基于核形態成分分析的齒輪箱復合故障診斷研究

楊 杰，鄭海起，關貞珍，王彥剛

（石家莊軍械工程學院 石家莊 050003）

當齒輪箱出現故障時，有時可能不只存在一種故障，可能是多種故障狀態并存，盲源分離為齒輪箱多故障并存的分離提供了一種新的方法，已成功應用到齒輪箱故障診斷中［1-2］。

在盲源分離算法中，經典的獨立成分分析（ICA）方法假設源信號是獨立統計的。雖然目前ICA方法在許多應用中已證明是成功的［3-5］，然而，ICA基于統計獨立的假設條件，并不適用于所有的情況。特別是在實際應用中，很多信號或圖像具有稀疏性，或者可以對信號或圖像進行適當的變換，使其在變換域中具有較好的稀疏性。在稀疏成分分析（Sparse Component Analysis，SCA）中就利用了這一點［6-7］。最近，Starck 等［8-9］另辟新徑，提出了另外一種基于信號稀疏表示的分離方法——形態成分分析（Morphological Component Analysis，MCA），該方法的主要思想是利用信號組成成分的形態差異性（可以由不同的字典稀疏表示）進行分離。目前，該方法在圖像處理［10-12］和腦信號分離［13］中已經有一些應用，在機械信號處理方面尚未見報道。

當利用齒輪箱振動信號進行故障診斷時，傳感器測取的信號是各種源信號的混合信號，這些源信號在傳輸過程中往往會發生不同程度非線性畸變、混疊等現象，而且這種非線性畸變在齒輪箱發生復合故障時尤為明顯。而MCA假設源信號是線性混疊的，因此不能有效地分離出非線性過程的源信號，從而得不到理想的診斷效果。

本文結合核函數把基于MCA的線性盲分離方法拓展到非線性混疊情況，給出了一種非線性混疊信號盲分離算法。該算法首先將混疊信號映射到高維核特征空間，其次，在核特征空間中構造一組正交基，通過這組正交基將高維核特征空間的信號映射到這組正交基張成的參數空間中，從而把非線性混疊信號盲分離問題轉化為參數空間的線性混疊信號盲分離問題。最后，在參數空間中，應用基于信號稀疏特性的線性盲分離方法對信號進行分離。該算法收斂精度較高，穩定性好。

1 形態成分分析的基本理論

Stark 等［16］在 BCR（Block-Coordinate-Relaxation）方法的基礎上，給出了MCA的數值實現：

（1） 初始化迭代次數Lmax及閾值δk=λk·Lmax/2

（2）Whileδk＞λk/2

fork=1，…，n

假設sk'≠k不變，更新sk：

·軟閾值法計算系數αk，閾值為δk，得到系數；

·由sk=Φk重構sk。

更新閾值δk=δk-λk/2。

MCA算法只能分離同一信號中具有不同形態的信號分量。Boin等［17］將 MCA擴展到多通道數據情況下，提出了GMCA（Generalized MCA）算法，GMCA是一種快速有效的盲源分離方法，它充分利用了形態多樣性和稀疏性的特點，把源看作是形態分量的線性組合，并利用稀疏性來估計源和混合矩陣，取得了較好的實驗結果。Xinyi［13］將該方法應用到了腦信號分離中。

對于線性混疊模型：

設源信號是統計獨立的，且每個源信號sk是不同形態成分的線性組合：

Tk和Rk分別表示與冗余字典Φk相關的正逆變換，在上述優化問題中，估計第k個源信號中的信號分量由前文提到的 MCA 算法實現，得 GMCA算法如下：

（1） 初始化遞歸次數Lmax和閾值：?k，δk=λk·Lmax·λk/2

（2）Whileδk＞λk/2

Fork=1，…，n

（3） 假設sk'≠k和αk'不變，更新sk：

·計算源信號sk的粗略估計；

·由閾值δk和MCA算法計算的稀疏分解，得到分解系數{αk，j}；

（4）設源信號不變，更新A；

（5） 對?k，重新歸一化αk，sk和δk；

（6） 對?k，減小閾值δk=δk-λk/2。

2 核形態成分分析算法

2.1 核形態成分分析算法

一般化的非線性混疊信號模型可描述如下：

即xi（t）=fi［s1（t），s2（t），…，sn（t）］，F=［f1（·），f2（·），…，fn（·）］T。將混疊信號{x（t），t=1，2，…，T}∈Rn用Φ（·）映射到高維特征空間中，即：

并在高維特征空間Γ中選擇一組基：

構造如下正交基：

則可通過該正交基將Φ（x（t））在特征空間中參數化為d維信號：

由于直接計算被映射的數據Φx和Φv是困難的，為此引入核函數k（·，·）滿足k（a，·b）=Φ（a）T·Φ（b），則有：

Ψ［x（t）］即是被映射到參數空間中的數據，假設選擇的核函數k（·，·）使Φ（·）=F-1（·），則由式（4）、式（5）、式（6）、式（7）可得：

即Ψ（x（t））是s（t）的線性混疊信號。把GMCA算法應用于被映射到參數空間中的數據Ψ（x（t）），得到本文提出的核形態成分分析算法（KGMCA）如下：

（1） 通過特征選擇算法從{x（t），t=1，2，…，T}∈RN中選擇{v（t），t=1，2，…，d}∈RN；

（2）由式（7）、式（8）和式（9）計算被映射到參數空間中的數據Ψ（x（t））（t=1，2，…，T}；

（3）用GMCA算法對Ψ（x（t））進行盲分離，得到源信號。

2.2 特征選擇算法

下面研究KGMCA算法步驟1中特征空間Γ中基Φv的選擇問題［18］。

設在輸入空間（即混疊信號空間）中選擇的特征向量數為L，特征向量標記為，在特征空間中的映射為Φ（）=，1≤j≤L，給定的特征向量集S={，…，}，則輸入空間中任一向量xi在特征空間中的映射可以表示為特征向量集S的線性組合：

其中：ai=（，…，）t為參數向量。現在的問題是對于給定的S，求解ai，使得Φi的估計值以最大概率接近Φi，為此，構造如下的評價函數：

用矩陣形式重寫式（12），從而最小化δi的問題可表示為內積形式：

其中：KSS為特征向量內積的方陣，KSi為xi與特征向量集S的內積矩陣。問題轉化為在輸入空間X中尋找S，使其滿足式（13），即：

定義適應度函數：

則式（14）等價于：

式（16）可通過遞歸算法求解，從而得到S，即{v（t），t=1，2，…，d}∈Rn。

3 仿真信號分析

為了檢驗KGMCA盲分離算法的有效性，進行了如下的仿真，取m=3，n=3，即三個傳感器、三個源信號的盲分離。

設三個源信號分別為：

其中：t=1，2，…，1 024，s1（t）的 Gauss脈沖重復頻率 0.02 Hz，Gauss脈沖中心頻率0.2 Hz，持續時間長度■5 s，簡諧波頻率0.01 Hz，s2（t）的Gauss脈沖重復頻率0.05 Hz，Gauss脈沖中心頻率0.4 Hz，持續時間長度■5 s，簡諧波頻率0.035 Hz，n（t）為隨機噪聲，信噪比為3 dB，信號采樣頻率為1 Hz。經非線性關系x（t）=A1tanh（A2s（t））混疊，其中，隨機選取混疊矩陣為：

將三路信號非線性混疊并疊加3dB的高斯白噪聲，源信號及混疊信號分別如圖1（a）和（b）所示，構造Fourier字典和基于8階消失矩Symlet小波字典，應用KGMCA算法的信號分離結果如圖1（c）。

由圖1（c）可以看出，源信號被較好地分離出來，且噪聲較小。

由于核函數方法的實質就是實現一種由輸入空間到特征空間的映射，通過定義特征變換后樣本在特征空間中的內積來實現一種特征變化。這就是說，通過引入核函數就可以實現所有的計算，而不需要知道非線性函數和特征空間（核空間）的具體形式。因此KGMCA算法不受非線性函數的具體形式的約束，具有較廣泛的適用性。

圖1 源信號、混疊信號和分離結果波形圖Fig.1 Sources、mixtures and separation result

4 齒輪箱復合故障信號分析

在某型單級齒輪箱上進行試驗驗證。該系統由電機帶動輸入軸，輸出軸帶動負載。主動齒輪齒數Z1=30，被動齒輪齒數Z2=50，輸入軸軸承為6206型單列向心滾動軸承，輸出軸軸承為7207型單列向心滾動軸承，在主動齒輪的一個輪齒根部加工一道寬為0.5 mm，深為1.5 mm的小槽模擬齒根裂紋故障。軸承故障是在輸入軸軸承內圈和外圈通過線切割實現的，對振動信號在時域里進行等時間間隔采樣，采樣頻率為12800 Hz，測量時轉速為1 200 r/min，采樣時間長度為0.25 s。齒輪故障頻率為轉頻20 Hz，6206型軸承內徑為9.5 mm，外徑為 46.5 mm，接觸角為 0°，滾動體數目為 9，根據軸承的結構尺寸和工作轉速，可以計算出軸承不同元件的故障特征頻率：內圈故障特征頻率108.4 Hz，外圈故障特征頻率為71.6 Hz。

在輸入軸兩端的軸承座和輸出軸一端的軸承座上各安裝一個傳感器，傳感器的型號為B＆K4508加速度傳感器，三個傳感器采集的振動信號頻譜如圖2（a）、圖2（b）和圖2（c）所示，可以看出采集信號的幾個故障特征頻率在每一個頻譜圖上混疊，難以確定哪些故障存在。而且由于齒輪箱系統為典型的含間隙、油膜和時變剛度的多體彈性非線性動力學系統［19］，傳統的線性盲分離方法不再適用。

圖2 三路傳感器采集信號的頻譜圖Fig.2 Spectrum of the vibration signals

為了匹配所分析信號的結構特征，需要根據信號性質或先驗知識設計字典。目前，已經構造了多種過完備字典，常用的字典有Dirac字典、Fourier字典、小波字典、小波包字典和Gabor字典等。其中，Dirac字典適合匹配振動信號中的脈沖成分；Fourier字典是典型的頻率字典，是頻率過離散的簡諧三角函數集合，適合分析簡諧信號；小波字典是典型的時間-尺度字典，適合分析具有等比例帶寬性質的信號。

如果軸承的內圈或外圈有損傷，軸旋轉時，這些零件在接觸過程中會發生機械沖擊。齒輪振動信號主要由齒輪的嚙合效應和旋轉運動引起，損傷齒輪振動信號中還會出現沖擊和瞬態振動特征。為了有效匹配分析齒輪箱振動信號的特征結構，根據齒輪箱振動信號特點，構造了Fourier字典、Dirac字典和基于8階消失矩Symlet小波的標準正交小波字典以及持續一定時間長度覆蓋一定頻率帶寬的波形函數的組合，分別用以匹配振動信號中的簡諧振動、沖擊和其他瞬態振動現象。

采用KGMCA算法對采集的三路振動信號進行盲分離，圖3分別為分離出的三個源信號的頻譜圖。

圖3 KGMCA分離信號頻譜圖Fig.3 Spectrum of the separated signals by KGMCA

從圖3（a）中能看出20.5 Hz和41 Hz的頻率成分，這與齒根裂紋故障特征頻率（20 Hz）及二次諧波（40 Hz）接近，由此可認為齒根裂紋故障被有效的分離出來；從圖3（b）中能看出71.5 Hz和143 Hz的頻率成分，這與滾動軸承外圈故障特征頻率（71.6 Hz）及二次諧波（153.2 Hz）接近，由此可認為外圈故障被有效的分離出來。從圖3（c）中能看出108.5 Hz和217 Hz的頻率成分，這與滾動軸承內圈故障特征頻率（108.4 Hz）及二次諧波（216.8 Hz）接近，其他頻率幅值成分較小，由此可認為內圈故障被分離出來。經上述分析得出，本文提出的算法能較好地分離出齒輪和滾動軸承的故障特征。

非線性盲源分離算法有：核獨立成分分析（KICA）和非線性主分量分析（PCA）等，這些方法在對應的條件和約束下都能獲得最佳性能。非線性PCA方法需先對觀察信號做預白化的處理，然后最小化非線性PCA準則來獲得相應的分離算法。文獻［20］中，Oja給出了非線性PCA的一種實現算法，但這一算法收斂速度慢，精度低，且步長的選擇不易把握。而KICA基于統計獨立的假設條件，并不適用于所有的情況。與這些方法相比，KGMCA算法具有收斂速度快、精度高、對帶噪混疊信號分離效果好的特點，但是需要人為設定用于信號分離的字典，如果字典選擇不當則分離效果不理想，這是其缺點所在。

5 結論

形態成分分析方法是有別于稀疏成分分析的一種基于稀疏表示的線性混疊信號分離方法，它利用追蹤算法來搜索信號最稀疏的表示將產生理想的分離效果。本文結合核特征空間，把這種方法推廣到了非線性混疊情況，給出了一種非線性混疊信號盲分離算法。仿真結果表明該算法是有效的，并應用KGMCA算法對設有3種復合故障的齒輪箱振動信號進行分析，成功分離并找到了故障特征，從而驗證了該方法在齒輪箱復合故障診斷中的有效性。

然而由于MCA嶄新的理論面貌和獨到的應用特點，還存在很多問題值得深入研究［21］，如：選擇何種類型的原子來構造合適的字典和級聯字典族；研究好的閾值選擇策略提高算法的收斂性；建立基于MCA稀疏分解的評價方法等。

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