聚乙烯緩沖材料多自由度跌落包裝系統優化設計

高 德，盧富德

(1.浙江大學 寧波理工學院，浙江 寧波 315100;2.浙江大學 航空航天學院，杭州 310027)

泡沫塑料材料由于質輕，且具有良好的吸收能量特性，受到包裝工業領域的青睞［1］，其中發泡聚乙烯回彈性好，且不易損壞，便于重復利用，被廣泛用作緩沖包裝材料［2］，許多學者對發泡聚乙烯的力學行為進行了研究，Loveridge［4］指出發泡聚乙烯具有穩定的沖擊性能，且不依賴于氣孔的尺寸，并與聚氨酯泡沫的沖擊性能進行了比較;Sombatsompop［5］研究了氣孔尺寸、試驗速度對發泡聚乙烯的最大動態疲勞應力值的影響，并與靜態試驗值做了比較;Marcondes［6］指出發泡聚乙烯比發泡聚苯乙烯受溫度的影響大，這對不同溫度下使用發泡聚乙烯作為緩沖材料的包裝系統提供了理論依據;Ruiz-Herrero［7-8］研究了發泡不同密度下的發泡聚乙烯在沖擊下的力學行為，并與幾種簡單理論模型進行對比，得出絕熱與等溫模型并與試驗數據進行擬合;Mills［9］基于有限元分析，利用規則開爾文泡沫模型預測發泡聚乙烯壓縮沖擊響應。

以上研究中，主要用實驗的方法研究發泡聚乙烯材料壓縮的力學性能，一些學者所建立的數學模型還不能直接用于緩沖包裝設計中，為此，Gao等［10］基于發泡聚乙烯的本構關系，建立其單自由度緩沖模型并對緩沖材料進行了優化設計，此文僅研究單自由度的簡化包裝系統，而包裝系統通常為多自由度情況，所以本文研究發泡聚乙烯本構關系在多自由度系統的緩沖包裝設計情況，并為其它緩沖材料在多自由度包裝設計中提供一般方法。

1 建立發泡聚乙烯緩沖材料本構模型及參數識別

發泡聚乙烯緩沖材料測試:試樣截面積A為100 mm ×100 mm，厚度h為41 mm，密度為 0.044 g/cm3，動態跌落沖擊試驗機采用陜西科技大學生產的DY-3型，用USB2010高速A/D板采集跌落時的加速度信號。電荷放大器采用江蘇聯能電子技術有限公司生產的YE5852A型。測試時質量m為10 kg重錘從跌落高度H為800 mm處自由釋放，當重錘與發泡聚乙烯襯墊剛接觸為0時刻，x為襯墊的變形，測試示意圖如圖1所示。按ISO2233:2000標準預處理試樣，試驗環境溫度:23℃，試驗環境相對濕度為:53%。

圖1 測試示意圖Fig.1 Testing principle diagram

重錘連續4次沖擊發泡聚乙烯襯墊，每次的重錘最大加速度及發泡聚乙烯的剩余厚度，如表1所示，以第一次沖擊作用的重錘加速度峰值、材料殘余厚度為參考值，第二次、三次和四次與第一次沖擊作用的物品加速度相對誤差分別為2.97%、3.45%和3.69%;殘余厚度的平均相對誤差分別為0.51%、1.28%和1.28%。以上分析可見，沖擊次數對所研究的發泡聚乙烯包裝系統力學性能影響小，不像瓦楞紙板類十分依賴沖擊次數［11］。發泡聚乙烯所產生的不可恢復變形即塑性變形小，是沖擊次數對發泡聚乙烯材料緩沖性能影響不顯著的原因。

基于以上分析，不考慮塑性的影響，以第一次沖擊時的加速度脈沖信號為處理對象，如圖2(a)中的實線所示，為了能夠顯示正值，圖形中顯示的是加速度脈沖的相反數。對加速度進行積分得到速度如圖2(b)，再積分一次得位移如圖2(c)所示。

表1 四次連續跌落下的重錘最大加速度及發泡材料的剩余厚度Tab.1 The peak acceleration of falling mass and residual thickness of polyethylene foam under 4 time’s impact

圖2 加速度、速度、位移時域曲線Fig.2 Acceleration，velocity，displacement-time curves

應變ε(t)由襯墊的幾何關系得到:

應力σ為:

本文所定義的應變與應力，正值表示材料受壓，負值表示材料受拉;由于重錘加速度脈沖在材料受壓階段，所以本文不考慮材料受拉。

應變率為:

由圖2(a)、圖2(b)、圖2(c)及式(1)、式(2)與式(3)得應力 -應變率曲線、應力 -應變曲線，分別如圖3(a)、圖 3(b)所示。

圖3 應力-應變率及應力-應變曲線Fig.3 Stress-strain rate curves and stress-strain curves

圖3(a)所示的應力-應變率曲不對稱，導致圖3(b)所示的應力-應變曲線有滯后現象，根據實測數據應力-應變曲線趨勢，用a1ε2+a2項表示圖3(b)的滯后現象，以反映材料的粘滯性質;用a3ε+a4tan(a5ε)項表示應力-應變曲線的骨架，以反映材料的非線性彈性性質。結合文獻［2］的模型，建立非線性粘彈性發泡聚乙烯的跌落沖擊模型如下:

運用最小二乘法識別式(4)的參數為:

加速度-時間曲線及應力-應變曲線的理論計算值如圖4中的“o”型線所示。

圖4 加速度-時間曲線、應力-應變曲線的理論值與實測值的對比:實線:實測值;“o”:計算值Fig.4 The comparison between calculated and measured values of acceleration and stress-strain curves solid lines:measured values“o”:calculated values

2 多自由度系統分析及緩沖包裝優化設計

目前緩沖包裝設計中，常用緩沖曲線［12］來設計緩沖材料的尺寸，但此方法只能適用單自由度系統，而對兩自由度及其以上的包裝系統無能為力。本文為克服上述缺點，對多自由度系統的緩沖包裝設計進行研究，發泡聚乙烯多自由度包裝系統跌落示意圖，如圖5所示。

在圖5所示的包裝系統中，有n層緩沖，n個質量快，mk-1與mk之間的緩沖襯墊為第k塊發泡聚乙烯(k=1，2，…，n，記m0為 0)的面積為Ak，，厚度為hk，。由式(1)，第k塊緩沖材料的恢復力如下:

圖5 發泡聚乙烯多自由度包裝系統跌落示意圖Fig.5 Drop schematic diagram of ulti-DOF EPE packaging system

式中:k=1，2，…，n，記x0=0。

根據牛頓定律，圖5所示的包裝系統動力學方程為:

式(6)的初始條件為:

本文研究n層相同的物品，具有相同的質量m，在跌落高度H下自由釋放，其物品所能承受的最大加速度為Gm(易損度)，對此多自由度系統進行優化緩沖設計。要考慮的因素:第一物品最大加速度響應值必須小于包裝物品的易損度，為了安全起見，小于給定的許用值。第二材料的用量最省。

設計目標優化數學模型F(y)為:

式中:A0為包裝物品的最大底面積;ns為安全系數;y為設計變量為第i個質量塊的最大響應加速度。

設計變量y為:

式(8)所表示的優化函數為有約束多維優化函數，需轉化為無約束優化函數，用混合罰函數方法［13］，求解式(8)約束優化問題的算法如下:

① 給定設計變量y的初始值y(0)，罰因子r0＞0，縮小系數C＜1，及精度ε＞0，置k=0;

② 構造增廣目標函數

③ 用模式搜索法，以y(k)為出發點求解F1(y)的極小值，得到解，則停止迭代，否則令rk+1=crk，置k=k+1，轉②繼續。

3 優化結果及模型驗證

以發泡聚乙烯三自由度跌落包裝系統為例，質量塊m1=m2=m3=m=3 kg，底面A0=0.015 m2，從跌落高度H=0.5 m自由下落，物品易損度Gm=80 g，設計安全系數ns=1.1，對此包裝系統進行緩沖設計。

運用混合罰函數方法，取初始點y(0)=［0.006;0.015;0.006;0.015;0.006;0.015］T，取罰因子r0=2，縮小系數C=0.5，精度δ=1.0e-4，所得到的優化解，如表2所示

表2 緩沖結構參數優化結果Tab.2 Parameters optimization results of cushion strncture

運用上述尺寸，進行理論與試驗驗證，利用加速度傳感器，采集跌落后的信號;運用表2的尺寸，得到三自由度系統的三個質量塊加速度響應的理論值與試驗值，如圖6所示。

圖6 加速度響應試驗值與理論值對比實線:計算值;虛線:試驗值Fig.6 The comparison between measured and calculated values of acceleration response Solid lines:calculated value;Dotted lines:measured value

重物跌落后，第i個質量塊加速度波形相對誤差eai為下式:

式中:Ni為第i個質量塊的加速度時域在脈沖沖擊時間內的采樣點數(i，j)(i，j)分別為第i個質量塊沖第j個采樣點的加速度的實測值與計算值。

由圖6，三自由度跌落，加速度響應值的理論值與試驗值吻合很好，由式(10)，得平均相對誤差均在0.8%以內，其三個質量塊的響應加速度均小于許用值，因此，得出的優化解是可靠的。

4 結論

(1)發泡聚乙烯緩沖材料跌落試驗結果表明，沖擊次數對發泡聚乙烯的緩沖性能影響不顯著，并產生小塑性變形。各次最大加速度響應與第一次比較，誤差在4%以內;材料的殘余變形在1.5%以內。

(2)利用試驗結果，依據粘彈性力學理論，建立了發泡聚乙烯本構模型，即非線性粘彈性模型，成功識別了模型中的參數，模型理論值與試驗值誤差在1%以內。

(3)基于發泡聚乙烯緩沖材料本構模型，運用混合罰函數方法，對多自由度緩沖包裝系統進行了優化設計。算例表明，優化模型的最優解，誤差在0.8%以內。利用此設計方法可有效地避免欠包裝和過度包裝，克服了最大加速度-靜應力曲線不能設計多自由度緩沖包裝設計的弊端。

［1］Avalle M，Belingardi G，Ibba A.Mechanical models of cellular solids:parameters identification from experimental tests［J］.International Journal of Impact Engineering，2007，34(1):3-27.

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