動中找定 巧妙解題

●馮菊英 (金壇市第一中學 江蘇常州 213200)

動中找定 巧妙解題

●馮菊英 (金壇市第一中學 江蘇常州 213200)

動點問題、任意性問題能較好地考查學生的閱讀、轉化、化歸、探索等能力，因此備受命題者的青睞．動點問題、任意性問題又與定點、定值、臨界位置等相對不變量有關，因此在數學解題中應適時實現動與定的相互轉化，充分挖掘題目中的隱含條件，巧妙解題．利用動定關系進行解題大體可分3類:(1)動中找定;(2)以靜制動;(3)動靜互化．本文對動中找定問題的常見類型進行歸納總結．

探索動點問題、任意性問題，常需研究曲線上的動點、函數中的變量等，解決的策略一般是:把握點運動的全過程，用運動與變化的眼光去觀察研究，抓住其中的等量關系和變量關系．另外還應特別關注一些不變量、不變關系和特殊關系，抓住動態變化中暫時靜止的某一瞬間，將其鎖定在某一位置，化動為靜，由特殊情形(特殊值、特殊點、特殊位置、特殊圖形等)過渡到一般情形，問題的實質就容易顯現出來，從而解決問題．

1 直接找到特殊位置

(3)極限法．將直線運動到與y軸重合的位置，此時弦的2個端點，一個在原點，一個在無窮遠處，與的值一個是4a，一個是0，很快得出要求的結果．

注極端化策略在進行某些數學過程的分析時，具有獨特作用，恰當應用極端原則能提高解題效率，使問題化難為易、化繁為簡．極端化方法是特殊值法的延伸，著眼極端，把握過程，以靜制動，用來解選擇題、填空題往往思維深刻，過程簡單明快，頗有舉重若輕之感．

例2如圖1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M是DD1的中點，點O是底面ABCD的中心，點P是棱A1B1上任一點，則直線OP與直線AM 所成角為 ＿＿．

分析因為點P是A1B1上任一點，所以OP是一條動直線，而要求的直線OP與直線AM所成角為定值，這實際上也是研究運動中不變量的問題．讓直線OP運動起來，找到極端位置A1O，易知A1N是OP在面ADD1A1的射影，由正

方形的性質知A1N與AM垂直，再由三垂線定理得OP與直線AM所成角為90°．進一步，OP掃過的面A1B1O與AM垂直，從而得到更一般的結論．

對于此類在運動中探討定值的問題，通常從運動中推測出事物將會達到的相對靜止的局面，用靜的方法來處理動的數量和形態，即直接找到特殊位置，再采用特殊法、極限法巧妙解決．由一般到特殊到極限是思維層次的提高，既省時又省力．

2 假定特殊位置、特殊值

圖1

例3如圖2所示，已知2條直線 l1:2x－3y+2=0，l2:3x－2y+3=0，有一動圓(圓心和半徑都在變動)與 l1，l2相交，且l1，l2被截在圓內的2條線段的長度分別是26和24，求圓心M的軌跡方程．

圖2

分析該題中的圓是一個動圓，故可設定某個特殊位置，根據直線與圓的位置關系，再利用半徑、半弦長、弦心距構成直角三角形，輕松解決問題!

注 求軌跡問題難在動點之“動”，如果能先讓軌跡上的動點先“靜止”(假定特殊位置)，繼而尋找該點所滿足的相關條件，用坐標列出其關系，再激活“靜點”使其動起來，即得到所求的軌跡方程．注意學會從本質上認識問題，強化轉化意識．

注假定變量為定值，是放縮法常采取的技巧．在用放縮法解題時，常因放縮過度而苦惱，采用極值放縮能達到放縮有度、順應目標之效．

3 整合條件找定量

例5已知實數a，b，c成等差數列，點P(－1，0)在動直線ax+by+c=0上的射影為點M，點N的坐標為(2，1)，則線段 MN 長度的取值范圍是＿．

分析由a，b，c成等差數列及ax+by+c=0為動直線可知，直線ax+by+c=0恒過定點，這樣就將直線限制在繞定點旋轉的區域內．在直線繞定點旋轉的過程中結合射影這一條件再次尋找運動中的定量，從而解決問題．

解由a，b，c成等差數列知2b=a+c，代入直線方程得

在運動變化中探索問題，要善于在運動中抓住不變量，可以先取定特殊值或假定特殊位置，再考慮變量或點的運動，也可在點的運動過程中找到特殊位置或極限位置，還可整合條件找到條件中蘊藏的定量．由一般到特殊再到一般，是思維層次不斷提升的過程，對培養學生數學思維能力、優化學生思維品質大有裨益．