洛倫茲吸引子相圖的簡易實(shí)現(xiàn)

晏志武

(臨滄市臨翔區(qū)第一中學(xué) 云南 臨滄 677000)

愛德華·洛倫茲在20世紀(jì)60年代根據(jù)流體力學(xué)中的納維葉·斯托克斯方程、熱傳導(dǎo)方程和連續(xù)性方程得出了一組氣象學(xué)微分方程.這是一組毫不起眼的方程，但洛倫茲所采用的電腦數(shù)值計算和繪制相圖的方法卻影響深遠(yuǎn).這組方程后來被命名為洛倫茲吸引子，因其中的一張典型相圖酷似蝴蝶又被稱為“洛倫茲的蝴蝶”.洛倫茲以此開創(chuàng)了計算機(jī)研究復(fù)雜非線性問題的先河.

1 洛倫茲微分方程組

2 微分方程組轉(zhuǎn)化為差分方程組

現(xiàn)在普遍使用的數(shù)學(xué)運(yùn)算軟件是Matlab或Mathematica ，二者都要求具備比較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和編程能力.筆者設(shè)想使用Flash動畫軟件實(shí)現(xiàn)上述方程組的計算和繪圖，但Flash處理不了微分方程，因此，要先將微分方程組轉(zhuǎn)化為下列差分方程組

Δx=-σ(x-y)Δt

Δy=(rx-y-xz)Δt

Δz=(-bz+xy)Δt

我們知道，當(dāng)變量Δt→0時，差分就變成微分了.實(shí)際計算時只要Δt足夠小即可取得誤差符合要求的結(jié)果.

3 Flash簡單編程實(shí)現(xiàn)

程序共有2個圖層、3幀.

(1)第1圖層第1幀放置1個斜二側(cè)作圖實(shí)例itnpoint(這其實(shí)就是一個大小合適的黑色圓點(diǎn)元件分身)，1個變量名為r的輸入文本框和1個控制程序運(yùn)行或暫停的按鈕，第2，第3幀均為普通幀.

(2)第2圖層為代碼層

第1幀(關(guān)鍵幀)設(shè)定初值

σ=9;

b=3;

if(_root.r==undefined){r=27};// r的默認(rèn)值為27，可通過第1圖層的輸入文本框改設(shè)為其他值.

else{r=r}

x=1;

y=0;

z=0;

Δt=0.005;//Δt足夠小時，差分方程的運(yùn)算結(jié)果才能充分地近似于微分方程.

第2幀(關(guān)鍵幀)迭代運(yùn)算和繪圖：

hx.moveTo(t, 90+x); // 以下3行設(shè)置分量圖繪圖實(shí)例hx，hy，hz的初始位置，t是時間值.

hy.moveTo(t, 170+y);

hz.moveTo(t, 250+z);

Δx=-9*(x-y)*Δt; // 以下3行計算差分值.

Δy=(r*x-y-x*z)*Δt;

Δz=(-3*z+x*y)*Δt;

x=x+Δx; // 以下3行完成迭代.

y=y+Δy;

z=z+Δz;

x1=x+(1/2)*y*Math.cos(Math.PI/4); // 以下2行計算“斜二側(cè)作圖法”的位置坐標(biāo).

y1=(1/2)*y*Math.sin(Math.PI/4);

t=Δt*m; // 更新時間值.

m=m+1; // 記錄迭代次數(shù).

hx.lineTo(t, 90+x); // 以下3行完成第1次以x，y，z為縱坐標(biāo)，t為橫坐標(biāo)的分量圖繪制.

hy.lineTo(t, 170+y);

hz.lineTo(t, 250+z);

ht = "ht0" add m; // 生成斜二側(cè)圖繪圖點(diǎn).

duplicateMovieClip("itnpoint",ht,m); // 復(fù)制繪圖實(shí)例itnpoint (itnpoint放置于第1圖層).

setProperty(bn, _x, x1 ); // 以下2行設(shè)置繪圖點(diǎn)坐標(biāo).

setProperty(bn, _y, y1 );

第3幀(關(guān)鍵幀)：

gotoAndPlay(2); // 回到第2幀作重復(fù)地迭代計算.

4 相圖和分量圖舉例

系數(shù)σ，b和變量x，y，z的初值確定，r取不同的值將得到顯著不同的圖形見表1，由此可以看到方程組對r的高度敏感性.

表1r取不同值對應(yīng)的圖形

續(xù)表

5 結(jié)束語

Flash是目前主流的平面動畫軟件，大家比較熟悉.除用于網(wǎng)頁制作外，也可用于數(shù)值計算和相圖繪制.其優(yōu)點(diǎn)是簡單易懂,過程清晰可見，不足之處是運(yùn)行時間稍長(約需幾分鐘).這種方法尤其適合于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和編程能力都比較欠缺的中學(xué)生進(jìn)行中學(xué)物理與大學(xué)物理銜接段的學(xué)習(xí).

另外，“洛倫茲吸引子”提醒我們要極其慎重地對待地球環(huán)境，輕率地改變它有可能導(dǎo)致難以預(yù)料和無法挽回的后果.

參考文獻(xiàn)

1 郝柏林.從拋物線談起 — 混沌動力學(xué)引論. 上海：上海科技教育出版社，1993.9

2 劉正君.MATLAB科學(xué)計算與可視化仿真.北京：電子工業(yè)出版社，2009

3 吳明哲，等.網(wǎng)頁高手-Action程序設(shè)計篇.北京：中國鐵道出版社