高速機車牽引齒輪傳動系統動態特性及非線性因素影響研究

魏 靜，孫清朝，孫 偉，秦大同，朱才朝，朱萬剛，郭愛貴

（1.大連理工大學機械工程學院，大連 116024；2.重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044；3.太原重工股份有限公司，太原 030024）

隨著我國高速鐵路交通快速發展，機車牽引技術也應運而生。我國鐵路牽引齒輪技術研究從上世紀50年代末開始，經過近50年發展，已經達到一定水平。由于機車重載和高速技術的發展，要求牽引齒輪有很高的可靠性和較長的使用壽命。高速鐵路機車牽引齒輪箱除要求較輕的重量和較小的結構體積外，還要符合牽引齒輪箱嚴格的噪聲極限值，以使旅客舒適性得以改善。經過一些列技術攻關，我國鐵路機車牽引齒輪技術有了很大提高。但是我國機車牽引齒輪箱壽命仍然較低，在壽命和可靠性方面與國外發達國家還有較大差距［1］。

本文以某高速機車牽引齒輪箱齒輪傳動系統為研究對象，考慮牽引齒輪箱斜齒輪三維空間全方向自由度的振動響應，綜合考慮時變嚙合剛度、動態傳遞誤差、齒面間隙、軸承游隙等多種非線性因素影響，建立高速機車齒輪傳動系統彎-扭-軸-擺耦合分析模型，探討齒輪內部激勵、齒面間隙、軸承游隙等非線性因素對齒輪系統的影響，為高速機車牽引齒輪傳動系統動態設計和齒面側隙、軸承游隙等參數合理選擇提供理論依據。

1 動力學分析數學模型

在齒輪傳動系統中，時變剛度和輪齒間隙是齒輪系統中最重要的影響因素。在高速運行情況下，齒輪系統齒側間隙會導致輪齒間出現重復沖擊的現象，此時用傳統線性模型和線性理論己經不能真實可靠地反映系統的動力學行為［2-5］。隨著振動理論不斷完善，綜合考慮多種非線性因素耦合，更能反映真實情況下系統振動特性，近幾年國內外學者更加關注非線性動力學研究。如：Iwatsubo［6］利用傳遞矩陣法建立彎-扭轉耦合分析模型，求解了在常嚙合剛度下由于質量不平衡引起的振動響應；楊振等［7］建立了正交面齒輪傳動系統非線性模型并進行動態特性分析；陳小安等［8］建立基于有限單元法的多間隙耦合齒輪傳動系統并進行非線性動態特性分析。李潤方等［9］建立斜齒輪副彎-扭-軸耦合及彎-扭-軸-擺耦合分析模型。

高速機車牽引齒輪傳動系統在本質上是時變參數與間隙共存的多自由度非線性系統。本文建立具有多間隙、多時變參數動力學耦合模型，探討多間隙參數對牽引齒輪傳動系統非線性振動影響。

圖1 機車牽引齒輪傳動系統動力學模型Fig.1 Dynamic model of high speed locomotive gear transmission system

如圖1所示，考慮齒輪徑向振動響應及包含軸承游隙等在內的斜齒輪系統運動規律如下：

徑向振動：由x方向自由度描述；

切向振動：由y方向自由度描述；

軸向振動：由z方向自由度描述；

扭擺振動：由θy方向自由度描述；

扭轉振動：由θz方向自由度描述。

其中：cm和kh為齒輪副嚙合阻尼和時變嚙合剛度，kij（i=1，2；j=x，y，z）和cij（i=1，2；j=x，y，z）分別表示軸承支承剛度和阻尼，e（t）為齒輪副嚙合誤差。

xi，yi，zi（i=1，2）為主、被動齒輪中心點O1和O2在x，y，z三個方向平移振動位移；θiy（i=1，2）為主、被動齒輪中心點通過該中心并平行于y軸軸線的扭擺振動位移；θiz（i=1，2）為主、被動齒輪繞傳動軸軸線扭轉振動位移。不考慮摩擦力作用，系統廣義位移列陣{δ}可表示為：

設主動輪螺旋角為β，法向壓力角為αn，端面壓力角為αi，Ri（i=1，2）分別為主、從動齒輪基圓半徑，則主動輪1及被動輪2在嚙合點上的振動位移與主動輪廣義位移間關系為：

斜齒輪嚙合剛度kh，嚙合阻尼cm，嚙合誤差e在x，y，z三個方向的分量為：

這里引入動態相對傳動誤差，用各個方向的振動位移代替靜態傳遞誤差中的彈性變形：

相應地，動態嚙合力可表示為：

根據拉格朗日普遍方程，考慮齒輪徑向振動及軸承游隙影響的斜齒輪彎–扭–軸–擺耦合的10自由度振動系統動力學微分方程為：

式中：mi（i=1，2）為主、從動齒輪質量；Jij（i=1，2；j=y，z）為主、從動齒輪轉動慣量；cij（i=1，2；j=x，y，z）和kij（i=1，2；j=x，y，z）分別為主、從動齒輪兩端軸承支承阻尼和支承剛度；ciθy（i=1，2）和kiθy（i=1，2）為齒輪扭擺阻尼和扭擺剛度；T1和T2分別為齒輪副驅動轉矩和負載轉矩；Fx，Fy，Fz分別為齒輪副徑向、切向及軸向動態嚙合力。

f（ij）（i=x，y，z；j=1，2，3）表示與間隙有關的非線性描述函數，統一表示如下：

式中：齒輪副齒側間隙為2b5；主動輪兩端支撐軸承徑向游隙為2b1，軸向游隙為2b3；被動輪兩端支撐軸承徑向游隙為2b2，軸向游隙為2b4，x（t）表示各方向振動位移。

利用Fourier級數將齒輪嚙合剛度表示成Fourier級數形式，齒輪時變嚙合剛度計算公式為［8］：

式中：ω0=2π/T，為齒輪嚙合基頻；km為齒輪副平均嚙合剛度；an，bn（n=1，2，…，N）為 Fourier級數展開系數。

輪齒嚙合阻尼由下式計算：

式中：ξg為輪齒嚙合阻尼比，一般取 0.03 ～0.17。

齒輪誤差用正弦函數表示為：

式中：e0為輪齒傳動誤差均值；ea為輪齒傳動誤差幅值；ωh為齒輪副嚙合頻率，ωh=z1ω1，z1為主動輪齒數，ω1為主動輪轉頻 ω1=n1/30，n1為主動輪轉速（r/min）；φ為相位角。

斜齒輪副在嚙合過程中，其扭擺振動只在一個方向上，即繞y軸扭擺振動，如圖2所示。

齒輪兩端支承距齒輪質心的距離分別為l1、l2，其扭擺阻尼和扭擺剛度可按下式計算：

圖2 齒輪軸扭擺振動等效參數模型Fig.2 Equivalent parameters model of gear shaft torsion vibration

2 動力學方程求解

2.1 動力學方程無量綱化

分別表示pi對無量綱時間τ的一階導數和二階導數，無量綱化后的動力學方程如下：

式中：ξij和ηij（i=1，2；j=x，y，z）分別為主、從動齒輪兩端軸承支承無量綱阻尼和無量綱剛度；ξiθj和ηiθj（i=1，2）分別為為主、從動齒輪在扭擺方向上的無量綱阻尼和無量綱剛度；ξimj和ηimj（i=1，2）分別為為主、從動齒輪在輪齒徑向、切向、軸向方向上的無量綱阻尼。限于篇幅，無量綱處理后的上述參數計算不再給出。

方程（13）為一強非線性非自治系統，采用4階變步長Runge-Kutta法對方程進行求解。

2.2 系統仿真結果

圖1所示高速機車牽引齒輪傳動系統中，相關計算參數為：齒輪模數mn=6 mm，齒數z1=34，z2=84，齒寬b=70 mm；主動輪螺旋角β=-17°，壓力角 25°，軸承支撐剛度5.968×106N/mm。齒面側隙2b5=0.025 mm，主動輪兩端軸承徑向、軸向游隙分別為2b1=0.107 mm，2b3=0.148 mm；被動輪兩端軸承徑向、軸向分別游隙為2b2=0.075 mm、2b4=0 mm；齒輪平均嚙合剛度km根據標準計算；輪齒嚙合阻尼比ξg，軸承支撐阻尼比取為0；輪齒傳動誤差均值e0=0，誤差幅值ea=108 μm。

取主動輪轉速n1=2 000 r/min，求解動力學方程并得到系統穩態響應。主、被動齒輪在x、y、z及扭擺、扭轉方向的位移相圖、Poincare截面和FFT圖如圖3～圖7所示。

從圖3中可以看出，在徑向x自由度方向上，主動輪振動幅值較大，振動更加劇烈。在相同徑向嚙合力作用下，主動輪振幅也較大；主動輪的振動速度不如被動輪平穩，且都成單周期簡諧振動規律，在振動信號中，低頻信號占主要成分。

從圖4中可以看出，在切向y自由度方向上，被動輪振動幅值較大。在相同切向力作用下，一部分產生切向平動位移，另一部分產生扭轉位移。由于主動輪直徑小，扭轉剛度小，大部分切向力都用來產生扭轉位移，所以在切向方向上的平動位移較小；主動輪為2倍周期的次諧振動響應，而被動輪成單周期簡諧振動響應。

從圖5中可以看出，在軸向z自由度方向上，被動輪的振動幅值較大；對于主動輪來說，軸向平動位移較小；主動輪振幅波動情況比被動輪復雜，主動輪為3倍周期次諧振動響應，被動輪成單周期簡諧振動響應。

從圖6中可以看出，在扭擺自由度方向上，雖然被動輪無量綱弧度振幅較大，但換算為有量綱幅值后被動輪振幅較小，且主動輪振幅波動對時間變化更快，振動更劇烈；從弧度-角速度相圖和Poincare截面可知，二者成準周期振動；從FFT圖可以看出，在這個方向上的振動信號頻率成分較多。

從圖7中可以看出，在扭轉自由度方向上，主動輪的無量綱弧度振幅較大，而換算后的振動位移也較大。而主、被動輪的弧度幅值相差也很大，這主要是因為主、被動齒輪在嚙合時不同轉速導致的。

3 非線性因素對系統動態特性影響

3.1 齒面側隙對系統動態特性影響

齒輪系統齒側間隙的存在會導致在嚙合時輪齒間接觸、脫齒、再接觸的重復沖擊，表現出很強的非線性，對齒輪系統振動特性產生重要影響。以振動較為劇烈的x方向為研究對象，從相圖和振動幅值來分析齒面側隙對系統影響。取無量綱激勵頻率ω=0.545 67，不同齒面間隙對主、被動輪振動位移響應曲線如圖8所示。

圖8 不同側隙對齒輪x方向振幅影響曲線Fig.8 Vibration amplitude under different gear backlash in in x direction

根據圖8可知，隨著齒面側隙變化，系統振動響應呈現出不同狀態，但被動輪變化過程比主動輪平穩，主動輪周期性變化比較明顯。隨著側隙增大，主、被動輪振動幅值都逐漸減小。根據弧度-角速度相圖和Poin-care相圖可以知道，隨著齒面側隙不斷增大，主、被動輪都由周期響應走向混沌，加劇了嚙合沖擊性。對于不同齒輪側隙值，主、被動齒輪最大徑向位移和振動周期性如表1所示。

表1 不同齒面側隙的響應結果Tab.1 Dynamic response under different gear backlash

根據表1中數據可知：隨著齒面側隙不斷增大，系統徑向振動位移不斷減小，但在側隙為0.045 mm時出現一個微小增加，隨后繼續減小，但系統振動周期性越來越差，逐漸變為混沌響應，因此，選擇齒面側隙時，既要保證振動位移要小，又要保證振動周期性良好，該齒輪參數下齒面側隙應選擇0.033～0.040 mm之間較為合理。

3.2 內部激勵對系統動態特性影響

牽引齒輪傳動系統激勵頻率會影響動態激勵力的大小，進而造成系統呈現出不同激勵響應。以振動較為劇烈的主動輪x方向為研究對象，保持其它參數不變，改變激勵頻率ω大小，令其在0.2～1.4之間變化。不同內部激勵頻率對主動輪x方向徑向彎曲振動最大響應變化曲線如圖9所示。

圖9 不同頻率時主動輪振幅最大響應Fig.9 Vibration amplitude of pinion under different excitation frequency

從圖9中可以看出在激勵頻率遞增至1之前，振動不穩定，波動很大，在頻率大于1之后，振動相對較穩定。該齒輪系統在額定轉速下無量綱激勵頻率為ω=1.118 6，處于比較理想振動頻率范圍，因此齒輪設計參數以及設計的額定轉速基本合理。

3.3 軸承游隙對系統動態特性影響

在主、被動齒輪支撐軸承徑向游隙值b1、b2單獨作用及b1、b2共同作用下對主動輪x方向振動位移的影響曲線如圖10所示。從圖10可知，每個軸承游隙對振動位移的影響不是簡單線性疊加，而是呈強非線性耦合關系。

取主動輪徑向游隙b1為變量，得到系統在不同激勵下軸承游隙b1對主動輪x方向最大振動位移響應影響曲線。同時，為保證軸承游隙在整個轉速范圍內對振動位移影響最小，需要綜合分析其影響規律。為此，將不同轉速激勵下、不同游隙下產生不同位移響應曲線進行絕對值疊加，不同軸承游隙對主動輪徑向最大位移響應如圖11所示。

在該齒輪系統中，轉速從啟動到額定轉速的變化過程中，可大致分為低速、中速、高速三個階段。從圖11知，除b1=0.07 mm之前變化對主動輪x方向振動最大位移影響波動較大，在b1=0.07 mm之后在不同轉速激勵下呈現不同規律：在低速階段，游隙大小變化對最大位移響應影響沒有規律性，隨游隙增大，最大位移響應會產生階躍型變化；在中速階段，隨游隙增大，最大位移響應也相應增大，只是最大響應出現方向因轉速不同而不同；在高速階段，游隙變化對齒輪副最大位移響應影響較小。

從合成曲線知，從0.07 mm之后，振動位移隨游隙b1增大而增大，因此，要減小振動，需選取合理的軸承游隙。根據上述分析，在該斜齒輪系統參數下主動輪軸承徑向游隙值b1合理取值范圍0.07～0.08 mm，即主動輪軸承徑向游隙2b1取值范圍是0.14～0.16 mm。

4 結論

對高速機車牽引齒輪傳動系統多自由度動力學數學模型進行無量綱化處理，根據求解得到時間歷程和幅頻響應仿真結果，對齒面側隙、內部激勵和軸承游隙等非線性因素對系統動態特性分析可知：

（1）牽引齒輪傳動系統在空間各個自由度方向上呈現出不同的振動狀態。牽引齒輪傳動系統在徑向方向上振動響應和切向、軸向方向上振動響應幅值在數量級上相同，對機車牽引齒輪副進行動力學分析時徑向方向自由度振動響應不可忽略。

（2）選擇合理齒面側隙在一定程度上可減小牽引齒輪傳動系統振動位移響應：較小齒面側隙會導致牽引齒輪系統出現較大振動響應，隨著齒面側隙不斷增大，系統振動位移會不斷減小，但會導致系統響應從周期走向混沌。

（3）隨著系統激勵頻率不斷增加，系統振動周期性發生不同的變化，在系統固有頻率附近，系統會出現一個較大振動響應。

（4）多個軸承游隙是以強非線性耦合的形式綜合對系統起作用，不同的軸承游隙在不同轉速下對系統振動位移響應影響不同：在低速階段對系統的影響較大，而在高速階段影響較小。選擇合理軸承游隙對減小機車齒輪傳動系統振動有重要作用。

［1］賈曉紅，季林紅，金德聞，等.高速機車轉向架萬向軸傳動系統動力學研究［J］.清華大學學報（自然科學版），1999，39（8）：49-52.

［2］ He S，Gunda R，Singh R.Effect of sliding friction on the dynamics of spur gear pair with realistic time-varying stiffness［J］.Journal of Sound and Vibration，2004，278（3）：927-949.

［3］王立華，李潤方，林騰蛟，等.齒輪系統時變剛度和間隙非線性振動特性研究［J］.中國機械工程，2003，14（13）：1143-1146.

［4］ Theodossiades S，Natsiavas S.Non-linear dynamics of gearpair systems with periodic stiffness and backlash［J］.Journal of Sound and vibration，2000，229（2）：287-310.

［5］AL-Shyyab A，Kahraman A.Non-linear dynamic analysis of a multi-mesh gear train using multi-term harmonic balance method：Sub-harmonic motions［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，279：417-451.

［6］ Iwatsubo T.Coupled lateral torsional vibration of rotor system trained by gears［J］.Bulletin of JSME，1994，27：271-277.

［7］楊 振，王三民，范葉森，等.正交面齒輪傳動系統非線性振動特性研究［J］.振動與沖擊，2010，29（9）：218-221.

［8］陳小安，繆瑩贊，楊 為，等.基于有限單元法的多間隙耦合齒輪傳動系統非線性動態特性分析［J］.振動與沖擊，2010，29（2）：46-49.

［9］李潤方，王建軍.齒輪系統動力學-振動、沖擊、噪聲［M］.北京：科學出版社，1996.