基于Teager能量算子的滾動軸承故障診斷研究

王天金，馮志鵬，郝如江，褚福磊

（1.北京科技大學 機械工程學院，北京 100083；2.石家莊鐵道大學 機械工程學院，石家莊 050043；3.清華大學 精密儀器與機械學系，北京 100084）

滾動軸承失效常由軸承元件表面的局部損傷造成，如內圈、外圈、滾動體表面的點蝕、裂紋和剝落等。在軸承運動元件旋轉效應的作用下，局部損傷點與其它元件反復接觸，從而產生周期性沖擊信號。理論上，周期性沖擊以及相鄰沖擊之間的時間間隔是判斷局部損傷故障的關鍵特征。如何從振動信號中有效提取沖擊特征并識別沖擊的重復頻率，是滾動軸承故障診斷中的關鍵問題［1－3］。

近年來非線性信號處理領域中的Teager能量算子為提取滾動軸承故障信號中的瞬態沖擊特征提供了一種有效途徑。Teager能量算子是一種非線性差分算子，通過信號的瞬時值及其微分的非線性組合估計信號源產生動態信號所需的總能量（機械能，既包含動能又包含勢能），能夠增強信號的瞬態特征，適合檢測信號中的沖擊成分。該方法的時間分辨率高，對信號的瞬時變化具有良好自適應能力，而且計算復雜性低，算法效率高。

近年來，人們對Teager能量算子及其應用進行了探索性研究。Kaiser和 Maragos等［4－5］提出并完善了Teager能量算子，應用該方法對語音信號處理進行了深入研究。劉紅星等［6］應用仿真信號和壓縮機振動信號對比分析了Teager能量算子解調和Hilbert變換包絡解調的性能，驗證了該方法的有效性。Cheng等［7］將Teager能量算子解調方法與經驗模式分解方法結合，分離本質模式函數中的瞬時幅值和瞬時頻率，根據瞬時幅值變化的包絡譜識別滾動軸承故障。Bassiuny和Li［8］應用經驗模式分解分離機床進給電機電流信號中的調幅調頻過程，然后應用Teager能量算子解調方法計算本質模式函數的瞬時幅值和瞬時頻率，構造時頻分布監測機床刀具狀況。

本文針對滾動軸承故障診斷中的周期性沖擊特征提取問題，利用Teager能量算子在檢測信號瞬態成分方面的優勢，增強突出滾動軸承故障振動信號中的沖擊特征，由信號的瞬時Teager能量的Fourier頻譜識別特征頻率，從而判斷故障原因。

1 Teager能量算子

對于任意信號x（t），Teager能量算子 Ψ定義為［4－5］：

其中（t）和（t）分別為信號x（t）相對于時間t的一階和二階微分。實際上，Teager能量算子的輸出追蹤產生信號所需的總能量。

對于一個由質量為m的質量塊和剛度為k的彈簧組成的線性無阻尼振動系統，根據Newton運動定律得二階運動微分方程：

其中x（t）為質量塊m相對于平衡位置的位移，（t）為x（t）相對于時間t的二階微分，即加速度。該方程描述質量塊的運動，它的解為簡諧振動：

相應地，其一階和二階微分，即速度和加速度分別為：

其中：A為振動幅值，（k/m）1/2為固有（圓）頻率，φ為初始相位。

在任意時刻，該振動系統的機械能為彈簧中的勢能和質量塊的動能之和，即：

將式（3）和式（4）代入式（6），得：

式（7）表明簡諧振動的瞬時總能量與振動的幅值和頻率的平方成正比。

將式（1）定義的Teager能量算子Ψ作用于式（3）描述的簡諧振動x（t），并分別應用式（4）和式（5）代替其一階和二階微分（t）和（t），得：

對比式（7）和式（8），可見Teager能量算子的輸出和簡諧振動的瞬時總能量之間只相差一個常數m/2，因此它跟蹤產生簡諧振動所需的總能量（在1/2倍的單位質量的意義上）。

式（1）中的Teager能量算子針對連續時間信號定義，對于離散時間信號x（n），應用差分代替微分，則Teager能量算子變為：

對于離散時間信號，Teager能量算子只需要三個樣本數據計算任意時刻n處的信號源能量，因此，它對于信號的瞬時變化具有良好的時間分辨率，能夠檢測信號中的瞬態成分。

2 方法原理

若滾動軸承的內外圈或滾動體存在擦傷、裂紋、點蝕或脫落等局部損傷，則在滾動軸承運行過程中，當損傷點通過其它元件時，將導致接觸表面之間的潤滑油膜破裂，接觸剛度和阻尼發生瞬間變化，導致振動能量突變，產生沖擊現象。這種沖擊會激發出軸承元件的共振，在結構阻尼的作用下，共振迅速衰減。因此，故障引起的瞬態沖擊振動不僅幅值發生急劇變化，而且振動頻率較高。

傳統意義上的信號能量定義為信號幅值的平方，只代表動能或勢能。它雖然也能夠突出沖擊的瞬態特征，但是，若沖擊幅值較小，則沖擊成分有可能被其它成分淹沒。Teager能量算子跟蹤產生信號所需的總能量，既包括動能又包括勢能，其輸出為振動瞬時幅值和瞬時頻率二者的平方之積。相對于傳統的信號能量定義，它增加了和頻率平方的乘積。由于瞬態沖擊的振動頻率較高，因此它更能夠突出沖擊的瞬態特征。

故障軸承工作時，會產生周期性沖擊，周期性沖擊的重復頻率反映軸承的故障原因。根據這一原理，本文提出了基于Teager能量算子的滾動軸承故障診斷方法：首先，利用Teager能量算子在檢測瞬態沖擊方面的優勢，計算信號的Teager能量算子輸出；然后，為了分析瞬態沖擊的周期性質，對瞬時Teager能量序列進行Fourier變換，得Teager能量譜；最后，根據Teager能量譜中的主導頻率成分和軸承元件的故障特征頻率識別故障原因。

以下首先通過故障軸承振動的仿真信號分析說明該方法的基本原理，然后通過軸承外圈、內圈故障實驗信號分析驗證該方法的有效性。

3 仿真信號分析

故障滾動軸承產生的沖擊振動信號可以模擬為［9］：

其中，A為沖擊振動的幅值，ζ為阻尼特征常數，ωr為系統共振（圓）頻率，u（t）為單位階躍函數。

重復周期為T的周期性沖擊振動信號為：

把式（10）帶入式（11）得：

其中，T為沖擊的重復周期，即軸承故障特征頻率的倒數，τi為滾動體的隨機滑動對特征頻率產生的影響因子，可以取為 0.01T～0.02T。

在仿真信號中，取Am=1，ζ=0.15，ωr=1 000 πrad/s，T=0.025 s，τi為 0.01T～ 0.02T之間的隨機數，M=40，采樣頻率為2 000 Hz。為了模擬實際測試中背景噪聲的干擾，在信號中加入了Gauss白噪聲，使得信噪比為－3 dB。該仿真信號的時域波形、功率譜、瞬時Teager能量波形和Teager能量譜如圖1（a）～圖1（d）所示。

為了對比分析，對仿真信號還進行了包絡譜分析，如圖1（e）所示。由功率譜可見，信號的主要成分集中在［300，700］Hz的頻帶內，由仿真信號模型可知共振頻率為500 Hz，因此，包絡譜分析過程中的預處理帶通濾波器中心頻率選為500 Hz，帶寬選為400 Hz。

圖1 仿真信號分析結果Fig.1 Analysis result of a simulated signal

由仿真參數可知，故障特征頻率為40 Hz。在時域波形中，受噪聲干擾的影響，周期性沖擊特征不明顯；而在瞬時Teager能量波形中，Teager能量算子突出了沖擊特征，出現了周期性沖擊成分，而且相鄰兩個沖擊之間的時間間隔和故障特征頻率對應，因此可以判斷出現了故障；在功率譜中，峰值主要集中在共振頻率500 Hz左右，需要根據邊帶頻率之間的間隔來識別故障；在包絡譜中，雖然峰值頻率和故障特征頻率及其倍頻對應，能夠說明出現了故障，但是提取出來的最高倍頻成分僅為6階；而在Teager能量譜中，可以清晰地識別故障特征頻率及其倍頻成分，且提取出來的倍頻成分高達12階，故障特征更加明顯。可見，Teager能量譜能夠增強故障特征，更加準確地提取滾動軸承的故障特征頻率信息，表明該方法在滾動軸承故障診斷中具有很大潛力。

4 實驗信號分析

4.1 實驗說明

待測的滾動軸承型號為GB6220深溝球軸承，參數見表1。為了模擬滾動軸承各元件的局部損傷，分別在外圈、內圈用電火花加工一個直徑為2 mm，深為1 mm的凹坑，如圖2所示。

圖3為實驗的系統組成。試驗滾動軸承支承轉軸，交流電機通過V型帶驅動轉軸旋轉。加速度傳感器設置在待測軸承座的正上方。實驗中，電機轉速設定為444 r/min，作用在待測滾動軸承上的負載為15.68 kN，采樣頻率為10 kHz。根據滾動軸承的參數，分別計算各元件的故障特征頻率，見表2。

表1 滾動軸承GB6220基本參數Tab.1 Parameters of rolling element bearing GB6220

圖2 滾動軸承元件損傷Fig.2 Damage of rolling element bearing

表2 滾動軸承GB6220元件的特征頻率（Hz）Tab.2 Characteristic frequency of rolling element bearing fault

圖3 滾動軸承實驗臺Fig.3 Test rig of rolling element bearing

4.2 信號分析

滾動軸承的振動信號通常由安裝在軸承座上的傳感器來檢測。滾動軸承外圈固定，與軸承座直接配合，它和傳感器之間的位置相對固定，外圈故障產生的沖擊特征在振動測試信號中比較明顯。因此，軸承外圈故障比較容易診斷。而滾動軸承內圈直接和轉軸相連，隨著轉軸旋轉，傳感器和內圈故障點之間的相對位置隨之變化。只有在內圈故障點通過軸承負荷區時，才會在振動信號中出現明顯的沖擊特征。另外，內圈故障引起的沖擊經過滾動體、保持架、外圈和軸承座以及中間界面的傳遞之后，能量衰減損耗較大。因此，內圈故障振動信號中的沖擊特征不明顯，內圈故障診斷相對較難。

為了驗證Teager能量譜在滾動軸承故障診斷中的效果，以下首先分析正常軸承的振動信號，將結果作為基準，然后分析外圈故障信號，說明該方法的有效性，最后分析內圈故障信號，說明該方法在提取微弱故障征兆方面的性能。作為對比，還對上述信號進行了包絡譜分析。由于信號的主導頻率成分集中在［200，1 000］Hz的頻帶內，因此，包絡譜分析過程中的預處理帶通濾波器通帶范圍選為［200，1 000］Hz。

正常軸承振動信號的時域波形、功率譜、瞬時Teager能量波形、Teager能量譜和包絡譜如圖4（a）～圖4（e）所示。可見，時域波形和瞬時Teager能量波形中沒有周期性沖擊特征，功率譜、Teager能量譜和包絡譜中都沒有與任何滾動軸承元件故障特征頻率及其倍頻相對應的峰值頻率或頻率間隔，表明軸承正常，沒有故障。

圖4 正常滾動軸承信號分析結果Fig.4 Analysis result of normal bearing signal

外圈故障軸承振動信號的時域波形、功率譜、瞬時Teager能量波形、Teager能量譜和包絡譜如圖5（a）～圖5（e）所示。可見，雖然時域波形中出現了沖擊特征，但是并不明顯；Teager能量算子突出了沖擊特征，使得周期性沖擊特征變得更加明顯；功率譜中存在和軸承外圈故障特征頻率對應的峰值頻率和邊帶間隔，說明此軸承外圈存在故障；包絡譜中的峰值頻率和軸承外圈故障特征頻率及其倍頻相對應，但是峰值頻率并不突出，而且提取出來的倍頻成分階次不連續；Teager能量譜中明顯存在和軸承外圈故障特征頻率30.3 Hz及其倍頻相對應的峰值頻率，而且倍頻階次連續，高達到16階，故障特征更加明顯直觀。這表明Teager能量譜方法在診斷滾動軸承外圈故障時更加有效。

圖5 滾動軸承外圈故障信號分析結果Fig.5 Analysis result of outer race damaged bearing signal

圖6 滾動軸承內圈故障信號分析結果Fig.6 Analysis result of inner race damaged bearing signal

內圈故障軸承振動信號的時域波形、功率譜、瞬時Teager能量波形、Teager能量譜和包絡譜如圖6（a）～圖6（e）所示。可見：時域波形中沒有周期性沖擊特征；功率譜中沒有和內圈故障特征頻率43.7 Hz相對應的峰值頻率或邊帶間隔，因而無法識別故障原因；包絡譜僅存在一個88 Hz的峰值和內圈故障特征頻率的2倍頻相對應，但峰值不突出，明顯低于動力電源50 Hz的主導峰值，容易引起錯誤判斷；瞬時Teager能量波形中存在周期性沖擊，但是特征并不是非常明顯；為了識別瞬時Teager能量波形中的周期性成分，對其進行Fourier變換，得到Teager能量譜，其中的峰值頻率和內圈故障特征頻率及其倍頻相對應，提取出來的倍頻階次達到4階，由此可以確定該軸承內圈出現了故障。

上述根據Teager能量譜方法得到的分析結果和實驗中的真實情況完全吻合，本文提出的Teager能量譜方法不僅能夠識別出故障特征明顯的外圈特征頻率，而且能夠檢測出故障特征微弱的內圈故障征兆，性能優于傳統的包絡譜方法。

5 結論

Teager能量算子計算產生信號所需的瞬時總能量，適合檢測信號的瞬態變化，能夠突出沖擊信號的瞬態峰值特征。針對局部損傷滾動軸承振動信號的周期性沖擊特點，提出了基于Teager能量算子的故障診斷方法：首先應用Teager能量算子計算信號的瞬時總能量；然后對瞬時Teager能量進行Fourier變換；最后根據Teager能量譜峰值和軸承故障特征頻率判斷故障原因。滾動軸承故障仿真信號和實驗測試信號的分析驗證了該方法的有效性，不僅準確識別了故障特征明顯的外圈損傷，而且成功提取了故障特征微弱的內圈損傷特征。

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