桿系結構的拓撲易損性分析

劉文政，葉繼紅

（東南大學 混凝土與預應力混凝土結構教育部重點實驗室，南京 210096）

建筑結構在規定的設計使用年限內應滿足安全性、適用性和耐久性要求，同時在偶然事件發生時及發生后，仍能夠保持必需的整體穩定性［1］。除此之外，結構在遭受到設計階段無法估計的意外荷載或作用時，不應發生與其不相稱的失效或垮塌，即結構應具有魯棒性［2］。例如1968 年倫敦 Ronan Point公寓的倒塌［3］、2001年紐約世貿大廈的倒塌［4］及2004年法國戴高樂機場候機廳頂棚的倒塌［5］均由意外荷載作用下局部單元失效引起的，表明結構缺乏必要的魯棒性。

現階段對結構魯棒性的要求多從概念設計的角度、依據工程經驗加以把握。如采用合理的結構體系、增加結構的延性、加強構件之間的連接、增加冗余度等，但缺乏必要的理論基礎［6］。為了研究結構的魯棒性，一些學者從魯棒性相反的方面，即易損性進行研究。易損性是指結構對相對較小的損傷、攝動或改變產生不成比例的較大破壞后果的敏感性，它反應了結構對于意外損傷的承受能力［7］，其含義包含三個方面：系統所承受的作用及其對系統引起的損傷、結構保持完整的能力、損傷引起的后果。易損性可以分為三種，即內在易損性、與特定作用相關的易損性、整體易損性［8］。Lind［9］采用概率的方法計算結構的易損性，將其定義為損傷系統的失效概率與完整系統的失效概率的比值。Augusti［10］將易損性定義為結構對損傷的敏感度，即為達到或超越損傷的條件概率。柳承茂等［11］提出基于剛度的結構構件重要性評估方法，通過最小勢能原理證明構件重要性與結構冗余度的關系，能夠反應結構中的薄弱環節。于剛等［12］討論了結構中冗余桿件配置的有效性及不同損傷場景對于結構性能的影響程度。Wu等［13-15］提出結構的易損性主要源于結構內部本身的構形及連接程度，并針對平面結構建立了構形易損性理論。Agarwal［16-17］進一步將其推廣應用到簡單的三維結構中。構形易損性分析與特定荷載作用下的常規響應分析和可靠度分析不同，它是從結構自身拓撲關系入手，分析結構中存在的薄弱部位，并識別出結構損傷與破壞后果不成比例的破壞模式。由于分析過程中不涉及荷載，因此避免了實際作用于結構上的荷載及其組合難以確定的問題，其分析結果具有普適性。

本文詳細闡述了結構構形易損性理論，從剛度的角度分析了節點構形度的物理意義，基于凝聚準則建立結構拓撲關系層級模型，識別出結構內部連接最薄弱的部分；并通過對結構拓撲關系層級模型拆解分析，識別出結構具有易損性的各種破壞模式，并通過破壞模式評價指標的計算，確定結構的最小破壞模式、最易發生破壞模式、完全破壞模式及最大破壞模式共四種破壞模式。應用C++語言編制相應的分析程序，并對平面桁架、平面剛架及網殼結構進行分析，結果表明易損性分析能夠有效反應結構的薄弱部位，同時能夠識別結構損傷與失效后果具有不成比例的破壞模式，為采取合理措施降低結構內在易損性（安全隱患）提供理論依據。

1 結構易損性理論

1.1 節點構形度

將結構整體剛度矩陣［K］寫成n×n階分塊子矩陣的形式［18］，即：

式中：n為結構的節點數量。

將式（1）中位于主對角線上的子矩陣［K］kk稱之為節點jk的相關剛度矩陣。［K］kk為對稱正定矩陣，其維數c與節點處交匯的單元數量無關。

根據整體剛度矩陣［K］，建立結構彈性有限元方程，即：

式中{F}={{F}1，{F}2，…，{F}n}T為結構總體荷載向量，{X}={{X}1，{X}2，…，{X}n}T為結構總體位移向量。

將式（2）中與［K］kk相應的等式部分提取出來，即：

根據對稱正定矩陣的性質，將相關剛度矩陣［K］kk對角化［19］，即：

式中［P］為c階正交矩陣，［H］為c階對角矩陣，c為相關剛度矩陣［K］kk的維數。矩陣［H］的主對角線元素為矩陣［K］kk的特征值λi，且λi大于0。

將式（4）兩邊左乘矩陣［P］和右乘矩陣［P］-1，即：

將式（5）代入到式（3）中，且等式兩邊左乘矩陣［P］-1，即：

令：

將式（7）、式（8）代入式（6）中得到：

將式（9）展開，即：

當{X}'k為單位向量時，即：x'1=x'2=…=x'n=1，式（10）簡化為：

定義λi（i=1…c）為節點主剛度系數，與λi對應特征向量的方向為節點主位移軸方向。根據式（11）可以看出λi代表著結構在節點jk處沿著相應主位移軸方向抵抗荷載的能力，其大小與總體坐標系的選取無關。

基于主剛度系數的物理意義，定義節點jk的構形度：

式中：［K］kk為節點jk的相關剛度矩陣，c為相關剛度矩陣［K］kk的維數，qk稱之為節點jk的構形度。qk的取值與結構總體坐標系選取無關。

算例：圖1（a）、（b）所示分別為節點鉸接和節點剛接的雙桿體系［20］。設單元m1、m2特性如下：截面積A1=A2=1.180 5 cm2，慣性矩I1=I2=0.037 5 cm4，長度l1=l2=0.33 m，彈性模量E=72 409 MPa。m1與m2的夾角為α，m1、m2與水平方向的夾角為β。

圖1 平面雙桿體系Fig.1 Planar double-pole system

在節點鉸接情況下（圖1（a）），當構件夾角α取0°～180°時，根據式（12）計算節點構形度q2隨夾角α的變化規律如圖2所示。設圖1（a）中荷載Ph=Pv=300 kN，則結構分別在水平荷載Ph和豎向荷載Pv作用下，節點j2的位移隨夾角α的變化規律如圖3所示。

在節點剛接情況下（圖1（b）），當構件夾角α取0°～360°時，根據式（12）計算節點構形度q2隨夾角α的變化規律如圖4所示。設圖1（b）中荷載Ph=Pv=3 000 N，當α取0°～180°時，結構分別在水平荷載Ph和豎向荷載Pv作用下節點j2的位移隨夾角α的變化規律如圖5所示。

圖5 剛接雙桿體系節點j2的位移隨夾角α變化規律Fig.5 Variety rule of nodal displacement of j2with α for rigid double-pole system

對比圖2與圖3、圖4、圖5可以得出：在節點鉸接和剛接兩種情況下，節點構形度q2的變化規律與荷載作用下節點位移的變化規律相似。當α較小時，結構在水平荷載作用下的節點位移較大，反應結構在此節點處沿水平方向抵抗荷載的能力較弱，相應此時節點構形度q2相對較小。當α較大時，結構在豎向荷載作用下的節點位移較大，反應結構在此節點處沿豎直方向抵抗荷載的能力較弱，相應此時節點構形度q2也相對較小。當α等于90°時，結構在兩個方向上位移相等，說明結構在節點j2的兩個主位移軸方向上抵抗荷載的能力接近，結構在任何方向上都不存在明顯的薄弱部位，相應此時節點構形度q2取得最大值。因此節點構形度的大小代表著結構在此節點處抵抗任意方向荷載的能力。節點構形度較大，表明此節點處抵抗任意方向荷載的能力較高，此節點處也就較牢固；相反，節點構形度較小，表明此節點在某個方向上抵抗荷載的能力較弱，即此節點處具有易損性。上述節點構形度的物理意義為進一步說明整體結構及其子結構（結構簇）構形好壞的評價標準——結構簇構形度Q建立基礎。

1.2 結構環和結構簇

在桿系結構拓撲關系中，將能夠保持平衡、冗余度≥0的荷載傳遞路徑稱之為結構環。其特征為能夠抵抗施加于其上的任意平衡荷載。在構形分析中，將結構環視為結構系統中抵抗荷載和傳遞位移的單元。結構環可分為靜定結構環和超靜定結構環。將所需構件組成數量最少的結構環稱之為初始結構環。平面結構的初始結構環如圖6所示，空間結構的初始結構環如圖7所示。

結構簇為能夠構成結構環的一組相互連接的單元及連接節點。根據結構拓撲關系層級模型中結構簇的位置，結構簇分如下四類：

（1）初始結構簇：結構系統中的單個單元稱為初始結構簇，在結構拓撲關系層級模型中位于最底層級。

（2）枝簇：由多于一個單元構成的結構簇稱為枝簇，在結構拓撲關系層級模型中位于中間層級。它是由位于較低層級的結構簇構成。

（3）完整簇：將整個結構視為一個結構簇，稱為完整簇。它包含結構中所有單元和節點，在結構拓撲關系層級模型中位于最高層級。

（4）參考簇：剛度無窮大、不會發生損傷的結構簇稱為參考簇。參考簇一般為結構的基礎部分。

結構簇具有如下四種特性：

（1）構形度：結構簇內部所有節點構形度之和除以結構簇的節點數量，其計算式如下：

式中：n為結構簇的節點數量，qk為節點jk的構形度，根據式（12）進行計算。構形度的大小與單元特性、節點類型及構件匯交角度有關。根據節點構形度的物理意義，結構簇構形度Q為結構簇構形好壞的標準。

（2）損傷需求：對結構簇造成損傷所需要作用的大小。根據主剛度系數的物理意義，定義損傷需求與結構簇喪失的自由度對應的主剛度系數λi成正比。假設一個損傷事件只釋放結構簇中某個節點或單元一個主方向的自由度，則損傷需求計算如下：

式中：ω為比例常數，λi為結構簇喪失的自由度對應的主剛度系數，m為結構簇發生損傷所有可能的方式。在結構簇發生損傷所有可能的方式中，所需作用最小的損傷需求稱為最小損傷需求，即：

式中參數的含義與式（14）相同。最小損傷需求的大小表明外部作用對結構簇產生損傷的難易程度。

（3）節點連接度：結構簇內部所有節點處交匯的單元數量之和，即：

式中：D（jk）為結構簇中節點jk處交匯的單元數量，n為結構簇的節點數量。節點連接度的大小表明此結構簇和其他結構簇進一步組成結構環的能力。

（4）距參考簇的距離：結構簇內部所有節點距參考簇的距離之和除以節點數量，其計算式如下：

式中：δ（jk）為結構簇中節點jk距參考簇的最短距離，n為結構簇的節點數量。結構簇與參考簇的距離愈小，其與參考簇分離所引起的后果就越大，因此將距參考簇的距離作為和損傷后果有關的度量標準。

圖8 選擇種子簇程序流程Fig.8 Program flow of selecting seed clusters

1.3 凝聚過程

凝聚過程是應用聚類分析中的層次凝聚方法［21］，依據凝聚準則，建立結構的拓撲關系層級模型。其凝聚準則如下：

（1）構形度最大（Q）；

（2）最小損傷需求最大（D）；

（3）節點連接度最大（N）；

（4）距參考簇的距離最大（Dis）；

（5）隨機選擇（R）。

凝聚過程主要分為三個階段：初始凝聚階段、二次凝聚階段、最后凝聚階段。

初始凝聚階段是形成自由簇的過程，其步驟如下：① 根據結構拓撲關系的特點，選擇合適的初始結構環。② 根據凝聚準則選擇種子簇。將結構的每一個單元視為初始結構簇，識別結構中存在的初始結構環，依次根據五項凝聚準則確定唯一的初始結構環作為種子簇，其程序流程如圖8所示。③ 根據種子簇形成自由簇。首先識別出能夠和種子簇構成結構環的單元，并計算結構環構形度Q，若構形度Q增加時，依次按照上述五項凝聚準則選擇合適的單元，將其并入種子簇中形成新的結構簇。若存在端節點都位于結構簇內部的初始單元，由于將其并入此結構簇之后構形度一定增加，所以優先將其并入此結構簇中。重復上述凝聚過程，若合并之后結構簇的構形度Q減少，停止此次凝聚，此時的結構簇稱為自由簇。重復②、③，直到結構不存在種子簇停止。初始凝聚階段總程序流程如圖9所示。初始凝聚階段結束之后，整個結構中只有自由簇和不能形成結構環的初始結構簇。

二次凝聚階段是將初始凝聚階段形成的自由簇和剩余初始結構簇進一步合并的過程。選擇合并前后構形度增加最大或者減小最小的結構簇進行合并，其前提條件為合并之后的結構簇為幾何不變體系。重復凝聚，直至除了參考簇以外，整個結構凝聚為一個結構簇。最后凝聚階段是在二次凝聚階段的基礎上，將參考簇并入上部結構簇中。二次凝聚階段和最后凝聚階段程序流程圖如圖10所示。

基于上述凝聚過程可以建立結構拓撲關系層級模型。最低層級是由初始單元和節點構成；最高層級只含有完整簇；中間層級是由一些結構簇連接構成。由于凝聚過程是首先將使構形度增加的單元并入，因此保證了結構簇內部單元之間的連接程度大于內部單元與外部單元之間的連接程度。

圖10 二次凝聚階段及最后凝聚階段程序流程Fig.10 Program flow of secondary clustering process and final clustering process

1.4 拆解過程

在構形易損性分析中先不考慮引起損傷的作用性質，只考慮損傷引起的后果。為了簡化分析，假定單元損傷的位置為：① 單元的中點位置；② 單元的某一端部；③ 單元的兩端，且假定在破壞過程中單元損傷的方式是單一的（圖11）。

圖11 損傷事件的發生位置和方式Fig.11 Locations and manners of damage occurred

實際結構存在的破壞模式很多，為了識別結構具有易損性的破壞模式，定義破壞模式的評價指標［22］如下：

（1）分離系數γ［Fh］：為失效后結構構形度的喪失與失效前完整結構構形度的比值，即：

式中：Q［S］為完整結構的構形度，Q［S＇］為損傷或失效后結構的構形度。分離系數是衡量結構失效后果的指標。結構沒有發生損傷時，其分離系數為0；整個結構完全倒塌時，其分離系數為1。

（2）相對損傷需求Eγ［Fh］：指結構破壞模式的損傷需求E［Fh］與結構最大損傷需求Emax［Fh］的比值。即：

式中：Emax［Fh］為結構系統中所有單元失效所需要的損傷需求。

（3）易損性指數ξ［Fh］：指破壞模式的分離系數與其相對損傷需求的比值。即：

易損性指數為無量綱參數，其大小反應了結構損傷與破壞后果的不成比例性。易損性指數愈大，表明損傷所引起后果的不成比例性愈大，結構的易損性就愈高。

根據分析目的和破壞模式的評價指標，引入以下四種破壞模式：

（1）最易發生的破壞模式

具有最小損傷需求的破壞模式定義為最易發生的破壞模式，它是由結構中最薄弱單元的失效引起的，是結構系統最容易發生的破壞模式。

（2）最小破壞模式

結構系統中連接最薄弱的部分發生破壞引起的破壞模式，發生破壞的位置是凝聚過程中最后并入的結構單元或者結構簇。

在結構系統中，一個單元可能具有較低的損傷需求，但與其它結構簇之間可能具有較高的連接程度，因此定義最易發生的破壞模式和最小破壞模式識別結構系統中潛在的薄弱部位。其中最易發生的破壞模式為結構最薄弱單元的失效，最小破壞模式為結構中連接最薄弱的部位發生失效。

（3）最大破壞模式

易損性指數最大的破壞模式定義為最大破壞模式，即需要很小的損傷需求就能夠引起較大的失效后果。

（4）完全破壞模式

結構中可能存在多種整體倒塌的破壞模式，在這些整體倒塌的破壞模式中，損傷需求最小的破壞模式定義為完全破壞模式。在結構構形易損性分析中，整體倒塌的含義即為所有的結構單元都與參考簇脫離或發生幾何大位移。

對于最大破壞模式和完全破壞模式，需通過拆解枝簇識別。其拆解準則如下：

（1）下一層級的結構簇是非參考簇（NR）；

（2）和參考簇能夠組成結構環（FR）；

（3）和參考簇直接相連，但不能構成結構環（CD）；

（4）是初始結構簇，并非枝簇（L）；

（5）構形度最小（SQ）；

（6）損傷需求最小（SD）；

（7）位于較高層級（CL）。

具體拆解過程如下：

（1）選擇結構拓撲關系層級模型中的一個枝簇，將結構中非此枝簇的單元與參考簇合并，視為擴展參考簇。若選擇整簇進行分析，則擴展參考簇仍為原參考簇。

圖12 層級模型拆解流程Fig.12 Unzipping flow of hierarchical modal

選擇拆解的枝簇不同，得到的破壞模式可能也不同。對各種破壞模式按照式（18）～式（20）計算評價指標。本文具體程序實現時，式（18）中的Q［S'］指結構發生失效后，仍保持幾何不變特性的剩余部分的構形度。如果此時結構中所有剩余單元全部可動，則Q［S'］等于0，相應的分離系數等于1，結構發生整體倒塌。分離系數為1且相對損傷需求最小的破壞模式為完全破壞模式。易損性指數最大的破壞模式為最大破壞模式。

2 平面桁架結構易損性分析

圖13所示為平面桁架結構布置圖，節點編號、單元編號及構件截面特性如圖中所示。單元彈性模量E=2.06×105N/mm2，根據凝聚過程和拆解過程，編制C++程序對該結構進行拓撲易損性分析。

2.1 凝聚過程

圖13 平面桁架結構布置圖Fig.13 Structural arrangement of planar truss

將結構中的29個單元（m1～m29）分別視為初始結構簇（C1～C29），基礎視為參考簇C30。選取初始結構環形式如圖6（a）所示。首先識別出結構共存在15個初始結構環，根據凝聚準則，從中選擇構形最優的結構環{C11，C10，C8}作為種子簇，其編號為C31（圖14（a））。然后識別能夠和C31組成結構環的初始結構簇，即{C31，C5，C6}、{C31，C9，C12}，計算凝聚前后構形度的最大差值 ΔQmax大于0，依據凝聚準則，選擇{C31，C5，C6}組成上一層級的結構簇 C32（圖 14（b））。按照上述過程依次將周邊單元并入結構簇中，直至ΔQmax小于0停止凝聚，得到結構簇C34稱為自由簇（圖14（c）～（d））。C34形成之后，從結構的剩余單元中重新尋找種子簇，按照上述自由簇形成過程依次形成自由簇 C38、C39、C40、C41（圖 14（e）～（k））。此時結構中已不存在由初始結構簇組成的結構環，故初始凝聚階段結束。

圖14 平面桁架結構凝聚過程Fig.14 Clustering process of planar truss

初始凝聚階段結束之后，整個結構中的結構簇為C4、C13、C17、C28、C34、C38、C39、C40、C41（圖 14（k）），其中 C34、C38、C39、C40、C41 為自由簇，C4、C13、C17、C28為初始結構簇。根據Q值增加最大或減小最小的原則，選擇{C34，C39，C13}凝聚為上一層級的結構簇C42（圖14（l））。同理，將整個上部結構逐步凝聚成一個結構簇C45（圖14（m）～（p））。

二次凝聚階段結束之后，將參考簇C30并入上部結構簇C45中得到完整簇C46（圖14（q））。基于上述凝聚過程，建立結構拓撲關系層級模型如圖15所示。

2.2 拆解過程

假定拆解過程中單元的損傷方式為單元中部形成鉸（圖11（g））。基于結構拓撲關系層級模型（圖15），首先從位于層級模型頂端的枝簇C46開始拆解，具體過程如下：

（1）由于C46是由C45和C30組成，其中C30為參考簇，根據拆解準則NR，選擇 C45進行下一步的拆解；

（2）C45由 C44、C40、C4 組成，C44、C40、C4 均不是參考簇，只有C44與參考簇形成結構環，因此根據拆解準則FR，選擇C44進行下一步的拆解；

（3）C44 由 C43、C41、C28 組成，C43、C41、C28 均不是參考簇，只有C43和參考簇形成結構環，因此根據拆解準則FR，選擇C43進行下一步的拆解；

（4）C43 由 C42、C38、C17 組成，C42、C38、C17 均不是參考簇，C42、C38與參考簇相連，C42、C38都不是初始結構簇，C42的構形度小于C38的構形度，因此根據拆解準則SQ，選擇C42進行下一步的拆解；

（5）C42 由 C34、C39、C13 組成，C34、C39、C13 均不是參考簇，只有C34與參考簇相連，因此根據拆解準則CD，選擇C34進行下一步的拆解；

（6）C34由 C33、C12組成，C33、C12均不是參考簇，只有C33與參考簇相連，因此根據拆解準則CD，選擇C33進行下一步的拆解；

（7）C33 由 C32、C7、C9 組成，C32、C7、C9 均不是參考簇，只有C32與參考簇相連，因此根據拆解準則CD，選擇C32進行下一步的拆解；

（8）C32 由 C31、C5、C6 組成，C31、C5、C6 均不是參考簇，C31、C5與參考簇相連，由于C5為初始結構簇，因此根據拆解準則L，選擇C5引入損傷。C5（圖13）失效之后結構單元及節點編號如圖16所示。

C5失效沒有引起結構整體或局部發生倒塌，因此在C5失效的基礎上，通過凝聚過程重新建立結構拓撲關系層級模型（圖17）。按照前述拆解過程，從位于層級模型（圖17）頂端的枝簇C44開始拆解，識別出第二個引入損傷的單元為C9（圖16）。具體拆解過程亦如圖17所示，C9對應的原結構編號為C10（圖13）。C5、C10失效之后結構單元及節點編號如圖18所示。

C5、C10失效沒有引起結構整體或局部發生倒塌，因此在C5、C10失效的基礎上，再次重新建立結構拓撲關系層級模型（圖19）。按照前述拆解過程，從位于層級模型（圖19）頂端的枝簇C42開始拆解，識別出第三個引入損傷的單元為C7，具體拆解過程亦如圖19所示。C7對應的原結構編號為C8（圖13），此時結構發生整體倒塌。因此拆解枝簇C46（圖15）得到的破壞模式是由單元m5、m10、m8（圖13）失效引起的。根據對稱性，單元m18、m23、m21也組成一種失效模式。

為了識別結構中可能存在的能夠引起連續倒塌的局部破壞模式，對圖15中的所有枝簇（C31～C45）依次按照上述拆解-凝聚-拆解-…的過程進行搜尋。將非此枝簇中的單元與參考簇合并，視為擴展參考簇。例如對枝簇C42進行拆解時，其結構布置如圖20所示。最終對所有枝簇拆解得到的破壞模式如表1所示。

表1及后文的表2、表3中只含有本文1.4節定義的完全破壞模式和最大破壞模式，而無法包含最小破壞模式和最易發生的破壞模式，這兩種模式是分別根據結構層級模型中單元凝聚的先后次序和單元損傷需求的大小得到的。

根據表1和1.4節的定義，可以看出最大破壞模式是拆解枝簇C42得到的，拆解結果為單元m13、m14失效（圖21（a）），該模式的結構損傷與破壞后果的不成比例性最大，其分離系數為1.0，因此也是完全破壞模式。根據對稱性，單元m17、m14失效亦為最大破壞模式和完全破壞模式（圖21（b））。根據圖15結構拓撲關系層級模型，單元m4（圖13）最后凝聚到結構完整簇中（除參考簇C30外），并根據對稱性，最小破壞模式是單元m4或m28失效引起的（圖21（c）～（d））。通過計算每個單元的損傷需求，得到單元m4、m13、m14、m17、m28的損傷需求最小，因此最易發生的破壞模式是 m4、m13、m14、m17、m28 中任意一個單元失效引起的（圖21（c）～（g））。

圖20 C42結構布置圖Fig.20 Structural arrangement of C42

表1 平面桁架結構的破壞模式及評價指標Tab.1 Failure scenarios and indexes of planar truss

圖21 平面桁架的易損性破壞模式Fig.21 Vulnerable failure scenarios of planar truss

3 平面剛架結構易損性分析

圖22所示為平面剛架結構布置圖。設單元彈性模量為2.06×105N/mm2，截面積A為0.021 6 m2，慣性矩I為0.001 7 m4。根據凝聚過程和拆解過程，編制C++程序對該結構進行易損性分析。

圖22 平面剛架結構布置圖Fig.22 Structural arrangement of planar frame

3.1 凝聚過程

將結構中的15個單元（m1～m15）分別視為初始結構簇（C1～C15），基礎視為參考簇C16。選取結構環形式如圖6（b）所示。根據凝聚準則，選擇{C5，C13}作為種子簇，其編號為C17。然后依次將周邊單元并入，直至ΔQmax小于零停止，得到自由簇C19。然后從結構剩余單元中重新尋找種子簇，按照上述自由簇形成過程形成新的自由簇C23、C27。初始凝聚階段結束之后，根據二次凝聚階段的凝聚準則，首先將C23和C19合并得到C28，然后將C28和C27合并得到C29，最后將C29和C1合并得到C30。整個上部結構合并成一個結構簇C30，二次凝聚階段結束。最后將參考簇C16并入結構簇C30中形成完整簇C31，凝聚過程結束。基于凝聚過程，建立結構拓撲關系層級模型如圖23所示。

圖23 平面剛架結構層級模型及枝簇C31拆解過程Fig.23 Hierarchical modal of planar frame and unzipping process of C31

3.2 拆解過程

假定拆解過程中單元損傷方式為單元中部發生斷裂（圖11（d））。首先從位于層級模型頂端的枝簇C31開始拆解，具體過程如下：

（1）由于C31是由參考簇C16和C30形成，其中C16為參考簇，根據拆解準則NR，選擇 C30進行下一步的拆解；

（2）C30 由 C29，C1組成，C29，C1均不是參考簇，且均與參考簇相連，而C1是初始結構簇，因此根據拆解準則L，選擇C1引入損傷。C1失效之后結構單元及節點編號如圖24所示。

圖24 C1失效之后結構布置圖Fig.24 Structural arrangement after C1 failure

C1失效沒有引起結構整體或局部發生倒塌，因此通過凝聚過程重新建立結構拓撲關系層級模型（圖25）。根據拆解準則，從位于頂端的枝簇C29開始拆解，得到第二個發生損傷的單元為C1（圖24）。C1對應的原結構編號為C2（圖22）。C1、C2失效之后的結構單元及節點編號如圖26所示。

圖25 C1失效之后結構層級模型層級及拆解過程Fig.25 Hierarchical modal after C1 failure and unzipping process

C1、C2 失效并沒有引起結構發生倒塌，因此通過凝聚過程重新建立結構拓撲關系層級模型（圖27）。從位于層級模型頂端的枝簇C27開始拆解，得到第三個發生損傷的單元為 C1（圖26）。C1對應的原結構編號為C3（圖22）。C1、C2、C3失效后結構發生倒塌，程序終止。

對圖23中的所有枝簇（即C17～C30）按照上述拆解-凝聚-拆解-…的過程進行搜尋，得到破壞模式如表2所示。

根據表2可以得出最大破壞模式是拆解枝簇C31/C30得到的，拆解結果為單元m1、m2、m3失效（圖28（a）），其分離系數為1.0，因此也為完全破壞模式。根據圖23結構拓撲關系層級模型，并利用對稱性，得出最小破壞模式為單元m1或m3失效所引起的破壞模式（圖28（b）～（c））。由于每個單元的損傷需求相等，因此最易發生的破壞模式為結構中任意一個單元失效所引起的破壞模式。

圖26 C1、C2失效之后結構布置圖Fig.26 Structural arrangement after C1，C2 failure

表2 平面剛架結構破壞模式及評價指標Tab.2 Failure scenarios and indexes of planar frame

4 網殼結構易損性分析

4.1 結構布置

圖29所示為網殼結構布置圖，周邊為固定鉸支座。跨度L為16 m，矢跨比f/L為0.2，彈性模量E為2.06 × 105N/mm2，泊松比為 0.3。根據自行編制的C++程序進行凝聚過程和拆解過程分析。

4.2 結構層級模型

選取結構環的形式如圖6（b）所示，根據凝聚準則建立結構拓撲關系層級模型如圖30所示。

圖29 網殼結構網格布置圖Fig.29 Structural arrangement of reticulated shell

4.3 拆解過程

假設拆解過程中構件損傷方式為中部發生斷裂（圖11（d））。對圖30中的所有枝簇（C44～C85）分別按照拆解-凝聚-拆解-…的過程進行破壞模式的識別，并計算評價指標，其結果如表3所示。

通過對比表3中的易損性指數可以得到：最大破壞模式是枝簇C44拆解得到的，其結果為單元m5、m1失效（圖31（a）），因此該破壞模式的結構損傷與破壞后果的不成比例性最大。通過對比表3中的分離系數可以得出：整體倒塌破壞模式共存在七種，分別為拆解枝簇 C84/C85、枝簇 C83、枝簇 C82、枝簇 C81、枝簇C80、枝簇C79、枝簇C54得到的破壞模式，其中拆解枝簇C54得到的破壞模式的易損性指數最大，因此該模式為完全破壞模式（圖31（b））。根據網殼結構拓撲關系層級模型（圖30），可以得出最小破壞模式為網殼周邊環向任一構件發生破壞，同時由于周邊環向構件的損傷需求最小，因此最易發生的破壞模式亦為網殼周邊環向任一構件發生破壞（圖31（c））。

表3 網殼結構破壞模式及各項指標Tab.3 Failure scenarios and indexes of reticulated shell

表3中去除整體倒塌破壞模式（分離系數為1.0）可以得出：拆解枝簇C75～C78得到的破壞模式的失效構件均位于網殼支座附近，其易損性指數范圍為1.13～2.61；拆解枝簇C44～C53得到的破壞模式的失效構件均位于網殼中央部位，其易損性指數范圍為3.73～7.99，即拆解枝簇C75～C78得到的易損性指數均小于拆解枝簇C44～C53得到的易損性指數，說明本網殼中央部位破壞對整體結構構形度的喪失比例大于周邊構件破壞對結構構形度的喪失比例，即該網殼中央部位破壞引起后果的不成比例性更大。

圖30 網殼結構拓撲關系層級模型Fig.30 Hierarchical modal of reticulated shell

圖31 網殼破壞模式Fig.31 Vulnerable failure scenarios of reticulated shell

5 結論

（1）以雙桿體系為例，對節點構形度和荷載作用下的節點位移隨雙桿夾角的變化規律進行分析對比，結果表明節點構形度能夠反應結構在此節點處抵抗任意方向荷載的能力，從剛度角度驗證了結構簇構形度Q為結構簇構形好壞的定量評價指標，因此根據構形度等凝聚準則建立的拓撲關系層級模型中，每一層級結構簇內部單元之間的連接程度大于內部單元與外部單元之間的連接程度，為結構薄弱部位的識別及層級模型的拆解墊定了理論基礎。

（2）針對結構構形易損性理論，本文編制程序予以實現，并將其應用到平面桁架、平面剛架及單層網殼結構中。算例分析表明：構形易損性分析能夠從結構內因方面有效的揭示結構拓撲關系存在的薄弱環節；通過層級模型的拆解分析，識別出結構損傷與破壞后果不成比例的破壞模式，包括最小破壞模式、最易發生破壞模式、完全破壞模式及最大破壞模式共四種破壞模式。由于分析過程中僅涉及到作用對結構所造成的損傷以及損傷引起的后果，而與作用或荷載的具體形式無關，因此其分析結果具有普適性，為已建結構的監測、加固和待建結構的設計提供理論依據。

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