萬有引力場與庫侖場形式上相似性的研究

吳萬進

(江蘇省姜堰中學 江蘇 姜堰 225500)

盡管萬有引力與庫侖力性質有很大區別，但質點間的萬有引力和點電荷間的庫侖力都遵循平方反比規律，萬有引力與兩質點質量的乘積成正比，庫侖力與兩點電荷的電荷量的乘積成正比，因此，在形式上具有一定的相似性，電荷的電量在庫侖定律中的地位與引力質量在萬有引力定律中的地位相當.另一方面，由于空間各向同性，使得萬有引力和庫侖力的方向沿兩質點或靜止點電荷的連線方向，具有球對稱性.本文將從力、場和勢三個方面對比這兩種場的相似性.

1 萬有引力和庫侖力

設均勻薄球殼的半徑為R，質量為M，質點(m)

圖1

到球心的距離為r.一平面垂直于球心與質點的連線，截球殼與球心形成的圓錐頂角為θ.另一平面截球殼，圓錐頂角為θ+dθ，如圖1.兩平面截球殼得一“環帶”，“環帶”面積可表示成2πRsinθRdθ，若球殼的面密度為σ，則“環帶”質量為2πσR2sinθdθ.由對稱性可知，“環帶”對質點的引力沿球心與質點連線，

其中

所以

令ξ=2rr-Rcosθ，則

(1)

1.1 均勻薄球殼對質點的引力與均勻帶電薄球殼對點電荷的庫侖力

(1)若r>R，即質點位于薄球殼外部，則由式(1)，有

(2)

也就是說，均勻(帶電)薄球殼對球殼外質點(點電荷)的萬有引力(庫侖力)相當于質量(電荷量)集中在球心的質點(點電荷)對殼外質點(點電荷)的作用力.

(2)若r

(3)

即均勻薄球殼對其空腔內部位于任意位置的質點的萬有引力為零.

同理，均勻帶電薄球殼對球殼內任意位置的點電荷的庫侖力也為零.

1.2 質量均勻分布(或球對稱分布)的球體對質點的引力與電荷均勻分布(或球對稱分布)的帶電球體對點電荷的庫侖力

(4)

同理，均勻帶電球體(電荷量為Q0)對球外點電荷(電荷量為q)的庫侖力為

(5)

圖2

(6)

那么，相應地，電荷均勻分布的帶電球對球內點電荷的庫侖力

(7)

當r

表1 萬有引力與庫侖力對比

可見，質量(電荷量)均勻分布的球體對球內距球心r(r

可以證明，上述結論[式(4)～(7)]對質量(電荷量)球對稱分布的球體(帶電球體)也適用.

2 引力場和庫侖場

2.1 引力場和庫侖場

質點以及質量均勻(或球對稱)分布的薄球殼或球體的萬有引力場和點電荷以及電荷均勻(或球對稱)分布的薄球殼或球體電場的方向都是沿均勻(帶電)薄球殼或球體的徑向，具有球對稱性.引力場的方向沿徑向向里，電場的方向沿徑向向里(帶負電)或向外(帶正電).

表2 萬有引力場與庫侖場分布對比

由表2可見，均勻薄球殼的引力場與均勻帶電的薄球殼的電場和均勻(或球對稱)球體的引力場與均勻(或球對稱)帶電球體的電場都是相似的.

2.2 高斯定理和環路定理

類似地，引入“引力場線”和“引力場通量”，也有萬有引力的“高斯定理”

取閉合曲面的外法向為正.

對任一環路，靜電場有環路定理

引力場也有“環路定理”

以上比較表明,靜電場和引力場都是有源無旋場.

3 引力勢和電勢

通常我們取無窮遠處為引力勢和電勢的零點.那么，引力場(電場)中某點的引力勢(電勢)等于將單位質量(電荷量)的質點(正點電荷)從該點移送到無窮遠處，引力(靜電力)所做的功

3.1 均勻薄球殼的引力勢和均勻帶電薄球殼的電勢

(1)均勻(帶電)薄球殼或球體的外部(r>R)的引力場(電場)相當于相同質量(電荷量)位于球心處的質點(點電荷)的引力場(電場).

均勻薄球殼外部(r>R)的引力勢

均勻帶電薄球殼外部(r>R)的電勢

(2)對于均勻(帶電)薄球殼，因為球殼內部的場強為零，所以,從內部移送到球殼表面，引力場(電場)不做功，引力勢(電勢)就等于球殼表面的引力勢(電勢).

均勻薄球殼內部和表面(r≤R)的引力勢

均勻帶電薄球殼內部和表面(r≤R)的電勢

3.2 均勻球體的引力勢和均勻帶電球體的電勢

(1)均勻球體外部r>R的引力勢

均勻帶電球體外部r>R的電勢

(2)均勻或球對稱(帶電)球體內部(r≤R)的引力勢(電勢)應考慮兩個部分,即將單位引力質量(電荷量)的質點(正點電荷)從球體內部移送到球體表面萬有引力(庫侖力)的功和從球體表面移送到無窮遠處萬有引力(庫侖力)的功.

因此，均勻或球對稱球體內部的引力勢

同理，均勻帶電球體產生靜電場的電勢

均勻薄球殼與均勻帶電薄球殼和均勻球體與均勻帶電球體的引力勢與電勢的比較如表3.

表3 引力勢與電勢的比較

顯然，均勻薄球殼與均勻帶電薄球殼的引力勢和電勢，均勻球體與均勻帶電球體的引力勢和電勢形式上都是非常相似的.

通過上面的比較，我們知道，萬有引力與庫侖力、萬有引力場與庫侖場、引力勢與電勢在形式上都具有很好的相似性.但是，萬有引力與庫侖力在本質上是不同的，前者是引力相互作用，而后者則屬于電磁相互作用.此外，由于引力質量和電荷量也有重要區別(例如,質點間的作用只有吸引，而電荷間的作用有吸引，也有排斥)，使得萬有引力與電場力也存在一些方面的差異，這里不再贅述.

參考文獻

1 趙凱華,羅蔚茵.新概念物理教程(力學).北京：高等教育出版社，2004.338～345

2 程稼夫.中學奧林匹克物理教程(電磁學篇).合肥：中國科學技術大學出版社，2004.1～3