隨機單調增算子的隨機不動點定理

藺海新

（河西學院 數學與統計學院，甘肅 張掖 734000）

隨機單調增算子的隨機不動點定理

藺海新

（河西學院 數學與統計學院，甘肅 張掖 734000）

利用錐理論和非對稱迭代法，討論了隨機單調增算子在非連續性條件和緊性條件下的隨機不動點的存在性、惟一性，同時給出了迭代序列收斂于解的誤差估計。

隨機增算子；隨機不動點；正規錐

1 引言

近年來，隨機算子隨機不動點的存在性及惟一性問題引起了國內外學者的廣泛關注，獲得了一系列富有創新的成果，在諸多結論及所用研究方法中，迭代逼近的方法是處理非線性問題的基本方法，特別是在滿足一定序條件下的非線性隨機算子的不動點問題中，應用迭代的方法獲得了許多好的結果[1-4]。本文利用非對稱迭代的方法研究了在非連續性和緊性條件下，非線性隨機增算子的不動點的存在性、惟一性及迭代收斂性，并且給出了迭代的誤差估計。

2 預備知識和引理

稱映射x:Ω→E 為可測向量函數（隨機變量），如果對任意的B∈ε，集合

算子

稱為隨機算子，若對任意

為E-值隨機變量。假設

為隨機算子，若存在隨機變量x(ω)，使得

則稱x(ω)為算子A(ω,x)的隨機不動點。

定義1[1]設u0∈E,v0∈E，有u0≤v0，稱集合

為E中的序區間。

定義2[1]設非空集合D?E，算子

稱為隨機單調增（減）算子，是指任意給定的

是可測的，而任意給定的

3 隨機單調增算子的隨機不動點定理

另外，

則

根據錐P的正規性得

所以

又

得

由P的正規性得

即

40x(ω)的唯一性。假設存在y(ω)∈E，滿足根據上述證明過程有

所以

即不動點唯一。

在(2)式和(3)式中令m→∞，便得到誤差估計式。

50對任意的x0(ω)∈[u0,v0]，作

有

根據歸納法得：

從而

定理2設E是實Banach空間，P?E為E中的錐，

是隨機增算子，滿足下列條件：

（i）存在正有界線性算子L: E→E，L的譜半徑

使得

則增算子A(ω,x)在[u0,v0]上有唯一的不動點x*(ω)，且迭代格式：

都收斂于x*，且有誤差估計式：

其中N為正規常數。記

都有

證明同上（略）。

[1] 李志龍.不連續隨機算子隨機不動點定理及其應用[J].數學物理學報,2010,30A(2):542-547.

[2] 張憲.序壓縮映射的不動點定理[J].數學學報,2005, 48(5):974-978.

[3] 李國禎.隨機單調算子的隨機不動點定理[J].江西師范大學學報(自然科學版),2003,28(2):136-142.

[4] 盛梅波.增算子新的不動點定理及其應用[J].華東交通大學學報,2004,21(1):114-116.

[5] 王梓坤.隨機泛函分析引論[J].數學進展,1962,5(1): 45-71.

（責任編輯、校對：趙光峰）

Random Fixed Point Theorems of Random Monotone Increasing Operator

LIN Hai-xin

(Insitute of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye 734000, China)

By using the cone theory and non-symmetry iteration method, it is studied the existence and uniqueness of random fixed point of random increasing operator equations which only satisfy some ordered condition while have no continuous condition and compact condition, and the iteration sequences which converge to solution of operator equations and the error estimates are also given.

random increasing operator; random fixed point; normal cone

O211. 5

A

1009-9115(2012)02-0025-03

2011-09-19

藺海新（1974-），男，甘肅山丹人，碩士，講師，研究方向為隨機分析。