地面坐標系

文欽若 嚴立坤 程云云 丁學成

(河北大學物理學院 河北 保定 071002)

1 地面參照物的受力分析

當討論質點或物體相對地面運動時，通常需要在附近區域(不能太遠)有一個相對地面靜止的參照物，當參照物確定后，相對于這個參照物靜止或做勻速直線平動的坐標系都可稱為地面坐標系．

下面以實驗室中一張水平放置的桌子當作地面參照物為例討論其受力情況，桌子所受的力可分為以下三組.

1.1 第一組力——桌子所受的重力與地面彈力

桌子所受的重力也就是地球對桌子的引力，所以，重力的方向應指向地心．注意到地球有自轉，或者注意到地球為扁球體，除赤道與兩極外，重力并不垂直水平面．桌子對地球的壓力也就是桌子的重量，此壓力的反作用力就是地面對桌子的彈力，此力應垂直于水平面，但除赤道和兩極外，此彈力的作用線并不通過地心．桌子所受的重力與地面彈力的合力方向應垂直于地球的自轉軸，此合力就是桌子隨地球自轉時所需要的向心力，此力與緯度有關．根據地球的自轉角速度可求得不同緯度處的向心加速度．

1.2 第二組力——太陽與月亮等對桌子的引力

桌子與太陽、月亮之間的距離可近似等于地球與太陽、月亮的距離，從而可近似計算出太陽、月亮等對桌子的引力．應注意，太陽、月亮等對桌子引力的合力是變化的，這是由于太陽、月亮等相對于桌子的位置在不停地變化之故．對于地球兩極附近的地面參照物，第二組力起著重要的作用．

1.3 第三組力——所討論的質點或物體對桌子的作用力

當在桌子或桌子附近討論質點或物體運動時，所討論的質點或物體對桌子可能存在作用力，此作用力包括摩擦力、電磁力、引力等，由于桌子相對于地面應保持靜止，則第三組力可引起地面對桌子產生附加的作用力．將桌子視為剛體，則第三組力與地面對桌子附加的作用力基本上是剛體的平衡力系，但第一組力與第二組力不是剛體的平衡力系．在第一、二組力的作用下，桌子跟隨地球一起做加速運動．

2 自由落體運動

2.1 運動方程

考慮小球在地球引力作用下的自由落體運動．將小球與地球都視為質點，設小球的質量為m，地球的質量為M，在坐標系S中( S為一般慣性系或非慣性系)，小球與地球的運動方程可以用下式描寫

(1)

其中，r1與r2分別為小球與地球在S系中的位矢；f為地球對小球的引力；F1與F2分別為太陽、月亮等對小球與地球的引力；F1i與F2i分別為小球與地球在S中的慣性力．作變量替換

(2)

則式(1)化為

(3)

2.2 相對運動的能量關系式

(4)

(5)

(6)

式(6)兩邊乘以dr得

-▽U(r)·dr=μvdv

(7)

式(7)兩邊從r0至r積分得

(8)

式(8)右邊的積分可在數學手冊中查到[1]．將式(8)改寫為

(9)

其中E稱為相對運動的能量，它是不隨時間變化的守恒量．由萬有引力定律[2]可知

(10)

(11)

2.3 地面坐標系中地球的運動

因地面坐標系應相對于地面參照物靜止或做勻速直線平動，而地面參照物相對與地球靜止，所以，在地面參照系中，地球必靜止或做勻速直線運動．必須注意，在式(1)中第二式中，(-f+F2+F2i)并不等于零，所以，求得的地球在地面坐標系中的運動狀態并不是靜止或做勻速直線運動．出現這種矛盾的原因是由于在建立地面坐標系時不允許將地球視為質點，而在式(1)中將地球視為質點的緣故，所以，在地面坐標系中，不能根據式(1)中的第二式討論地球的運動．

2.4 地面坐標系中小球的能量關系式

在地面坐標系中，式(1)中的第一式可近似地寫為

(12)

(13)

注意到v2只能是常矢量，則式(13)從r10至r1積分得

(14)

其中，h為地面附近(r1-r10)在(r2-r1)方向上的投影．式(14)也可改寫為

(15)

E是近似的守恒量．如果在沿豎直方向或沿斜坡方向勻速上升的電梯上觀察自由落體運動，則能量關系應按式(14)或式(15)考慮．如果地面坐標系相對于地面靜止不動，則v2=0，這時，式(14)化為

(16)

注意到r=r1-r2而r2為常矢量，則v=v1，所以式(16)與式(11)基本相同．

參考文獻

1 數學手冊編寫組.數學手冊.北京：高等教育出版社，1979.439

2 周衍柏.理論力學.南京：江蘇教育出版社，1961.125