對一道圓周問題的拓展

何曉

(河北武邑中學 河北 衡水 053400)

在圓周運動中，涉及靜摩擦力方向的問題學生往往感到很頭疼．現針對一題逐步展開，請看下面的原題．

【題目】小物塊A放在水平轉盤上，如圖1(a)，A到圓心的距離為r，隨盤同步做勻速圓周運動，那么,這時候是由哪個力來充當A的向心力呢？

圖1

小物塊A的受力如圖1(b)所示.

在豎直方向上：重力與支持力抵消．

在水平方向上靜摩擦力充當向心力，即

f靜=mω2r

由此可知,隨著角速度的增大，靜摩擦力也在增大，當ω增大到某值時，靜摩擦力也增為最大值，最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力．設此時的角速度為ωA，即

拓展一：如果在轉盤的同側放上另外一個物體B(A，B與圓心在一條連線上),B到圓心的距離為2r(動摩擦因數與A相同),又是哪個力來充當B的向心力呢？

很明顯B做圓周運動的向心力由B受到的靜摩擦力來提供．隨著角速度的增大，靜摩擦力也在增大，當ω增大到某值時，靜摩擦力也增為最大值．設此時的角速度為ωB，同理得

拓展二：如果將A，B用一根細繩連接，隨著角速度的增大,向心力分別由誰來提供呢？

圖2

fA=mω2rfB=mω22r

圖3

向心力

FB=fm+T=mω22r

FA=fA-T=mω2r

由此可得

T=2mω2r-μmg

fA=3mω2r-μmg

即物塊B受到的摩擦力為μmg保持不變，物塊A受到的靜摩擦力fA和繩中拉力T均隨角速度的增大而增大．

拓展三：如果物塊B放在轉盤的另一側呢？

fA=mω2rfB=mω22r

圖4

向心力

FB=fm+T=mω22r

FA=fA+T=mω2r

由此可得

T=2mω2r-μmg

fA=μmg-mω2r

即物塊B受到的摩擦力為μmg保持不變，物塊A受到的靜摩擦力fA隨角速度的增大而減小，繩中拉力T隨角速度的增大而增大．

FB=fm+T=mω22r

T=2mω2r-μmg>μmg

而

所以，此時物塊A所受的靜摩擦力方向由圓心O沿半徑方向指向A的外側，A，B兩物塊的受力情況如圖5所示.

圖5

FA=T-fA=mω2r

則有

fA=T-mω2r=mω2r-μmg

可知，角速度在此范圍內時物塊B受到的靜摩擦力為μmg保持不變，物塊A受到的靜摩擦力和繩中拉力T隨角速度的增大而增大．

拓展二中，如無細繩B更容易滑動，所以是B拉著A向外滑動，A，B兩物塊的受力如圖6所示.

圖6

所以有

T+fm=mω22rfm-T=mω2r

解得

拓展三中，同理，當B拉著A將要滑動時，A,B兩物塊的受力如圖7所示.

圖7

所以有

T+fm=mω22r

T-fm=mω2r

解得