非線性變折射率大氣中的海市蜃樓

張九鑄

(金川集團公司龍門學校 甘肅 金昌 737100)

設大氣折射率與相對海面的高度y成非線性關系[1]

(1)

式中各常數的典型值n0=1.000 233，nP=0.458 36，α=2.303/m．建立坐標系xPy如圖1所示，設物點P(0,0)與海平面等高，由于大氣折射率的連續變化，物點P向各方向發出的光線將連續向下彎曲，地面上與海平面等高處的觀察者眼睛A將接收到很窄的折射光光錐(因為瞳孔很小)，光錐頂點P′就是物點P的像，稱為蜃景．由P點射出的光線的仰角φ不同，能看到像P′的人的位置A(x2,0)也將不同．基于式(1)，筆者將利用變分法導出人能夠看見蜃景的條件及P,A之間距離的計算式．

圖1

1 光線方程

設由P點發出的一條光線經過某點(x1,y1),則由P到該點的光程為

(2)

相關偏導數為

而

將以上結果代入歐勒方程

得到

-αβ2e-αy(1+y′2)=2y″(1+β2e-αy)

(3)

由于

代入式(3)并且分離變量，有

積分得到

1+y′2=C1(1+β2e-αy)

(4)

固定邊界條件為yx=0=0，y′x=0=tanφ，代入式(4)解得

(5)

設0≤x≤x1范圍內y′≥0，式(4)可以變為

(6)

其中

a=C1-1b=C1β2

積分式(6)得到[2]

再將固定邊界條件yx=0=0代入以上二式，分別解得

于是得到

(7)

(8)

式(7)、(8)是0≤x≤x1范圍內的光線方程．

2 形成蜃景的條件和物點與觀察者之間距離

第一種情形：a≥0即C1≥1或tanφ≥β．先將式(4)變為

y′2=(C1-1)+C1β2e-αy=a+be-αy

由此式可見,因為b=C1β2>0，所以a≥0時y′不可能為零．這說明在這種條件下光線不存在最高點，不發生全反射，光線不向下彎曲，人無法在地面上看見蜃景．又由式(5)可知此時有

代入數據得

則

φ≥24.62°

即仰角φ≥24.62°的光線不發生全反射．特別地，對于a=0的情形，此時式(4)變為

y′2=β2e-αy

(9)

可見,此時只有在y→∞處才有y′=0，其實人無法在地面上看見蜃景．

第二種情形：a<0即C1<1或tanφ<β．這種情況下，由式(4)可知光線有最高點，也就是說人在地面上可以看見蜃景.令x=x1時y=y1，y′=0，代入式(4)得

a+be-αy1=0

(10)

再令式(7)中的x=x1，y=y1，并將式(10)代入，得

根據對稱性，并且考慮式(5)、(6)，得到P,A之間水平距離為

(11)

總之，在大氣折射率作如式(1)變化時，只有仰角φ<24.62°的光線才能發生全反射，亦即只有這一區域的光線才能形成海市蜃樓．

參考文獻

1 鐘錫華．現代光學基礎．北京：北京大學出版社，2003.17～18

2 《實用積分表》編委會．實用積分表．合肥：中國科技大學出版社，2006.118