一道幾何光學高考題的兩種新解法

羅聲苗 肖炯

(贛縣中學 江西 贛州 341100)

圖1

【題目】(2011年高考新課標全國卷第34題)一半圓柱形透明物體橫截面如圖1所示，底面AOB鍍銀(圖中粗線)，O表示半圓截面的圓心，一束光線在橫截面內從M點入射，經過AB面反射后從N點射出.已知光線在M點的入射角為30°，∠MOA=60°，∠NOB=30°.求：

(1)光線在M點的折射角；

(2)透明物體的折射率.

方法1:原解

圖2

如圖2，透明物體內部的光路為折線MPN，Q,M點相對于底面EF對稱，Q,P和N三點共線.

設在M點處，光的入射角為i，折射角為r，∠OMQ=α，∠PNF=β.根據題意有

α=30°

(1)

由幾何關系得，∠PNO=∠PQO=r，∠ONF=60°，

于是

β+r=60°

(2)

根據反射定律可以知道∠MPE=∠NPF,由幾何關系容易得

α+r=β

(3)

由式(1)～(3)得

r=15°

(4)

根據折射率公式有

(5)

代入數據得

點評：筆者認為，原解所用到的數學知識本身并不是很難，但是作圖的過程中所作的輔助線比較多，而且要把半圓的下半部分補充完整，這種情況在數學中見得比較多，在物理中應用得很少，所以,學生在考試的時候，不容易想到這種方法.

方法2：巧用幾何關系EF=EO+OF=EP+PF求解

如圖3，光線從M點的入射，經過AB面反射后從N點射出,透明物體內部的光路為折線MPN.過M，N點作垂線交底面AB于E，F.根據反射定律，可以知道，∠MPE=∠NPF=θ.由幾何關系得

EF=EO+OF=EP+PF

(6)

圖3

其中有

EO+OF=Rcos60°+Rcos30°

(7)

(8)

由式(6)～(8)得

θ=45°

(9)

入射角為i，折射角為r， ∠MOE=60°，根據三角形外角等于相臨兩內角和，即

θ+r=60°

(10)

由式(9)、(10)得折射角r=15°，再根據折射率公式有

點評：這種方法充分應用EF=EO+OF=EP+PF，結合反射定律，列出等式求出θ角的大小，再應用外角與內角和的關系求出r的大小.整個過程中所作的輔助線少，用到的都是最簡單的數學知識，應該說達到了用簡單知識解決復雜問題的要求.

方法3：應用正弦定理求解

如圖3，透明物體內部的光路為折線MPN.設在M點處，入射角為i，折射角為r，在N點射出∠ONP為r′，根據反射定律有，∠MPE=∠NPF=θ.由題意知道∠MOA=60°，∠NOB=30°.根據三角形外角等于相臨兩內角和得

r+θ=60°

(11)

r′+30°=θ

(12)

在△MOP中由正弦定理得

(13)

同理在△ONP中由正弦定理得

(14)

由式(13)、(14)得

r=r′

(15)

由式(11)、(12)、(15)可以求得r=15°，再根據折射率公式有

代入數據得

點評：求證r=r′的關系時，除了用到正弦定理、光的反射定律之外，并未有任何的附加條件.而正弦定理、光的反射定律都具有普遍性，所以,解題過程中得到的r=r′也具有普遍性.即在半圓形介質中，光線進入介質經底面反射再折射出來，也和圓形介質一樣有這樣一個普遍結論即進入介質的入射角和最后出介質的折射角大小總是相等.