從一道調研試題談起
——兼談力學中動態平衡的處理

任漢峰

(江陰市第一中學 江蘇 無錫 214400)

下面是一調研試題的原題，筆者將用幾種解題方法，對該題做仔細的分析.

【題目】如圖1所示，xpy為直角支架，桿xp、繩ao均水平，繩bo與水平方向夾角為60°．如果在豎直平面內使支架沿順時針緩慢轉動至桿yp成水平，且始終保持ao，bo兩繩間的夾角120°不變．在轉動過程中，設繩ao的拉力Fa、繩bo的拉力Fb，則下面說法中不正確的是

A.Fa先減小后增大

B.Fa先增大后減小

C.Fb逐漸減小

D.Fb最終變為零

圖1

1 正交分解結合函數解析法

解析：假設支架沿順時針緩慢轉過θ，如圖2所示，建立水平方向與豎直方向的直角坐標系，然后對接點O進行受力分析，按水平方向與豎直方向進行正交分解，然后列平衡方程

聯立平衡方程得

圖2

故正確答案為A．

點評：正交分解結合函數解析法是處理力學動態平衡問題中常用方法之一，關鍵之處在于建立直角坐標系，對研究對象進行受力分析，列平衡方程，得到所研究物理量的函數表達式，然后通過題設中某變化量(如此題中的θ)的變化情況，結合函數來確定所研究物理量的變化情況．正交分解法結合函數解析法可能會對學生的數學能力要求較高，但可能對學生物理思維的能力要求相對要低，換句話說，學生可能容易想到此方法．

2 正弦定理法

解析：假設支架沿順時針緩慢轉過任意角度θ，對結點O進行受力分析，并構建以重力G、繩子拉力Ta、繩子拉力Tb為三角形三邊的矢量三角形，并設角度α，β，如圖3所示.

圖3

在矢量三角形中，利用正弦定理列關系式

得

當β=0時，Tbmin=0.

故正確答案為A．

點評：正弦定理法是處理力學動態平衡問題中的方法之一，關鍵之處在于對研究對象的準確受力分析，構造出與所要研究物理量有關的矢量三角形，并要求準確判斷出矢量三角形中關鍵角度(α，β)的變化范圍，利用相應的力與力所對應角度的正弦之比為定值的規律列出關系式，然后通過關鍵角的變化情況來確定所要研究物理量的變化情況，正弦定理法對學生的思維能力要求較高，學生不容易想到此方法．

3 圖解法

解析：結點O受到三個力，其中一繩子拉力T=G，大小與方向均不變，另兩繩子在保持夾角120°不變的情況下，大小與方向均在變化，于是，利用轉換思維，假設繩子Oa，Ob的拉力方向均不變，T=G的繩子拉力以逆時針緩慢轉動，構建以O為圓心，T=G為半徑的圓，然后通過圖解法作平行四邊形，通過平行四邊形的兩鄰邊長度的長短來確定Oa，Ob中拉力大小的變化情況，作三組平行四邊形，如圖4所示，Oa，Ob中拉力大小分別為Ta1，Ta2，Ta3，Tb1，Tb2，Tb3，其中在第三組特殊的平行四邊形里，對角線T=G與拉力Ta在同一直線上(最終狀態)，即Ta3=T=G，Tb3=0，較容易地從圖示中讀出Oa，Ob中繩子拉力的變化情況為，Ta先增大后減小，Tb一直在減?。收_答案為A．

圖4

點評：圖解法是處理力學動態平衡問題中常用方法之一，關鍵之處在于準確判斷出受力對象的受力特點，一般情況下是受到三個力，其中一個力的大小與方向均不變(通常是重力G或與重力的平衡力)，另一個力的方向不變，第三個力的方向在變，而此題中也是其中一拉力T=G大小方向均不變，另兩力方向夾角不變，采用了逆向思維，轉換成Oa，Ob兩繩子拉力方向不變，T=G大小不變，方向以O圓心逆時針緩慢轉動的物理情境，于是問題便迎刃而解，Oa，Ob繩子的拉力變化情況便可直觀地從圖示中直觀地反映出來．圖解法在平時的處理問題中，如果掌握了此方法的適用條件后，對學生的思維能力要求應該是較低的，但在處理該題中，還牽涉到了逆向思維的轉化法，可能對學生的思維能力要求較高，但也不失為一種好方法．

4 構造圓法

解析：題設中由于繩子Oa，Ob的拉力方向時刻放生變化，而夾角不變，給本題解答帶來一定的困難，同時也給此題賦予了一定的創新．鑒于變化過程中繩子Oa，Ob的夾角不變，亦即圖5中的60°角度不變，聯想到了數學中同一弦(或者圓弧)所對應的圓周角不變，而初始狀態正好構建出直角三角形，于是以初始狀態下的Tb1為直徑，構建出圓，然后在圓中作出特殊的三對矢量三角形，便可從圖中直觀地反映出繩子Oa，Ob拉力大小的變化，Oa繩子拉力從Ta1變化到Ta2(恰為直徑，最大)再到Ta3，先增大后減??；Ob繩子拉力從Tb1(恰為直徑，最大)變化到Tb2再到Tb3，一直在減?。收_答案為A．

圖5

點評：構造圓法在處理力學動態平衡問題中是一種較特殊的方法，關鍵之處在于發現研究對象的受力特點及其中兩個力的夾角始終不變(此題中Ta，Tb夾角不變)，然后通過夾角不變要聯想到圓，利用圓的特點，同弦或同圓弧所對應的圓周角相等，在圓中構建出矢量三角形，便可直觀地反映出力的變化情況．此種方法對于學生的思維能力要求較高，學生很不容易想到．

5 相似三角形法

【例1】如圖6(a)所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一個小定滑輪，細繩一端拴一小球，小球置于半球面上的A點，另一端繞過定滑輪．今緩慢拉繩使小球從A點滑向半球頂點(未到頂點)，則此過程中，小球對半球的壓力大小N及細繩的拉力T大小的變化情況是

A.N變大，T變大

B.N變小，T變大

C.N不變，T變小

D.N變大，T變小

圖6

點評：相似三角形法是處理力學動態平衡問題的常用方法之一，關鍵之處在于準確判斷出相似三角形法的適用條件，研究對象受到三個力，其中一個力的大小方向均不變，通常情況下是重力G，另兩力的方向均在變化，但是還有隱含的條件：題設中出現邊的特點．相似三角形法對學生的能力要求一般，學生很容易聯想到此方法．

6 整體法與隔離法

【例2】如圖7(a)所示，一個直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB豎直向下，表面光滑，AO上套有小環P，OB上套有小環Q，兩環的質量均為m，兩環間由一根質量不計、不可伸長的細繩相連，并在某一位置平衡，現將P環向左移一小段距離，兩環再次達到平衡，那么將移動后的平衡狀態和原來的平衡狀態比較，AO桿對P環的支持力FN和細繩上的拉力T的變化情況是

A．FN不變，f變大

B．FN不變，f變小

C．FN變大，f變大

D．FN變大，f變小

圖7

解析：如圖7(b)所示，P,Q在移動前后的兩個狀態下都處于平衡狀態．設∠OPQ=θ，對整體P,Q：在豎直方向上：FN=2mg，前后FN保持不變．

對Q：Tsinθ=mgθ↑→T↓

對P：f靜=TcosθT↓、cosθ↓→f靜↓

故正確答案為B．

點評：整體法與隔離法是處理力學動態平衡問題的常用方法之一，關鍵在于怎么聯想到用整體法與隔離法，怎么會發現用整體法與隔離法．那就需要明確整體法的優點：只需分析整體所受的外力情況，回避了整體內部繁雜的相互作用，給解決物理問題帶來了極大的方便，但如果需研究內力情況的話，必須采用隔離法，對整體中的其中某個對象進行研究，當然在進行具體受力分析時會選擇受力比較簡單的．在具體處理問題過程中，整體法與隔離法經常交叉使用．整體法與隔離法對學生的思維能力要求不高，學生也容易想到．

綜上所述，介紹了幾種處理力學動態平衡問題的研究方法，可能還遠不止上述所提，這里不再一一列舉．力學動態平衡問題是高中物理教學中的一個難點，也是高考物理的一個熱點．因為它涉及到物體受力分析、物體受力處理、解題方法選擇等多方面的問題．教師在教學過程中，要讓學生在解題過程中多分析，多總結，嘗試從不同的題型中歸納出不同的處理方法，這樣才能有效提高教學效率，從中培養學生的思維能力，提高學生的解題能力．

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