從伽利略圓問題到最速降線

2012-01-23 00:34:42張萬軍

物理通報 2012年11期

張萬軍

(烏魯木齊市教育研究中心新疆烏魯木齊 830049)

1 伽利略圓問題

伽利略在其著作《兩種新科學的對話》中曾提出并解決了這樣一個問題.

豎直的墻上劃有一圓，從圓的最高點沿墻壁作斜槽，由最高點同時釋放出三個小球，一個自由落體，兩個沿斜槽無摩擦運動，三個球哪一個先到達圓周[1]？

2 伽利略圓的逆問題

過空間一定點搭建一些斜面，從其頂端釋放小球，若小球同時到達斜面的底端，斜面底端構成的曲面是什么形狀？這是伽利略圓的逆問題，下面給出一個解答.

如圖1，O為空間定點，以該點為坐標原點建立坐標系.任意斜面的空間位置可用點P和角度α描述.

圖1

小球從O到P的時間可由下面的方程確定

其中t是定值，且

x=OPsinαy=OPcosα

將OP帶入上面兩式得

利用三角公式，P點的坐標可寫作

此即斜面底端的參數方程.消去參數α，得一般方程

3 隱蔽的伽利略圓問題

一質點從傾角θ的斜面的上方P點沿一光滑斜槽下降，如圖2所示.欲使此質點到達斜面所用時間最短，斜槽與豎直方向的角度是多少？

圖2

如果你感覺到這個問題很像伽利略圓問題，說明你真的很有洞察力.關鍵是如何將這一問題如何轉化為伽利略圓問題.

過(最高)點P做一圓，使圓心在豎直方向，且與斜面相切.這樣的圓果然可以做出，步驟從略.

下面這個問題的隱蔽性或許更強一些. 如圖3(a)所示，豎直平面內一固定圓，自與其在同一平面再作一光滑直軌道，使一質點自P點沿此軌道滑至圓周上所用時間最短.

圖3

這個問題也可以轉化為伽利略圓問題.如圖3(b)，過P點作圓與固定圓外切于A點，并使圓的直徑在豎直線上，則PA即為所求軌道.

作圖步驟：

(1)過P作豎直線PC，在上截取PB=r1；(r1是O1的半徑)

(2)連O1B，作連O1B的垂直平分線交BP于O2；

(3)連O1O2交圓O1于A點；

(4)以O2為圓心，以AO2為半徑作的圓O2必與O1外切于A點.PA即為所求軌道[2].

4 更深入的問題

如圖4，過空間兩點有在豎直平面內光滑軌道，一條是直線，一條是曲線，起點A和終點B都相同.兩小球同時從起點向下滑落.起點和終點之間的直線只有一條，曲線卻有無數條.那么，小球沿怎樣的曲線運動才是最快的呢？伽利略于1630年提出了這個問題，當時他認為這條曲線應該是一條圓弧線，可是后來人們發現這個答案是錯誤的.