論60階群的構造

陳松良，歐陽建新，李驚雷

（貴州師范學院 數學與計算機科學學院，貴州 貴陽 550018）

數學研究

論60階群的構造

陳松良，歐陽建新，李驚雷

（貴州師范學院 數學與計算機科學學院，貴州 貴陽 550018）

設G是60階群，那么G共有11個互不同構的類型，其中Sylow 5-子群正規的有10個。由此可得60階單群A5的一個新的刻劃，即60階群是單群的充要條件是它的Sylow 5-子群不正規。

有限群；同構分類；群的構造

設n是正整數，確定n階群的構造是有限群論中一個基本的分類問題。當p，q是不同的素數時，A. E. Western[1]確定了階為pq3的群的構造；Lin Huei-Lung[2]確定了p2q2階群的構造；當奇素數p≠3，7時，張遠達[3]確定了23p2階群的構造；景乃桓[5]確定了2372階群的構造[4]；黃強確定了2332階群的構造；古魯峰等[6]確定了一類4pq階群的構造，其中p, q是兩個奇素數，p＞q≠3且q不整除p-1；假定p＞r＞q是3個不同的奇素數，當有限群的Sylow p-子群循環時，李圣國等[7]確定了2qpn階群的構造，鄭華杰等[8]確定了rq2pn階群的構造，李圣國和黃本文[9]確定了22pn階群的構造。設p, q是兩個奇素數且p＞q，陳松良等[10]用新的方法，比較簡潔地確定了pq3階群的構造。本文將確定60階群的全部構造，并由此獲得60階單群A5的一個新的刻劃。

設Zn表示n階循環群，表示pn階初等交換群，，分別表示群G與元素g的階，記xg＝g－1xg，其他符號的意義參見文獻[11, 12，13]。

定理160階群共有11種互不同構的類型，它們的全部構造如下：

其中僅有（xi）是不可解的。

1 引理

引理1設H是12階群，則H必同構于下列5種類型之一[11,p111]：

其中H3同構于4次交錯群A4。

2 定理的證明

以下恒設G是60階群，P是G的Sylow 5-子群。

引理2如果P＜G，那么G恰有10個不同構的類型：(1) ～ (10)。

證明由于P＜G，所以G/P是12階可解群，因而G是可解群。于是由Hall定理[13,p138]得知，G的Hall 5'-子群H存在。顯然G＝HP且H是12階群。設

眾所周知，Aut(P)是4階循環群。又H/CH(P)同構于Aut(P)的一個子群，于是H/CH(P)是單位元群，或2階循環群，或4階循環群。由引理1知H恰有5種不同構的類型，所以可作如下討論：

這時易見CH(P)可有3種不同選擇：〈a〉，〈a2〉，〈a4〉。

當CH(P)＝〈a〉時，我們有

于是G的構造是(1)。

當CH(P)＝〈a2〉時，a作用在P上必是P的一個2階自同構，于是有xa=x-1，所以得G的構造是(2)。

當CH(P)＝〈a4〉時，a作用在P上必是P的一個4階自同構，可取xa=x2，所以得G的構造是(3)。

這時CH(P)可有3種不同選擇：〈a,b〉，〈a〉，〈a2,b〉。

當CH(P)＝〈a,b〉時，易見

于是G的構造是(4)。

當CH(P)＝〈a〉時，b作用在P上必是P的一個2階自同構，于是有xb=x-1，所以得G的構造是(5)。

當CH(P)＝〈a2,b〉時，a作用在P上必是P的一個2階自同構，于是有xa=x-1，但〈a2,b 〉=〈a2b〉是6階循環群，而

所以當用a2b，a3分別代替a，b時，可知G的構造與(5)同構。

這時只能有一種情況，即CH(P)=H。所以必有G?A4×Z5，因此G的構造是(6)。

這時CH(P)可有2種不同選擇：〈a,b〉，〈a〉。

當CH(P)＝〈a,b〉時，G的構造是(7)。

當CH(P)＝〈a〉時，b作用在P上必是P的一個2階自同構，于是有xb=x-1。又顯然

且

所以

的構造是(8)。

這時有CH(P)＝H或CH(P)是H的6階循環子群。

當CH(P)＝H時，G的構造必是(9)。

當CH(P)是H的6階循環子群，不難驗證H只有1個6階循環子群〈a〉，于是必有CH(P)＝〈a〉，從而xb=x-1。顯然

又

所以

的構造必是(10)。引理證畢。

引理3如果G的Sylow 5-子群P不正規，那么G必是不可解群，其構造是(11)。

證明因為G的Sylow 5-子群P不正規，所以由Sylow定理[13,p64]易知，

于是NG(P)是G的10階子群。G的Sylow 3-子群與Sylow 2-子群分別記作Q，R，則Q，R都不是G的正規子群。事實上，如果

那么易見

從而

這與NG(P)是G的10階子群矛盾。于是，再由Sylow定理[13,p64]知，

如果

則NG(R)是G的20階子群，于是NG(R)有一個正規5階子群，不妨設為P，從而又有R≤NG(P)，矛盾。如果

則顯然有

于是由Burnside定理[12,p280]得，G有15階正規子群，從而G有5階正規子群，矛盾。所以必有

而N(R)G是G的12階子群。

同理，由Sylow定理[13,p64]知，

如果

則NG(Q)是G的15階子群，于是NG(Q)有一個正規5階子群，不妨設為P，從而又有

矛盾。因此必有

而NG(Q)是G的6階子群。設O2(G)是G的最大正規2-子群，則

若O2(G)是2階群，則由N/C定理[11,p34]易知

于是NG(Q)必是6階交換群，再由Burnside定理[12,p280]得，G有20階正規子群，記為A。顯然A有5階正規子群，從而G有5階正規子群，矛盾。因此

又G的Sylow 3-子群與Sylow 5-子群都不正規，故G不可解。令

則顯然BG=1。記

為B的全體右陪集的集合。考慮G在Ω上的作用ρ：

眾所周知，

令

則ab,ac,bc 都是2階元，因此G的構造是(11)。證畢。

由引理2和引理3可知，定理1成立。由引理3的證明過程可知推論1成立。

推論1如果G是60階群，那么下列說法等價：

（i）G是不可解的；

（ii）G同構于5次交錯群A5；

（iii）G的Sylow 5-子群不正規。

[1] Western, A. E., Groups of order p3q[J]. Proc. London Math. Soc. 1898, 30: 209-263.

[2] Lin Huei-Lung, On groups of orders p2q, p2q2[J]. Tamkang J. Math. , 1974, 5: 167-190.

[3] Zhang Y. D. The structures of groups of order 23p2[J]. Chin. Ann. of Math. , 1983, 4B(1): 77-93.

[4] Jing N. H. Addendum to the structure of groups of order 23p2[J]. Chin. Ann. of Math. , 1985, 6B(4): 383-384.

[5] 黃強.2332階群的構造[J].數學雜志,1986,6(1):51-58.

[6] 古魯峰,黃若靜,張林蘭.一類4pq(p＞q≠3)階群的構造[J].武漢大學學報(理學版),2005,51(S2):37-39.

[7] 李圣國,黃本文,詹環.一類階為2qpn的群的構造[J].武漢大學學報(理學版),2005,51(S2):43-45.

[8] 鄭華杰,黃本文,趙麗英.一類rq2pn階群的構造[J].河南科技大學學報(自然科學版),2007,28(5):83-86.

[9] 李圣國,黃本文.一類階為2·11·pn的群的構造[J].武漢大學學報(理學版),2007,53(3):271-273.

[10] 陳松良,等.pq3階群的完全分類[J].海南師范大學學報(自然科學版),2010,23(3):253-255.

[11] 徐明曜.有限群導引(上冊)[M].北京:科學出版社, 1999.

[12] D. J. S. Robinson. A course in the theory of groups[M]. Graduate Texts in Mathematics 80, Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin, 1982.

[13] H. Kurzweil, B. Stellmacher. The Theory of Finite Groups[M]. Springer-Verlag Inc.: New York, 2004.

（責任編輯、校對：趙光峰）

On the Structures of Groups of Order 60

CHEN Song-liang, OUYANG Jian-xin, LI Jing-lei

(School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal College, Guiyang 550018, China)

Let G be groups of order 60. In this paper, we have showed that G has 11 nonisomorphic structures, and there are 10 structures among these where its Sylow 5-subgroups are normal. Thus we can know a new characterization of the simple A5, i. e. the group of order 60 is simple if and only if its Sylow 5-subgroups are non-normal.

finite group; isomorphic classification; structure of group

O152.1

A

1009-9115(2012)02-0022-03

貴州省自然科學基金資助項目（2010GZ77391）

2012-02-15

陳松良（1964-），男，湖南雙峰人，博士，副教授，研究方向為有限群論及其表示。