基于遞歸矩陣奇異熵的損傷識別方法

楊 棟，任偉新

(1.中南大學 土木建筑學院，長沙 410075;2.高速鐵路建造技術國家工程實驗室，長沙 410075)

結構損傷識別可通過結構動力特性和響應的改變來檢測與識別。常用的與結構動力特性有關的結構損傷指標有自振頻率、振型、振型曲率、模態柔度和模態應變能等［1］，但這些作為表征結構整體特性的動力學參數對局部損傷并不敏感。此外結構動力學特性由實測振動響應采用系統識別的方法得到，由于測試模態集不完備、測試自由度不足、測量信噪比低以及識別誤差等原因，除了無法給出損傷識別的足夠信息，還易導致損傷方程的病態［2-3］。直接基于振動的響應信號進行結構的損傷檢測與識別可以避免系統識別的中間過程，該方法需要信號處理與分析的工具，如傅里葉變化、小波變換和經驗模式分解等，其核心問題之一是尋找對結構損傷敏感的特征(Feature extraction)［4-5］。

遞歸圖(Recurrence plot-RP)用圖像來刻畫信號的振動特性［6］，可以體現信號在所有時間尺度上的自相關性，進而可以用于提取傳統方法(特別是那些需要進行線性變換的方法)無法展現的結構特性，該理論已經被應用于語音信號分析、心率信號分析等領域中［7-8］。由于遞歸圖對系統振動特性的變化非常敏感，因此這是一種較理想的構造損傷敏感參數的方法。本文應用遞歸圖進行結構損傷識別，構造了一個基于遞歸圖遞歸矩陣的新的損傷指標——遞歸矩陣奇異熵，通過該指標的變化識別結構損傷情況。

1 振動信號的遞歸圖及多變量融合

1.1 信號的遞歸圖和交叉遞歸圖

遞歸圖Rij是一個由黑點和白點以及兩條時間軸組成的二維方陣，其建立的方法如下:

設{xi是某一動力系統相空間中的一條軌跡線，考察軌跡中某一個相點是否接近于軌跡中另一個相點，即看這兩個相點之間的距離是否小于某一選取的閾值。當兩個相點之間的距離小于閾值，則代表這兩個點之間的距離是遞歸的，用一個黑點表示，否則這一點就是不遞歸的，用一個白點或者空格表示。此過程可以用一個方陣表示如下:

i=1，2，…，N;j=1，2，…，N;θ(x→i)是Heaviside函數:

對于實際觀測到的時間序列{xn，可通過如下方法構造M個m維向量:

其中，m為嵌入維數，τ為延遲時間，只能為采樣間隔的整數倍。為m維嵌入空間中的一個相點，代表系統在時刻i的狀態。只要m，τ選擇恰當，就可在拓撲等價的意義下恢復原系統的動力學特性。對重構的狀態向量序列{xi作遞歸圖分析，就可獲得系統的相關信息。

圖1中所體現的就是三種不同信號的遞歸圖:高斯白噪聲、正弦波以及線性調頻信號。三個圖都是采用同樣長度的數據(N=1 000)及采樣頻率(f=50 Hz)，m和τ都取1。對于為常數的情況，遞歸圖是關于對角線對稱的，例如點i、j在相空間里面距離很近那么對于點j、i也是一樣的，并且對角線是一直都會出現在圖像里面的。對遞歸圖中的對角線、水平線和垂直線(遞歸圖中相鄰兩個點或以上都是實心點無空白就稱之為線)進行分析將會發現很多有意思的現象。垂直的線結構反應了傳統概念中的自相關特性。對角線代表了信號中固有的振動特性。因此，周期信號將會表現出帶狀結構，例如圖1(b)中的正弦信號對角線之間的空白與其周期特性相關聯，而對角線的粗細由其自相關性決定。一個純的隨機信號是沒有任何規律可循的，它在遞歸圖上的表現就是沒有任何線性結構出現，相鄰點之間不會同時出現實心點，如同圖1(a)中的高斯白噪聲遞歸圖中所表現出來的一樣。圖1(c)中線性調頻信號明顯的體現出長短不一致的對角線結構，與其信號的李雅普諾夫系數相關聯。

圖1 不同信號的遞歸圖Fig.1 Recurrence plot for different signals

遞歸圖最初是用來進行時間序列平穩性分析的工具，因此也將是一個提取結構響應信號中由于結構損傷造成信號固有特征變化的有效工具。這種特別的方法沒有包含任何線性變換，它是一種基于概率、普遍的提取結構振動特性的方法。

1.1 對象 選擇2011年1—6月本市1、2、3級醫院在職已婚護士及其配偶260名進行問卷調查。本次調查共發放問卷260份，收回260份，回收率100%，有效問卷254份，有效問卷率97.6%。

交叉遞歸圖 (cross recurrence plot)是單變量遞歸圖的二元擴張，常用于通過系統狀態間的比較來分析兩個不同系統間的相互關系［9］。{xi和{yi分別表示兩組不同的信號，其建立關系如下:

如果兩個系統相似，則其在相空間中的位置應該相差不遠，遞歸點出現的概率比較大;反之，則遞歸點較少。這種特別的振動特性對比方式非常適合結構損傷識別。它從概率的角度評價了一個有損結構和無損結構之間的區別。因此，本文將著重介紹如何從遞歸圖中提取出來一個合適的損傷評價指標。

為了在相空間中很好的刻畫出振動信號的特性，也為了更加方便的進行分析和構造損傷指標，本文更多的將對無閾值遞歸矩陣進行研究。其表達式如下:

在這個遞歸矩陣中，對角線元素全部為零，且歐氏距離總是大于或等于零，因此遞歸矩陣沒有負值的元素，且能夠很好的保留和反映結構振動信號的特征。對于無閾值遞歸矩陣的分析可參見文獻［10］和文獻［11］。

1.2 響應信號的多變量融合［12］

在結構振動測試中，人們經常將多個傳感器分別布置在結構的不同部位進行監測。傳感器在不同的位置將獲得不同的結構振動特征信息，而本文希望能夠充分利用所有傳感器中的信息，進行多元交叉遞歸分析。將結構中不同位置m個傳感器采集到的信號作為行向量，并用所有行向量形成交叉遞歸分析的延遲向量(delay vectors)，如下式所示:

其中xi(n)表示第i個傳感器在第n個采樣點的值。多變量融合數據重構完成后，按式(1)、式(3)和式(4)便可計算各種形式的遞歸矩陣。

2 遞歸矩陣奇異熵

遞歸圖或者交叉遞歸圖中含有豐富的振動特性信息。如同前文所述，圖中各種各樣的線結構反應了自相關特性和振動特征。在交叉遞歸圖中，這些線結構體現了兩個不同結構模式之間相同振動特性的概率大小。但在遞歸量化分析中有一個很重要的參數需要尋找，一般這個值取=3σ(即99.7%的保證率)。大多數情況下，這個值是適用的。但是對于結構損傷識別說，細微的差別都可能造成指標對損傷不敏感偏小可能造成噪聲對圖形影響很大偏大又可能無法完全真實體現結構現狀。因此，本文將奇異熵［5］引入到遞歸圖算法中，用遞歸矩陣的奇異熵作為損傷指標，以回避選擇的問題，同時達到使指標對結構微小變化也比較敏感的目的。其具體構造過程如下:

(1)按照式(5)構造延遲矩陣;

(2)計算無閾值遞歸矩陣D，見式(4)。

(3)對無閾值遞歸矩陣D進行奇異值分解:

其中，ui和vi分別稱為左奇異值向量和右奇異值向量，σi為矩陣D的奇異值，且數值按遞減排列σ1＞σ2＞…＞σn。對于含噪信號，大的奇異值主要反映信號分量，而小的奇異值主要反映噪聲。由于奇異值對角陣Λ對角元按照遞減排列，選定階次k，則可得前面k個較大的奇異值反映信號的信息。將大于階次K的較小的奇異值置零，即可得到新的去除噪聲影響的奇異值對角陣:

(4)根據奇異值對角陣求奇異熵:

其中ΔEi表示奇異熵在階次i處的增量，可以通過下式計算得到:

由此得到的遞歸矩陣的奇異熵對結構變化非常敏感:未損傷結構的奇異熵穩定于某一固定值;損傷結構的奇異熵則隨著結構的變化而發生變化，損傷越大熵值越大。因此遞歸矩陣的奇異熵也就是本文用來識別結構損傷的新的損傷靈敏指標。

3 算例

以下圖2所示的簡支梁的模擬加速度響應為例進行分析。梁長為20 m，采用鋼材，其線密度和彈性模量分別為2.0 g/cm3和2.06 e11 GPa，截面尺寸0.4 m ×0.6 m。

圖2 數值試驗模型Fig.2 Model of numerical experiment

異常狀態模擬:

(1)一處損傷。利用12號單元抗彎剛度削弱來模擬結構損傷?？紤]3種損傷工況，工況一:抗彎剛度折減5%;工況二:抗彎剛度折減10%;工況三:抗彎剛度折減15%。

(2)二處損傷:利用12號單元和4號單元抗彎剛度削弱來模擬結構多處損傷。考慮3種損傷工況，工況四:抗彎剛度折減5%;工況五:抗彎剛度折減10%;工況六:抗彎剛度折減15%。

通過有限元分析，不同狀態下結構的頻率變化不明顯(見表1和圖5)，可以看出，即使在損傷狀態最嚴重的工況，基頻僅變化了1%，說明頻率對結構異常狀態不敏感。為獲得動力響應數據，采用高斯白噪聲激勵，計算部分節點的加速度響應作為實測的響應信號，響應信號的采樣頻率為50 Hz，每組數據長度為30 s，為模擬實測信號，對計算的響應信號施加2%的噪聲，典型的激勵信號和響應信號分別如圖3和圖4所示。

表1 不同損傷工況的頻率Tab.1 Frequency under different states

圖5 不同狀態下的遞歸熵Fig.5 Recurrence singular entropy under different states

分析響應信號時，對每個工況的數據分別計算出遞歸矩陣的奇異熵。圖5(a)中給出了各個工況下由響應計算得到的遞歸矩陣奇異熵的柱狀圖，前三個工況和后三個工況分別給出了一處損傷和兩處損傷下遞歸矩陣奇異熵的變化情況。從圖中可以看出:隨著損傷程度的提高，遞歸熵的值相應增大，且靈敏度較好，數值變化也比較明顯。比較表1中相同損傷程度下一處損傷和兩處損傷的基頻，發現其在微小損傷下頻率對損傷特別是局部損傷并不敏感;圖5(b)也比較了相同損傷程度下一處損傷和兩處損傷工況下遞歸矩陣奇異熵的變化情況，結果表明相對于基頻，遞歸矩陣奇異熵敏感程度明顯較大，局部損傷對指標的影響非常明顯。在損傷狀態最嚴重的時候，遞歸熵變化了32%。這說明選取的遞歸矩陣奇異熵指標能有效的識別結構損傷。

4 結論

遞歸圖用圖像來刻畫信號的振動特性，可以體現信號在所有時間尺度上的自相關性，直觀的體現出信號變化的情況。遞歸圖對結構響應中的突變信號較為敏感，可用于結構健康監測系統中在線監測和識別結構損傷。本文應用遞歸圖進行結構損傷識別，構造了一個基于遞歸圖遞歸矩陣的新的損傷指標——遞歸矩陣奇異熵，數值算例表明結構發生損傷后，遞歸矩陣奇異熵對結構微小局部損傷造成的結構響應信號的微弱變化較為敏感，該方法可以有效地識別模擬簡支梁的各種不同損傷水平。

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