沖擊載荷作用下金屬圓柱殼能量吸收研究

戴向勝，馬建敏

(復旦大學 力學與工程科學系，上海 200433)

金屬圓柱殼是有效的吸能結(jié)構(gòu)之一，能在有限的壓縮空間內(nèi)產(chǎn)生塑性變形而吸收大量的能量，可以取得一般減振器所不能得到的減振效果，因此很多學者對此進行了研究，Alexander［1］提出了靜態(tài)塑性鉸模型，該模型是基于金屬圓柱殼的最終破壞模式提出的，假定所有的塑性鉸同時形成.而不考慮屈曲的過程，同時假設金屬圓柱殼的能量吸收有兩個部分，一個是彎曲變形能，另一個是拉伸變形能和壓縮變形能。Abramowicz和Jones［2］在研究中考慮了瞬時幾何構(gòu)型，并且提出有效壓縮長度的概念，同時還考慮了沖擊載荷的應變率效應和應變強化效應。Wierzbicki和Bhat［3］提出了直鏈塑性鉸模型，并根據(jù)模型模擬出載荷-位移曲線，并且提出偏心率效應，并給出不同偏心率的載荷-位移曲線，但其研究結(jié)果表明偏心率對吸能效率沒有影響。Singace［4］認為吸能效率與偏心率有關(guān)，并給出最優(yōu)偏心率，給出了塑性鉸長度和平均壓縮載荷。Karagiozova［5-7］應用有限元研究了低速沖擊和高速沖擊下的金屬圓柱殼的響應歷程。

上述文獻中沒有考慮到在沖擊載荷作用下的溫度效應，在該效應的作用下材料的應力應變關(guān)系會隨著金屬圓柱殼疊縮的進行而發(fā)生相應的變化，從而導致金屬圓柱殼吸收能量的計算結(jié)果不一樣，本文利用粘塑性理論在考慮溫度效應下對圓柱殼的吸能情況進行研究，提出分步疊縮法計算塑性變形能，并且得到該種情況下的載荷位移曲線，為實際工程運用給出了一種金屬圓柱殼吸收能量的理論計算方法以及金屬圓柱殼減振效果的判斷依據(jù)。

1 模型的建立

1.1 幾何模型

塑性金屬圓柱殼的軸向壓縮破壞模式主要有軸對稱疊縮模式和非軸對稱疊縮模式。而破壞模式主要由直徑壁厚比決定，直徑壁厚比較大的發(fā)生非軸對稱破壞，反之發(fā)生軸對稱破壞，后者的比吸能一般較大，且破壞模式相對穩(wěn)定。非軸對稱模式屬于一種局部的失穩(wěn)，軸壓載荷不易預報，現(xiàn)有研究主要是針對發(fā)生軸對稱破壞模式的金屬殼進行吸能特性的研究，本文所研究的圓柱殼直徑壁厚比符合軸對稱疊縮模式，而且金屬圓柱殼所受沖擊載荷是軸對稱的，因此假設所產(chǎn)生的變形也是軸對稱的;在沖擊載荷的作用下，整個圓柱殼根據(jù)沖擊載荷的大小、圓柱殼材料特性以及圓柱殼形狀的不同而發(fā)生不同的疊縮模式，本文主要研究發(fā)生如圖1所示疊縮過程的情況，該模型是在Singace模型［4］的基礎上提出的，整個疊縮過程分為兩個階段，依次為內(nèi)翻(Ⅰ)和外翻(Ⅱ)。

1.2 前提假設

(1)金屬圓柱殼所受沖擊載荷是軸對稱的，并且所產(chǎn)生的變形也是軸對稱的。

(2)整個疊縮過程絕熱的，沖擊載荷所作的功大部分轉(zhuǎn)為彎曲變形能和伸張變形能，其中伸張變形能是管壁沿周向方向受拉伸或壓縮而做功，彎曲變形能是塑性鉸在塑性彎矩的作用下發(fā)生彎曲所做的功。

(3)在沖擊載荷作用下金屬圓柱殼中熱量傳導在瞬時完成。

1.3 材料本構(gòu)的選擇

因為金屬圓柱殼在沖擊載荷的作用下是大變形、高應變率和高溫條件下的流變行為，所以選擇Johnson-Cook本構(gòu)［8］，該本構(gòu)是由Johnson和Cook于1983年在位錯動力學的基礎上提出的一個適用于金屬大變形、高應變率和高溫條件下流變行為的本構(gòu)方程，其優(yōu)點是形式簡單、使用方便。Johnson-Cook本構(gòu)的方程公式是:

2 塑性變形能的計算方法

整個過程是絕熱的，沖擊載荷所作的功大部分轉(zhuǎn)為熱量;這些熱量導致材料的溫度升高從而發(fā)生材料的溫度軟化效應，為了把該溫度效應考慮進去，根據(jù)圖1中的角度(α和φ)的增加量把整個疊縮過程分為N步，即每個疊縮時圖1中的角度(α和φ)變化量是α0/N和φ0/N，而整個塑性變形能是每個疊縮的塑性變形能之和。

在計算第I個疊縮時金屬圓柱殼所吸收能量時，因為在第1個到第I-1個疊縮每個疊縮完成時載荷所作的塑性功會使得材料的溫度上升，即公式(1)中的T發(fā)生變化，材料的σp也發(fā)生相應的變化，所以在計算第I個疊縮的塑性變形能時，應使用變化之后的等效應力應變關(guān)系，T的計算方法見公式(16)。

2.1 塑性變形能計算

在第I個疊縮中的變形能包括彎曲變形能和伸張變形能兩個部分，以下是這兩個部分的計算方法:

2.1.1 第I個疊縮中彎曲變形能計算

在疊縮過程中有三個塑性鉸，每個塑性鉸的應變率不同，所以相應的等效塑性應力也不同，因此計算公式分別是:

圖1 圓柱殼的疊縮過程Fig.1 The fold formation of the tube

式中在i=1，2，3時分別對應圖1中的塑性鉸B，C，D;Ri是三個塑性鉸沿著圓柱殼半徑方向的發(fā)生變形之后到軸線的距離，MIi是三個塑性鉸單位長度全塑性彎矩，θi是三個塑性鉸轉(zhuǎn)動角度;

對應的三個塑性鉸式中的參數(shù)分別是:

在圓柱殼塑性變形中沿著厚度方向的應變遠小于其它兩個方向的應變，并且在薄殼理論中有切平面應力假設，因此可以假設沿著厚度方向應變?yōu)榱?對塑性變形可以假設塑性體積在變形的過程中是不變的從而有:ε1+ ε2+ ε3=0;式中 ε1、ε2、ε3分別是塑性鉸所在的部分的三個主應變;

ε1是沿著圓柱殼周長方向的應變;ε2是沿著圓柱殼長度方向的應變;ε3是沿著圓柱殼厚度方向的應變，所以有:

式中R是圓柱殼原始半徑;在i=1，2，3 時，ε1、ε2、ε3分別對應的是三個塑性鉸B、C、D的三個主應力。

根據(jù)等效塑性應變的計算公式，則第I個疊縮中的三個塑性鉸B、C、D的等效塑性應變分別是

在i=1時對應是塑性鉸B所在的部分的等效塑性應變;在i=2時對應是塑性鉸C所在的部分的等效塑性應變;在i=3時對應是塑性鉸D所在的部分的等效塑性應變。

其中T*中所使用到的TI是根據(jù)式(16)得到的;是金屬圓柱殼的平均應變率［9］，該參數(shù)是根據(jù)下式計算得到:

式(7)中的是金屬圓柱殼在疊縮過程中的平均疊縮速度;

疊縮長度［4］H是根據(jù)下式計算得到:

綜上有第I個疊縮中彎曲變形能是:

2.1.2 第I個疊縮中的伸張變形能

整個的疊縮包括BC段和CD段，設微元 dl是沿BC段和CD段線段方向上的微元，則該微元所吸收的伸張變形能計算公式是:

則BC段所消耗的伸張變形能則是:

CD段所消耗的伸張變形能則是:

則第I個疊縮中伸張變形能是BC段和CD段所消耗的伸張變形能之和，所以根據(jù)式(11)和式(12)有:

2.1.3 第I個疊縮所吸收的總能量

根據(jù)式(9)和式(13)，可以得到圖1中第I個疊縮中總能量是:

2.2 第I個疊縮中沖擊載荷導致溫度升高值

在高應變率、大變形的情況下，溫度的升高可用下式進行計算［10］:

式中:ρ為材料密度、Cv為比熱容、εp為等效塑性應變、σp為等效塑性應力、β≈0.9為塑性功轉(zhuǎn)化為試件溫升的比例，γ1和γ2分別是第I個疊縮的等效塑性應變的下限(終止)值和上限(開始)值，在計算時等效塑性應變分別取BC段和CD段中點的塑性應變。

則第I-1個疊縮中沖擊載荷導致溫度升高值是ΔT，則在計算第I個疊縮時所使用的溫度是TI:

3 疊縮過程中的平均載荷和瞬時載荷

3.1 疊縮過程中的平均載荷

可以利用計算得到的整個過程的總變形能和圓柱殼端點的垂直位移計算疊縮過程中的平均載荷:

E是整個過程的總變形能，δ是圓柱殼端點的垂直位移。

3.2 疊縮過程中的瞬時載荷

可用第I個疊縮中變形能的增加量ΔE(I)和位移的變化量Δδ(I)計算第I個疊縮中瞬時載荷:

所有疊縮中的瞬時載荷就是整個變形過程中的瞬時載荷，通過上式可以得到瞬時載荷-位移曲線，而依據(jù)該曲線即可判斷減振效果，瞬時載荷的最大值越小減振效果越好，曲線越平緩減振效果越好。

4 鋁合金圓柱殼算例

根據(jù)本文提出的塑性變形能的計算方法，對材料是2024Al鋁合金圓柱殼進行計算，其參數(shù)如下:

Johnson-Cook本構(gòu)參數(shù):A=218 MPa、B=546 MPa、C=0.038、m=3.73、n=0.355;(2)幾何參數(shù)是:內(nèi)徑49.5 mm、外徑50.5 mm、平均直徑50 mm、半徑25 mm;壁厚1 mm、偏心率λ=0.65，計算結(jié)果如下:

(1)不同的沖擊速度下鋁合金圓柱殼在疊縮過程中所吸收的能量(見圖2)

從圖中可以得到總的能量隨著沖擊速度的不同而不同;當沖擊速度是5 000 m/s時是285J，而不考慮沖擊載荷效應的是108J。

(2)不同的沖擊速度下鋁合金圓柱殼在疊縮過程中溫度的增加值(見圖3)

從圖中可以得到隨著沖擊速度的增加，圓柱殼在疊縮過程中溫度的增加值也是增加的。

(3)不同的鋁合金圓柱殼厚度下疊縮過程中所吸收的能量(見圖4)

(4)不同的鋁合金圓柱殼半徑下疊縮過程中所吸收的能量(見圖5)

(5)鋁合金圓柱殼疊縮過程中的平均載荷和瞬時載荷

① 疊縮過程中的平均載荷

而不考慮沖擊載荷效應的平均載荷是8.6 kN。

② 疊縮過程中的瞬時載荷(見圖6)

5 結(jié)論

(1)金屬圓柱殼在沖擊載荷的作用下(材料假設為粘塑性材料)其疊縮過程中總的吸收能量、平均載荷以及瞬時載荷-位移曲線都比把載荷假設為準靜態(tài)(材料假設為剛塑性)的數(shù)值更大，從而和實際更為接近;

(2)金屬圓柱殼所吸收的能量和疊縮過程中的速度、金屬圓柱殼的厚度、半徑有關(guān);金屬圓柱殼的疊縮過程中的速度越大，金屬圓柱殼的厚度越大、半徑越大，所吸收的能量越大。

［1］Alexdaner J M.Appromixmate analysis of the collapse of thin cylindrical shell under axial loading［J］.Q.J.Mech.appl.Math，1960(13):10-15.

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