“小球豎壓彈簧”模型的深層探討

吳鋒

(衢州第一中學 浙江 衢州 324000 )

所謂“小球豎壓彈簧”模型，就是小球從高處落下并壓縮豎直固定放置彈簧的運動模型.這個模型涉及多個運動過程，具有考查頻度大、知識綜合性強、能力要求高的特點，是高考命題與模擬的熱點課題，可以從力與運動、功與能量、圖像與應用等角度，全方位考查學生的力學綜合素養(yǎng)與思維分析能力.

1 運動角度的深層探討

【例1】 如圖1所示,小球從高處下落到豎直放置的輕彈簧上,則從接觸彈簧開始到將彈簧壓縮到最短的過程中,下列敘述中正確的是

A.小球的速度一直減小

B.小球的加速度先減小后增大

C.小球加速度的最大值一定大于重力加速度

D.在該過程的位移中點上小球的速度最大

圖1 圖2

點評：本題從力和運動角度考查了“小球豎壓彈簧”模型物理量的變化，同時也考核了簡諧運動的相關知識,具有考查知識點深、范圍寬廣、綜合性強、干擾性強的特點.

【例2】如圖3(a)所示，勁度系數(shù)為κ的輕彈簧豎直放置，下端固定在水平地面上，一質量為m的小球，從離彈簧上端高h處由靜止釋放，落在彈簧上后繼續(xù)向下運動到最低點的過程中，小球的速度v隨時間t的變化圖像如圖3(b)所示，其中OA段為直線，AB段是與OA相切于A點的曲線，BCD是平滑的曲線.若以小球開始下落的位置為原點，沿豎直向下方向建立坐標軸Ox，則關于A,B,C,D各點對應的小球下落的位置坐標x及所對應的加速度a的大小，以下說法正確的是

A．xA=h，aA=0

圖3

圖4

解析：由v-t圖像中OA為直線，可知小球OA段做自由落體運動，在A位置有xA=h,aA=g，選項A錯誤.小球在A-D段是以B為平衡位置的簡諧運動，在B位置重力等于彈力，A與C關于B對稱，各點位置如圖4所示，加速度關系有

aB= 0aC=aA=gaD>aC

長度或坐標關系有

故選項B,C正確,D錯誤.

點評：本題借助“小球豎壓彈簧”模型的v-t圖像，著重考查了小球在特殊位置的受力情況以及加速度大小關系，運用胡克定律、牛頓第二定律及簡諧運動便可定量求解.

2 能量角度的深層探討

【例3】如圖5(a)所示,小球從高處自由下落到豎直放置的輕彈簧上，其運動v-t圖像如圖5(b)所示(速度向下為正方向),下列敘述中正確的是

A．在t2與t4時刻小球機械能均達到最大值

B．0～t1與t5～t6這兩段時間內，小球的機械能守恒

C．t1～t3這段時間內，小球重力勢能和彈簧彈性勢能之和先減小后增大

D．t1～t5這段時間內，小球動能和彈簧彈性勢能之和先增大后減小

圖5

圖6

解析：由v-t圖像可知，O,f為小球下落起始位置，a,e位置為小球與彈簧接觸臨界點，在b,d位置彈力等于重力，c為小球下落最低位置，其運動過程如圖6所示.在t2與t4時刻小球在b位置動能達到最大值，但部分機械能轉化為彈性勢能，選項A錯誤.0～t1與t5～t6這兩段時間內，小球在空中oa段運動，只受重力作用其機械能守恒，選項B正確.由于該系統(tǒng)機械能守恒，小球重力勢能和彈簧彈性勢能之和與小球動能變化相反，小球動能和彈簧彈性勢能之和與小球重力勢能變化相反，在t1～t3時間內小球動能先增大后減小,在t1～t5時間內小球重力勢能先減小后增大，故選項C正確,D錯誤.

點評：本題考查了“小球豎壓彈簧”模型中單個物體能量變化、系統(tǒng)機械能守恒、幾種形式能量的總量變化，對能量做了比較全面的考查.

【例4】 (2010年高考福建理綜卷)如圖7(a)所示，質量不計的彈簧豎直固定在水平面上，t=0時刻，將一金屬小球從彈簧正上方某一高度處由靜止釋放，小球落到彈簧上壓縮彈簧到最低點，然后又被彈起離開彈簧，上升到一定高度后再下落，如此反復．通過安裝在彈簧下端的壓力傳感器，測出這一過程彈簧彈力F隨時間t變化的圖像如圖7(b)所示，則

A．t1時刻小球動能最大

B．t2時刻小球動能最大

C．t2～t3時間內，小球的動能先增加后減少

D．t2～t3時間內，小球增加的動能等于彈簧減少的彈性勢能

圖7

解析：0～t1時間內，小球做自由落體運動，故彈簧彈力為零．t1～t2時間內，小球壓縮彈簧，當彈力等于重力時，小球速度最大，在此時刻之前，小球做加速度減小的加速運動，之后做加速度增加的減速運動，t2時刻減速到零．t2～t3時間內，小球向上先加速運動后減速運動．故A,B,C三選項中，只有選項C正確．t2～t3時間內彈簧減少的彈性勢能轉化為小球增加的動能和重力勢能之和，故選項D錯誤．

點評：本題巧妙地從彈簧彈力F-t圖像角度，考查“小球豎壓彈簧”模型的能量變化及轉化情形.明晰不同時間段幾個對應的運動過程，是順利分析各種能量間變化關系的關鍵.

3 應用角度的深層探討

【例5】(2011年高考新課標全國卷)一蹦極運動員身系彈性蹦極繩從水面上方的高臺下落，到最低點時距水面還有數(shù)米距離．假定空氣阻力可忽略，運動員可視為質點，下列說法正確的是

A．運動員到達最低點前重力勢能始終減小

B．蹦極繩張緊后的下落過程中，彈性力做負功，彈性勢能增加

C．蹦極過程中，運動員、地球和蹦極繩所組成的系統(tǒng)機械能守恒

D．蹦極過程中，重力勢能的改變與重力勢能零點的選取有關

圖8

解析：蹦極運動其示意圖如圖8，運動員從O點自由下落，至b點彈性繩自然伸直，經(jīng)過合力為零的c點到達最低點d，受力和運動與“小球豎壓彈簧”模型相似.運動員到達最低點前重力勢能始終減小，重力勢能的改變與重力勢能零點的選取無關，所以，選項A正確,D錯誤.蹦極繩張緊后的下落過程中，彈性力向上做負功，彈性勢能增加，選項B正確.蹦極過程中，運動員、地球和蹦極繩所組成的系統(tǒng)機械能守恒，選項C正確.

點評：蹦極運動是“小球豎壓彈簧”模型的生活實例.畫出運動過程的草圖，是求解功能問題的前提.

【例6】蹦床是兒童喜歡的一種游戲，一小孩在蹦床上玩耍，他要從高處落到蹦床上后又被彈回，下圖中能正確表示出小孩在此過程中加速度隨時間變化情況的曲線為

解析：蹦床運動示意圖如圖9，其運動模型就是“小球豎壓彈簧”模型.小孩從O點自由下落，至b點接觸蹦床，經(jīng)過合力為零的c點到達最低點d.O-b做自由落體運動，加速度恒為g，b-c做加速度減小的加速度運動，到c點加速度減小到零，此后加速度反向，c-d做加速度增大的減速運動，到d點加速度達到最大值，然后返回，各位置加速度相同.選項C正確.

圖9

點評：蹦床運動實質為 “小球豎壓彈簧”模型又一生活實例.此類問題借助運動過程如圖9所示，進行受力分析，關注4個特殊位置和3個過程，對掌握運動中各物理量的變化及功能關系很有幫助.