“等速率追擊”問題研究

王光宇

(上海松江區教師進修學院附屬立達中學 上海 201600 )

1 問題由來

諸多物理文獻均論及這樣一道競賽題.

題目：如圖1所示，有一只狐貍以不變的速率v1沿直線AB逃跑，一獵犬以不變的速率v2追擊，其追擊的方向始終對準狐貍，某時刻狐貍在F處，獵犬在D處，FD⊥AB,FD=L假設v2>v1，試求此時獵犬的加速度是多少？

圖1

追擊問題在運動學部分比較典型，此類問題綜合性較強，與生活聯系較為緊密.但多數問題是同一直線上的追擊，相對而言容易解決.本題論及的問題較特殊，因為追趕者的速度方向不斷發生變化，其追逐的軌跡為曲線．

將獵犬和狐貍抽象為質點模型，狐貍在逃逸過程中其速度保持不變做勻速直線運動，獵犬在追逐狐貍的過程中保持不變的速率，故將本問題稱之為“等速率追擊問題”．狐貍沿AB方向，獵犬追擊狐貍且始終瞄準狐貍，其運動方向不斷發生改變，加速度和速度分量隨之變化，其運動軌跡應是一條曲線.

本文僅就這一過程，研究獵犬運動的軌跡曲線方程、速度分量的變化規律和加速度的變化規律等問題，筆者對這個問題作如下探討，以供讀者在教學或競賽指導中參考．

2 問題討論

2.1 獵犬在D點的加速度

解析：獵犬的速率不變，追擊過程始終要瞄準狐貍，其速度方向不斷變化，運動為變速運動．如圖1所示,假設在開始的一段無限短時間Δt內，狐貍和獵犬分別到達F′，D′，過D′作D′C⊥DF′，直角△DD′C與直角△F′FD相似，對應角相等，即∠DCD′=∠FDF′=α.由于α角很小，DD′可近似看成半徑為R一段圓弧．

獵犬的速度方向轉過的角度

(1)

狐貍奔跑的距離為

v1Δt=αL

(2)

由式(1)、(2)可得獵犬在D點的加速度

(3)

2.2 獵犬追上狐貍所需時間

解析：如圖2(a)所示，獵犬追擊狐貍的某一時刻，獵犬到達D′點，狐貍到達F′點，沿D′F′方向兩者相互接近的速度為

Δv=v2-v1cosθi

(4)

由式(4)得Δt時間內相對縮短的距離

Δli=(v2-v1cosθi)Δt

(5)

圖2

由式(5)累加得

即

(6)

沿x軸方向上相互接近的距離為

Δlix=(v2cosθi-v1)Δt

(7)

獵犬追上狐貍，即它們相互接近的距離為零.由式(7)得

(8)

由式(6)、(8)聯立可得

(9)

2.3 獵犬追擊狐貍的運動軌跡

圖3

解析：如圖3所示，以F點為坐標原點，FD為x軸正方向、FB為y軸正方向建立平面直角坐標系，假設經過時間t，獵犬到達坐標系中的D′點(x,y)，由于獵犬在追擊的過程中方向始終對準狐貍，故在該時刻v2的方向應指向F′點，狐貍在該時刻的位置為F′點(0，v1t)，假設獵犬運動的軌跡方程為

y=f(x)

因為D′F′為該點獵犬運動軌跡的切線，所以

即

(10)

將式(10)兩邊對x求導得

(11)

由ds2=dx2+dy2得

(12)

由式(12)得

(13)

將式(13)代入式(11)得

(14)

令

則

式(14)可化為

(15)

微分方程(15)的初始條件

解微分方程式(15)得

(16)

由式 (16)得

(17)

微分方程(17)的初始條件為y(L)=0，解方程可得

(18)

獵犬到達D′(x,y)通過的路程

(19)

由式(17)、(19)得

(20)

2.4 獵犬追擊狐貍速度分量的變化

解析：式(20)兩邊對x求導得

(21)

由式(21)得

(22)

由式(17)、(22)得

(23)

2.5 獵犬追擊狐貍加速度的變化

解析：由式(17)得

(24)

(25)

由式(25)得

(26)

為方便起見，本文取v2= 20 m/s，v1=10 m/s，L=100 m ,使用Excel繪圖工具繪制式(18)、(26)的函數曲線，圖像如圖4所示．

圖4

從圖像可見：x=0;y=0為其軌跡的兩條切線；獵犬兩速度分量嚴格單調變化；加速度大小先增加后減小，中間出現一個極大值，極值點對應的位置獵犬所受到的摩擦力最大，也是獵犬追擊過程中最易打滑“摔跤”的地方．

3 結語

通過對“等速率追擊”問題的研究，系統地呈現了獵犬追擊狐貍過程中物理量的變化規律，其問題的解析體現了研究物理問題的諸多方法，比如模型法、近似處理法、微元法和微分方程法等．若在教學中針對某一問題能采用多種方法進行逐層深入的探討與分析，對拓寬學生的知識視野大有裨益．

參考文獻

1 程稼夫．中學奧林匹克競賽物理教程·力學篇．合肥：中國科技大學出版社，2004

2 漆安慎,杜嬋英．普通物理學教程·力學(第二版)．北京：高等教育出版社，2004

3 四川大學數學系高等數學教研室．高等數學(第二冊)．北京：高等教育出版社，1995