異步電機定子的振動與模態分析

韓 偉，賈啟芬，邱家俊

（天津大學 機械學院，天津 300072）

異步電機在很多工業領域具有廣泛的應用歷史，然而至今仍有很多問題有待解決。其中的一個問題就是電機運行過程產生的電磁噪聲，這是由高頻電磁力引起電機強迫振動產生的，當電機結構發生共振時，電機的噪聲會更大［1-2］。為了降低噪音，預測電機產生的振動和噪聲需要準確地確定諧振頻率和激振力，因此必須對電機定子結構的固有頻率和振動特性進行詳細的研究。國內外不少學者進行了這方面的研究。文獻［3-4］對電機定子的振動特性進行了試驗研究；文獻［5］利用解析法計算了異步電機定子的固有頻率；文獻［6］研究了電機定子齒槽對異步電機振動噪聲的影響。隨著有限元方法的引入和發展，不少研究者開始利用有限元法和試驗相結合的方法對電機的振動特性進行了研究，文獻［7］利用有限元和實驗相結合的方法研究了繞組對異步電機定子的固有頻率的影響，文獻［8-10］利用有限元法和實驗相結合的方法對異步電機的固有頻率和振型進行了詳細的研究；文獻［11］提出了一種非破壞性測定電機定子疊片了大型異步電機的振動模態；文獻［12］利用有限元方法研究也存在著一些問題，概括起來問題主要集中在以下幾個方面：①由于鐵芯是由長度為2～6 mm的空心圓柱硅鋼片沖制疊壓而成，各片之間還通過絕緣材料隔開，故鐵芯不是簡單的連續彈性介質，不能把電機鐵芯疊片結構簡化為硅鋼實體或者彈性模量較小的各向同性體；② 計算結果分析僅局限于定子的徑向平面振動模態，對于有效防止電機產生其它三維振動模態的共振參考價值不大。因此，有必要進一步改進電機的有限元建模方法，提高計算結果的準確度，同時系統的分析定子的三維振動模態。

本文基于異步電機簡化的三維物理模型，建立了各種不同的電機定子的有限元模型，通過比較不同的定子有限元模型的計算結果準確度，改進了定子的有限元建模方法，系統的分析了定子三維振動模態。試驗樣機的有限元計算結果與實驗結果進行了比較驗證。

1 數學模型和研究方法

振動模態分析，就是利用系統固有頻率的正交性，以系統的各階模態向量所組成的模態矩陣作為變換矩陣，對選取的物理坐標進行線性變換，使得振動系統以物理坐標和物理參數所描述的、互相耦合的運動方程組能夠變為一組獨立的模態方程。由于坐標變換是線性變換，因而系統在原有物理坐標系中，對于任意激勵的響應，便可視為系統各階模態的線性組合，故模態分析方法又稱為模態疊加法。而各階模態在疊加中所占的比重或加權系數則取決于各階模態的響應。取一單元體，設單元體的動能為T，應變能為U，阻尼消耗的能量為Wd，外力的勢能為We。建立拉格朗日函數為：

利用哈密頓原理和應力-應變關系、應變-位移關系可以導出單元的運動方程為：

其中（·）表示對時間的求導，下標和上標e表示單元，Me表示單元體的質量矩陣，Ce表示單元體的阻尼矩陣，Ke表示單元體的剛度矩陣，Fe表示單元體的載荷矩陣，qe表示單元體的節點位移。對整個系統的各單元集合，便可以得到振動系統的運動方程為：

式中：M為系統整體的質量矩陣，C為系統整體的阻尼矩陣，K為系統整體的剛度矩陣，F為節點力矢量。而固有頻率一般為無阻尼自由振動，令F={0}和C={0}，根據微分方程理論，式（3）的解可以表示為：

根據線性方程理論有非零解的充分必要條件為：

解出滿足式（5）、（6）的頻率w和對應的非零解向量?r（r=1，2，3，…，n），其中w和?r分別為電機的固有頻率和固有振型。

作為結構力學的經典內容，自由振動模態分析的理論和計算方法都比較成熟，并形成了各種數值分析軟件。本文利用有限元軟件Ansys對異步電機進行三維有限元分析，在一定的簡化基礎上，將電機模型全部拉伸為8面體單元，保證了計算結果的精確度，提高了工作的效率。同時結合實驗數據，全面研究異步電機定子的模態和固有頻率。

2 三維有限元建模

為便于比較，以一臺4 kW、三相異步電機實驗樣機為例，構建了6種基本的有限元計算模型。機殼的材料為鑄鐵，定子鐵芯疊片的材料為硅鋼片，硅鋼片表面涂有一層薄絕緣材料，繞組的材料為銅。

圖1 兩種鐵芯模型Fig.1 Two modal of the core

模型Ⅰ 只考慮了定子鐵芯、繞組和機殼（沒有散熱筋和底腳）在通常的電機結構中，繞組通過絕緣樹脂與定子鐵心相粘連，其對定子鐵心的剛度影響較小，其影響主要以附加質量體現［13］，將繞組的質量折算到定子齒中，使定子齒的密度增大，以考慮繞組對定子振動系統的影響。由于鐵芯是由很多薄硅鋼片疊壓而成的離散介質體，如果要建立鐵芯的實際模型，則其建模與計算的難度將是無法估計的，本文采用等效替換的方法，把鐵芯疊片簡化為8個相同的離散單元體，每個單元體與機殼均采用剛性聯結，且8個單元體之間無軸向相對位移。鐵芯的建模過程如下：首先只建立鐵芯實體模型的1/8，然后通過移動復制1/8鐵芯實體建立8個相同的鐵芯段，8個鐵芯段再分別與機殼進行體粘結布爾操作，對每個鐵芯段分別進行網格劃分，然后利用耦合命令CPINTF耦合單元體之間重合節點的軸向位移。鐵芯的虛擬模型和有限元模型如圖1所示，綠色部分表示耦合此處重合節點的軸向位移。該定子模型如圖2（a）所示，定子各部分的材料屬性如表1所示。

表1 電機各部分的材料特性Tab.1 Material properties of motor

模型Ⅱ在模型Ⅰ的基礎上添加了軸向散熱筋和加強筋，主要是考查散熱筋和加強筋對定子固有頻率的影響。其各種材料屬性同表1。有限元模型如圖2（b）。

模型Ⅲ在模型Ⅰ的基礎上添加了底腳，主要是考查底腳對定子固有頻率的影響。其各種材料屬性同表1。有限元模型如圖2（c）。

模型Ⅳ在模型Ⅰ的基礎上既添加了軸向散熱筋和加強筋，又添加了底腳。同時考查軸向散熱筋、加強筋察和底腳對定子固有頻率的影響。其各種材料屬性同表1。有限元模型如圖2（d）。

圖2 模型Ⅰ到模型Ⅳ的有限元計算模型Fig.2 FE Models of modeⅠ to Mode Ⅳ

模型Ⅴ在模型Ⅳ的基礎上，鐵芯簡化為材料均勻各向同性的連續體，其彈性模量取為 1.521 ×1011N/m2［10］。其它的材料屬性同表1。

模型Ⅵ 在模型Ⅳ的基礎上，鐵芯簡化為硅鋼實體，其彈性模量取為2.058 ×1011N/m2［2］。其它的材料屬性同表1。

3 結果分析

對上述模型做無任何機械約束的自由振動模態分析，得到定子三維振動的前五階固有頻率如表2所示。模型Ⅳ的前五階固有振型如圖3所示。比較模型Ⅰ的計算結果與實驗結果，發現模型Ⅰ的前五階固有頻率均與實測值誤差較大，其中，第一階的固有頻率的計算結果與實測值的誤差最大，為38.89%，說明模型Ⅰ的計算結果的準確度很低。比較模型Ⅱ的計算結果與實驗結果，發現模型Ⅱ的前五階固有頻率與實測值最大的最大誤差為15.58%，說明模型Ⅱ的計算結果與模型Ⅰ的計算結果相比，模型Ⅱ的計算結果的準確度有了很大的提高。同理，模型Ⅲ的計算結果與模型Ⅱ的計算結果相比，模型Ⅲ的計算結果的準確度更高。而模型Ⅳ的計算結果與實驗結果相比，最大誤差不超過9%，模型Ⅳ的計算結果的準確度是上述模型中最高的。模型Ⅴ的計算結果與實驗結果相比，計算所得的固有頻率值最大誤差為43.39%，說明模型Ⅴ的計算結果的準確度比模型Ⅰ還低。模型Ⅵ的計算結果與實驗結果相比，計算所得的固有頻率值最大誤差為53.67%，說明模型Ⅵ的計算結果的準確度是上述模型中最低的。

表2 模型Ⅰ－Ⅵ的結果與實測值的比較Tab.2 Comparison of modalⅠto Ⅵanalysis results with measured Results

圖3 模型Ⅳ的前五階振動模態Fig.3 The first to fifth mode shapes of modalⅣ

另外，由圖3和表2可知，模型Ⅳ得到了多個低階固有頻率和振型的計算結果，在前五階模態中，有2個橢圓振動模態、3個低階軸向和徑向平面振動的組合模態。其中一、四、五階模態為軸向和徑向平面振動的組合模態，二、三階為橢圓振動模態。與文獻［2，13］的計算結果相比，很多沒有被計算和分析的低階模態，都被準確地計算出來了，這些低價振動模態都有可能被不平衡電磁力激起，準確地計算和分析這些模態對于降低電機的振動與噪聲具有重要的參考價值。

綜合以上分析，可以得到如下一些結論：

（1）在電機定子的有限元建模過程中，充分考慮散熱筋、加強筋和底腳對定子固有頻率的影響，可以有效提高定子固有頻率的計算結果的準確度。

（2）在電機定子的有限元建模過程中，當把定子鐵芯簡化硅鋼實體或者彈性模量取為1.521×1011N/m2的均勻各向同性體時，定子模型的固有頻率的計算結果與實驗結果相比誤差較大，尤其是軸向階數m≠0的第一階固有頻率。由此可知，在計算定子的三維振動模態時，定子鐵芯是不能利用硅鋼實體或者其它的各向同性體［10］來等效替換的。

（3）根據本文的等效替換方法，把定子鐵芯等效為多個離散的單元體（單元體的個數可通過多次試算得到）時，定子模型固有頻率計算結果的準確度可以得到有效的提高。

（4）在綜合考慮了散熱筋、加強筋、底腳和鐵芯結構對模型計算結果的影響之后，使得該有限元模型的計算結果達到了很高的準確度。

4 計算實例

為了進一步驗證本文模態分析計算的有效性，根據實驗樣機數據，建立了一個考慮繞組、散熱筋、加強筋、底腳、鐵芯和端蓋的有限元模型。繞組、散熱筋、加強筋、底腳、鐵芯等的建模處理方法均按照本文上節討論所得的建模處理方法進行建模（模型Ⅳ的建模方法），端蓋裝配與機殼，兩者之間可以視為緊密配合（貼合面無相對位移）。由于在實際的工作環境中，電機底腳通過螺紋與地面保持接觸，螺紋的松緊對電機的振動具有重要的影響，情況比較復雜，故本文主要是對樣機模型做三維的自由振動模態分析。試驗樣機的有限元模型如圖4所示，表3列出了該模型的前三階固有頻率，圖5為該模型的前三階固有振型。

圖4 實驗樣機的有限元模型Fig.4 FE modal of prototype motor

圖5 模型Ⅶ的前三階固有振型Fig.5 The first to fifth mode shapes of modalⅦ

5 實驗

為了能夠保證有限元模型計算結果的可靠性，對樣機進行了實驗模態分析。實驗由兩種工況組成，即：自由狀態下不帶端蓋的定子實驗模態分析、自由狀態下帶端蓋的定子實驗模態分析。根據實驗要求，對自由狀態下不帶端蓋的定子和自由狀態下帶端蓋的定子布置了40個測點，每個測點要測試兩個方向的加速度響應信號（R和θ方向）。

表3 模態分析結果與實測結果對比Tab.3 Comparison of modal analysis to results with measured results

圖6 自由狀態下不帶端蓋電機定子的頻響函數集中結果Fig.6 Frequency response functions results of unrestrained stator without end-shields

圖7 自由狀態下帶端蓋的電機定子的頻響函數集中結果Fig.7 Frequency response functions results of unrestrained stator with end-shields

利用CL-YD-302系列力錘及力傳感器單點激勵第4點R方向，采用CA-YD-108壓電式加速度傳感器拾取各點R、θ方向的加速度信號。實驗的分析帶寬為1 000 Hz，共記錄了40個力信號的時間歷程，80個加速度響應的時間歷程，將實驗中采集到的每次激勵的力信號、各測點兩個方向響應的加速度信號數據，在模態分析軟件上進行了以快速傅里葉變換為核心的數據處理工作，共獲得了80個頻響函數。圖6和圖7為所有的頻響函數的集中結果顯示。

在以上工作的基礎上應用專用模態分析軟件，進行實驗對象的模態參數識別，得到了兩種工況下電機定子的固有頻率，表2為模型Ⅰ-Ⅵ的計算結果與無端蓋定子實測值的比較，表3為實驗樣機的計算結果與實測值的比較。由表3可知實驗頻率和模態頻率很接近，相對誤差均低于10%，表明模態仿真是可靠的。

6 結論

本文利用三維有限元模態分析法，通過比較采用不同的有限元建模方法時不同定子模型固有頻率計算結果的準確度，得出對離散的鐵芯疊片結構，采用多個離散單元體等效替換的方法，與傳統的簡化方法相比，可以大大提高三維振動固有頻率計算結果的準確度。采用本文的建模方法，綜合考慮散熱筋、加強筋、底腳和離散鐵芯疊片結構對固有頻率計算結果準確度的影響后，使得該有限元模型的模態計算結果達到了很高的準確度，能夠滿足工程精度要求，證實了本文的建模方法的優越性和模態分析計算的有效性。對于降低電機的振動與噪聲具有重要的參考價值。

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