對(duì)一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程模型的討論*

張國(guó)鋒 周越

( 北京航空航天大學(xué)物理科學(xué)與核能工程學(xué)院物理系 北京 100191)( 北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院 北京 100083)

準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程是熱力學(xué)中一種有重要意義的理想過(guò)程. 因?yàn)樵跍?zhǔn)靜態(tài)過(guò)程中，系統(tǒng)連續(xù)經(jīng)過(guò)的每個(gè)中間態(tài)都可以近似地看成平衡態(tài), 因此，可以用統(tǒng)一的宏觀參量進(jìn)行描述, 從而可以方便地對(duì)熱力學(xué)過(guò)程中系統(tǒng)做功和熱傳遞進(jìn)行定量計(jì)算. 在普通物理范圍內(nèi), 對(duì)熱力學(xué)過(guò)程的討論大都基于準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程.

在講解準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程時(shí), 不少教材都舉如下模型為例[1～5]，一個(gè)氣缸的活塞上放置有大量很小的砝碼或者沙粒, 如果將小砝碼或沙粒足夠緩慢地逐個(gè)去掉, 則氣缸內(nèi)的氣體緩慢膨脹的過(guò)程可以視為準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程. 為了更直觀地說(shuō)明準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程是如何取得的, 部分教材進(jìn)一步做了如下論證[1～3],如果將活塞上的大砝碼一次性去掉, 最開(kāi)始只有活塞附近的氣體開(kāi)始膨脹, 減壓的影響以聲速在氣缸中傳播, 經(jīng)過(guò)復(fù)雜的弛豫過(guò)程, 最終系統(tǒng)達(dá)到了新的平衡態(tài)，如圖1(a). 在中間過(guò)程氣缸內(nèi)的氣體處于非平衡態(tài), 各處沒(méi)有統(tǒng)一的壓強(qiáng), 因此,整個(gè)過(guò)程只有初態(tài)和末態(tài)可以在p-V圖上表示出來(lái)，如圖2(a); 如果把大砝碼分成兩個(gè), 去掉一個(gè)后,待系統(tǒng)恢復(fù)平衡再去掉另一個(gè)，如圖1(b), 則在p-V圖上除了初態(tài)和末態(tài)外還可再標(biāo)出一個(gè)中間點(diǎn)，如圖2(b); 如果把砝碼分為更多份并依次去掉，如圖1(c), 則在p-V圖上就可以得到一系列的中間點(diǎn)，如圖2(c); 以此類(lèi)推, 如果將砝碼無(wú)限地分下去, 則在p-V圖上系統(tǒng)從初態(tài)經(jīng)過(guò)一條連續(xù)的曲線到達(dá)末態(tài)，如圖2(d), 這樣就構(gòu)成了一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程.

圖1

圖2

這一論證雖然簡(jiǎn)單、直觀, 但實(shí)則存在漏洞, 這可以用普通物理教材中常見(jiàn)的理想氣體絕熱自由膨脹過(guò)程來(lái)說(shuō)明.

圖3

考慮一個(gè)絕熱的氣缸, 一個(gè)隔板將氣缸等分為兩部分, 下部有一定物質(zhì)的量的理想氣體, 上部為真空. 如果將隔板撤去, 則氣缸下部的理想氣體會(huì)通過(guò)輸運(yùn)過(guò)程擴(kuò)散到上部, 在氣缸中形成宏觀的定向運(yùn)動(dòng). 最后，氣體宏觀運(yùn)動(dòng)的能量通過(guò)分子的碰撞過(guò)程轉(zhuǎn)化為無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)的能量, 氣缸內(nèi)的氣體重新恢復(fù)平衡狀態(tài)，如圖3(a), 這時(shí)只有初態(tài)和末態(tài)可以標(biāo)示在p-V圖上，如圖2(a). 如果在氣缸上部中央再加上一個(gè)隔板, 去掉第一個(gè)隔板后,待氣體恢復(fù)平衡再去掉第二個(gè)隔板,如圖3(b), 則在p-V圖上就可以增加一個(gè)中間點(diǎn)，如圖2(b); 以此類(lèi)推, 如果在氣缸中添加更多的隔板, 并依次去掉，如圖3(c), 在p-V圖上就可以得到更多的中間點(diǎn)，如圖2(c); 以此類(lèi)推, 若令隔板數(shù)量n→∝, 根據(jù)前面提到的論證方法, 在p-V圖上系統(tǒng)將從初態(tài)經(jīng)過(guò)一條連續(xù)的曲線到達(dá)末態(tài)，如圖2(d). 這樣, 系統(tǒng)對(duì)外做功的值等于曲線下方的面積. 然而, 無(wú)論氣缸中隔板的數(shù)目有多少, 理想氣體始終是向真空中膨脹, 因此，對(duì)外做功應(yīng)為零. 產(chǎn)生這個(gè)矛盾的原因在于“連點(diǎn)成線”的假定存在問(wèn)題. 如果n個(gè)隔板在氣缸上部均勻排列, 初始時(shí)刻氣體的體積為V0, 去掉i個(gè)隔板后氣體體積為Vi, 則有

(1)

類(lèi)似地， 如果將活塞上的砝碼依次去掉, 處于平衡態(tài)的中間點(diǎn)在p-V圖上也是離散的, 那么，當(dāng)n→∝時(shí)該過(guò)程是否趨向于準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程呢?下面定量討論這一問(wèn)題. 在圖1中, 假定氣缸壁和活塞都是絕熱的, 截面積為S的活塞(質(zhì)量忽略不計(jì))上放置有總質(zhì)量為M的n個(gè)砝碼. 在初始時(shí)刻系統(tǒng)處于平衡狀態(tài), 活塞的高度為hn. 現(xiàn)將活塞上的砝碼依次去掉, 每去掉一個(gè)待系統(tǒng)恢復(fù)平衡后再去掉另一個(gè), 在去掉i個(gè)砝碼并重新恢復(fù)平衡后, 活塞的高度、氣缸內(nèi)的氣體壓強(qiáng)和溫度分別是hn-i,pn-i和Tn-i, 直到去掉全部砝碼為止. 氣缸內(nèi)的氣體在中間過(guò)程的一系列平衡態(tài)中滿足理想氣體狀態(tài)方程

pn-iVn-i=pn-iShn-i=νRTn-i

(2)

其中ν為氣缸內(nèi)氣體物質(zhì)的量,R為普適氣體常量. 在各個(gè)平衡態(tài), 活塞受到氣缸內(nèi)氣體的壓力, 外部大氣壓和砝碼的壓力保持靜止, 由力學(xué)平衡條件可得

pn-iS=p0S+(n-i)mg

(3)

在中間過(guò)程的各個(gè)平衡態(tài)之間氣缸內(nèi)的氣體處于非平衡態(tài), 沒(méi)有統(tǒng)一的壓強(qiáng), 但活塞受到的外部壓力是恒定的, 氣體的內(nèi)能變化量可以通過(guò)外界功來(lái)計(jì)算[6]. 因?yàn)閺囊粋€(gè)平衡態(tài)到另一個(gè)平衡態(tài)的過(guò)程中，活塞的高度由hn+1-i上升到hn-i, 同時(shí)活塞受到的外部壓力為p0S+(n-i)mg, 因此,這一過(guò)程中外界對(duì)氣體做功為

Wi=-[p0S+(n-i)mg](hn-i-hn+1-i)

(4)

而氣缸內(nèi)的氣體和外界沒(méi)有熱交換, 所以，外界對(duì)氣體做功等于氣體內(nèi)能的增量

νCVTn-i=νCVTn+1-i-[p0S+

(n-i)mg](hn-i-hn+1-i)

(5)

聯(lián)立式(2)、(3)和(5)可以得到遞推關(guān)系

(6)

定義無(wú)量綱數(shù)

則式(6)可以寫(xiě)作

(7)

(8)

當(dāng)Mg=(b-1)p0S時(shí)有

(9)

將式(7)、(9)代入式(8)可得

(10)

式(10)即整個(gè)過(guò)程的熵變表達(dá)式, 為n的減函數(shù). 下面計(jì)算n→∞時(shí)的熵變, 在這一條件下對(duì)數(shù)函數(shù)中的第二項(xiàng)是趨于零的, 因此,可以忽略對(duì)數(shù)函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的高階小量, 即做ln(1+x)～x的代換, 這樣得到

(11)

利用定積分的定義可得

νCVlnb-νCVlnb=0

(12)

因此, 在n→時(shí),該過(guò)程確實(shí)是趨于準(zhǔn)靜態(tài)的. 同樣是狀態(tài)參量經(jīng)歷一系列微小的改變, 為何兩個(gè)系統(tǒng)在n→的極限下具有截然不同的性質(zhì)呢? 準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程要求任一中間態(tài)無(wú)限地接近平衡態(tài), 因此，體系內(nèi)部以及體系和外界之間必須滿足力學(xué)平衡條件, 即各處壓強(qiáng)之差為無(wú)窮小. 如果增加小砝碼分割的數(shù)量, 可以以任意精度趨近于這一要求. 而對(duì)于自由膨脹過(guò)程, 在去掉隔板的瞬間, 新增加的空間仍處于真空狀態(tài), 壓強(qiáng)為零, 這與新增加的體積大小無(wú)關(guān), 因此，即使n→也無(wú)法使所有中間狀態(tài)都無(wú)限接近于平衡態(tài). 同時(shí)還可以看到, 要想達(dá)到理想的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程, 外界參量不能存在任何有限大的躍變, 所謂過(guò)程進(jìn)行得緩慢, 不僅是對(duì)整個(gè)過(guò)程而言, 對(duì)其中的任一微小過(guò)程也應(yīng)成立. 所以, 在準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程中, 外界參量的變化應(yīng)該是足夠緩慢且連續(xù)的.也就是說(shuō)，將t時(shí)刻的體積V分割成許多相等的小體積Vi，在靜態(tài)中，各Vi中的分子數(shù)、p及T應(yīng)相同；在準(zhǔn)靜態(tài)中，各Vi中的分子數(shù)，p及T也應(yīng)近似相同，所以，在氣體膨脹的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程中，不應(yīng)移去隔板，而應(yīng)緩慢將隔板外推.

參考文獻(xiàn)

1 趙凱華,羅蔚茵.熱學(xué)(第二版).北京：高等教育出版社,2005.134～135

2 施建青.大學(xué)物理學(xué)(上冊(cè)).北京：高等教育出版社,2009.202～203

3 張文杰,曹陽(yáng).大學(xué)物理教程.北京：中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社,2009.130～131

4 祝之光.物理學(xué)(第三版).北京：高等教育出版社,2009.133～135

5 張玉民.熱學(xué)(第二版).北京：科學(xué)出版社,2006.18～19

6 張學(xué)斌,張公元.關(guān)于熱力學(xué)中體積功的計(jì)算.大學(xué)物理,1995,14(6)：16～18