非飽和地基中Love波的傳播特性

陳煒昀， 夏唐代， 王志凱， 孫苗苗

（1.浙江大學 軟弱土與環境土工教育部重點實驗室，杭州 310058；2.浙江大學 巖土工程研究所，杭州 310058；3.浙江萬科南都房地產有限公司，杭州 310058；4.浙江省水利河口研究院，杭州 310027）

表面波的傳播在土木工程、地震工程和地球物理學等許多領域都有著重要的實際意義，并受到廣泛地關注。目前，應用較廣泛的表面波無損檢測方法（SASW法）就是利用面波（如Rayleigh波和Love波）的彌散特性通過分析現場測試結果來反演土層參數（如土層剪切波速度等）的一種方法。此外，在地震工程中，Love波動理論成功地揭示了地震記錄中出現的頻散波現象［1］。理想彈性介質中Love波的傳播機理已得到完善的研究［2，3］，但是這些研究將各類地基彈性化處理，實際應用的合理性還有待證實。隨后，越來越多的學者［4-7］將土體視為由一種飽和流體多孔彈性固體所組成的多孔介質。Deresiewicz［4］首先應用 Biot［5］的經典模型研究了這種多孔介質層中的Love波，建立了關于頻率和相速度的多孔介質中的Love波的彌散方程。夏唐代［6］運用有限元法推導出飽和土中Love面波的彌散特性方程，并且討論了飽和土中Love面波波速度的彌散特性及位移分布規律。夏唐代［6］根據Love波的傳播特性提出了一種有效地基動力響應計算方法。Wang等［7］利用迭代法求解了橫觀各向同性的飽和多孔介質中Love波的頻散方程，并給出了Love波的彌散曲線和衰減曲線。文獻［8］運用解析法建立了交通荷載作用下雙層地基中Love波的特征方程，并分析了不同情況下Love波的彌散性和位移分布特征。

上述研究主要是針對地基土或巖石孔隙中只包含一種成分（水、氣或油）的情形。然而實際上，地球表面絕大部分覆蓋的巖石或土的孔隙中同時包含有兩種或兩種以上不同的流體，如水，氣體和油，使得其土體動力特性也會有明顯的變化，因此，對非飽和土中Love波彌散特性研究更有實際意義。但是至今很少有涉及到針對飽和度對多孔介質中Love波的影響的研究，這使得本文的研究具有更大的現實意義。

本文研究了非飽和土中Love波的傳播特性，得到了相應的彌散方程，首先分析了飽和度對非飽和地基土層中剪切波傳播的影響，然后利用文獻［7］中的迭代法求解了該方程并得到了不同模態Love波的頻散和衰減曲線，分析了地基土體飽和度、頻率與Love波傳播波速、衰減系數的關系，最后討論了飽和度變化對Love波的水平位移分布特征的影響。

1 問題描述

現考慮一個厚度為H，覆蓋在一個各向同性、均勻的半無限彈性體上的非飽和土層中Love波的傳播。建立的笛卡爾坐標系如圖1所示，其中x-y平面在非飽和多孔介質層與彈性體之間的水平分界面上，z軸垂直向下指向半空間。

圖1 Love波傳播示意圖Fig.1 Geometry of the Love wave problem

Wei等［9-10］建立了非飽和多孔介質的本構關系和基本波動方程：

式中：Nss，Nsl，Nsg，Nll，Nlg，Ngg為獨立參量［9］；μs為土骨架的宏觀拉梅常數；ns，nl，ng分別為固體骨架、水、空氣的體積分數；ρs，ρl，ρg分別為三相的密度；ξl和ξg分別為流體和氣體的耦合作用參數，Garg［11-12］等提出以下關系式：

式中：ηl和ηg為流體粘度；k為該多孔介質的絕對滲透率；和分別為液體和氣體的相對滲透率；Van［13］給出了目前應用較廣的VG模型，描述了相對滲透率與飽和度Sr關系式：

式中：m稱為VG模型參數。

2 非飽和土層中的場方程

對于本文考慮的反平面剪切運動，只y方向有非零位移分量uy和，以下推導中用上標*表示對應上覆土層的物理量。令固相、氣相、液相的位移為簡諧時間變化，則：

將式 （8）代入式（1）～式（3），得：

其中，γ2=κ2-，且：

從式 （10）～式 （13）可以看出，一方面，復數κ表明非飽和多孔介質層中的Love波是耗散的；另一方面，液相和氣相的位移和土骨架的位移是相互耦合的。解二階偏導方程 （10）可得到非飽和土層中的波場如下：

其中，A1和A2為常數，γ*2=κ*2-。

當z＞0，下覆彈性半空間的位移沿y方向分量可表示為：

3 邊界條件和彌散方程

對于本文所討論的問題，假設上覆非飽和多孔介質層與下部彈性體之間的接觸良好。當z=0時，接觸平面上應力和位移連續，假設孔隙中的水和氣體不能透過接觸面。可以得到以下的邊界條件：

由邊界條件得：

要使上式中A1，A2，A3有非零解，則其系數行列式必須為零，因此可以得到Love波的彌散方程：

彌散方程（23）是一個復數形式的超越方程，無法獲得解析解，通常只有數值解或近似解。現通過分離其實部和虛部可由如下2個實方程代替：

因為已知波的衰減系數很小 （δ?1），利用文獻［7］中的迭代方法求解。

另外，根據式 （20）～式（22），再結合式 （14）、式（15），可以得到上下兩種介質的水平位移分別為：

波在傳播過程必須要耗散，因此Love波的波場公式（15）中γ的虛部必須大于零，另外，這里假設Re（γ*）＞0，可得Love波的波速范圍如下：

其中，非飽和土層和下部彈性半空間中的剪切波速和cs可分別表示為：

表1 非飽和土的基本參數［14］Tab.1 Basic parameters of unsaturated soil

4 數值分析

本文首先考慮無限空間內非飽和孔隙介質中剪切波的傳播并談論飽和度及頻率對剪切波速的影響。算例中孔隙介質物理常數取自Columbia非飽和砂土［14］，如表1。考慮的頻率范圍從1～107Hz，涵蓋了土木工程，地球物理學，及地震工程中可能遇到的頻率范圍［15］。然后分析在低頻率條件下，非飽和土中Love波的傳播特性。考慮一個厚度為10 m的非飽和土層覆蓋在一個彈性半空間上。非飽和土層物理常數同樣取自Columbia非飽和砂土［14］，如表1。假設下部彈性半空間的密度與上部土層中固相介質的密度相同，拉梅常數μs=9 MPa。故下部半空間中剪切波速cs=58.28 m/s。通過數值計算得到了Love波的彌散曲線及其他相關曲線。

4.1 飽和度對剪切波速的影響

圖2表示在不同的頻率下剪切波速隨著飽和度的變化趨勢。所考慮的飽和度變化范圍為0.01～0.99。可以看出在頻率較低時（ω＜106Hz），剪切波速隨著飽和度的增加而減小。另外，結果顯示，當頻率較低時，頻率變化對剪切波波速影響很小。圖3表示在不同的飽和度條件下剪切波速隨著頻率的變化趨勢。所考慮的頻率變化范圍為1～107Hz。可以看出，當頻率較低時，頻率對剪切波速的影響很小，當頻率較高時，不同飽和度下的剪切波速將隨著頻率增加而增加。飽和度越高，土層中Love波波速開始增加所需要的頻率越低。

圖2 不同飽和度時的剪切波速Fig.2 Velocity of shear waves with different saturation

圖3 不同飽和度時的剪切波速Fig.3 Velocity of shear waves with different frequency

4.2 飽和度對LOVE波相速度和衰減的影響

圖4給出了第n階模態波（n=1，2，3）對應不同飽和度時的相速度曲線。在頻率較低時，地基中的Love波的波速與下部介質中的剪切波速接近；當頻率較高時，則趨近于上層地基中的剪切波速。從圖4可以看出，各種模態的Love波在不同飽和度條件下的波速都是隨著頻率增加而減小的。飽和度越高，Love波波速越低。這是由于Love波是由上下不同介質中的剪切波SH波干涉產生的。當飽和度升高時，上部土層中剪切波速減小，所干涉產生的Love波波速也隨之降低。從圖4看出，在頻率較低時，波速減小較快，當頻率較高時，波速趨于緩慢。當飽和度不同時，第1模態的Love波的截止頻率都等于0 Hz。但是從圖4看出，當飽和度分別為：0.2，0.4，0.6，0.8 和 0.99 時，第 2 模態波的截止頻率值分別為：31 Hz，28 Hz，26 Hz，24 Hz 和23 Hz；第2模態波的截止頻率值分別為：61 Hz，58 Hz，51 Hz，48 Hz和45 Hz。因此，高模態 （n≥2）的 Love波的截止頻率值和飽和度有關，飽和度越高，截止頻率越低。

圖5出了對應不同飽和度時Love波的衰減曲線。從圖中可以看出，三種模態的Love波的衰減在不同飽和度條件下，都是隨著頻率的增加先迅速增加而后趨于緩慢。而且飽和度越高，波衰減越快。

圖4 不同飽和度時的Love波的頻散曲線Fig.4 Dispersion curve of Love waves with different saturation

圖5 不同飽和度時的Love波的衰減曲線Fig.5 Attenuation curve of Love waves with different saturation

4.3 飽和度對LOVE波水平位移分布的影響

圖6和圖7分別給出了頻率分別為10 Hz和40 Hz時不同飽和度時的第1階和第2階模態波水平位移分布曲線。圖中位移幅值均采用了無量綱化。可以看出Love波的最大位移總是出現在自由表面上。對于下部彈性半空間（z≤0）而言，飽和度的變化對其水平位移分布影響較為顯著。飽和度越高，水平位移幅值減小越快，相應的位移影響深度越小。另外，從圖中可以看出，高階模態波的水平位移較低階模態波衰減更快，其位移影響深度也越小。

5 結論

本文運用解析法建立了非飽和土層中Love波的彌散特征方程和位移方程，并利用迭代法對彌散方程和位移方程進行了數值計算分析。數值計算結果表明，在實際工程中關注的頻域范圍內（ω≤106Hz），地基中的剪切波速不受頻率變化影響，且隨飽和度增加而逐漸減少。

此外，算例結果表明飽和度對土層中Love波的波速、衰減和水平位移分布影響較為顯著。高階模態（n≥2）Love波的截止頻率和飽和度有關，飽和度越高，截止頻率越低。實際地震波的頻率較小，主要為第1階模態的Love波。本文理論為分析實際工程提供了理論依據，有一定的實際應用價值。

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