，稱為“對(duì)數(shù)判別法”。