對一個準靜態過程模型的討論*

張國鋒 周越

( 北京航空航天大學物理科學與核能工程學院物理系 北京 100191)( 北京林業大學理學院 北京 100083)

準靜態過程是熱力學中一種有重要意義的理想過程. 因為在準靜態過程中，系統連續經過的每個中間態都可以近似地看成平衡態, 因此，可以用統一的宏觀參量進行描述, 從而可以方便地對熱力學過程中系統做功和熱傳遞進行定量計算. 在普通物理范圍內, 對熱力學過程的討論大都基于準靜態過程.

在講解準靜態過程時, 不少教材都舉如下模型為例[1～5]，一個氣缸的活塞上放置有大量很小的砝碼或者沙粒, 如果將小砝碼或沙粒足夠緩慢地逐個去掉, 則氣缸內的氣體緩慢膨脹的過程可以視為準靜態過程. 為了更直觀地說明準靜態過程是如何取得的, 部分教材進一步做了如下論證[1～3],如果將活塞上的大砝碼一次性去掉, 最開始只有活塞附近的氣體開始膨脹, 減壓的影響以聲速在氣缸中傳播, 經過復雜的弛豫過程, 最終系統達到了新的平衡態，如圖1(a). 在中間過程氣缸內的氣體處于非平衡態, 各處沒有統一的壓強, 因此,整個過程只有初態和末態可以在p-V圖上表示出來，如圖2(a); 如果把大砝碼分成兩個, 去掉一個后,待系統恢復平衡再去掉另一個，如圖1(b), 則在p-V圖上除了初態和末態外還可再標出一個中間點，如圖2(b); 如果把砝碼分為更多份并依次去掉，如圖1(c), 則在p-V圖上就可以得到一系列的中間點，如圖2(c); 以此類推, 如果將砝碼無限地分下去, 則在p-V圖上系統從初態經過一條連續的曲線到達末態，如圖2(d), 這樣就構成了一個準靜態過程.

圖1

圖2

這一論證雖然簡單、直觀, 但實則存在漏洞, 這可以用普通物理教材中常見的理想氣體絕熱自由膨脹過程來說明.

圖3

考慮一個絕熱的氣缸, 一個隔板將氣缸等分為兩部分, 下部有一定物質的量的理想氣體, 上部為真空. 如果將隔板撤去, 則氣缸下部的理想氣體會通過輸運過程擴散到上部, 在氣缸中形成宏觀的定向運動. 最后，氣體宏觀運動的能量通過分子的碰撞過程轉化為無規運動的能量, 氣缸內的氣體重新恢復平衡狀態，如圖3(a), 這時只有初態和末態可以標示在p-V圖上，如圖2(a). 如果在氣缸上部中央再加上一個隔板, 去掉第一個隔板后,待氣體恢復平衡再去掉第二個隔板,如圖3(b), 則在p-V圖上就可以增加一個中間點，如圖2(b); 以此類推, 如果在氣缸中添加更多的隔板, 并依次去掉，如圖3(c), 在p-V圖上就可以得到更多的中間點，如圖2(c); 以此類推, 若令隔板數量n→∝, 根據前面提到的論證方法, 在p-V圖上系統將從初態經過一條連續的曲線到達末態，如圖2(d). 這樣, 系統對外做功的值等于曲線下方的面積. 然而, 無論氣缸中隔板的數目有多少, 理想氣體始終是向真空中膨脹, 因此，對外做功應為零. 產生這個矛盾的原因在于“連點成線”的假定存在問題. 如果n個隔板在氣缸上部均勻排列, 初始時刻氣體的體積為V0, 去掉i個隔板后氣體體積為Vi, 則有

(1)

類似地， 如果將活塞上的砝碼依次去掉, 處于平衡態的中間點在p-V圖上也是離散的, 那么，當n→∝時該過程是否趨向于準靜態過程呢?下面定量討論這一問題. 在圖1中, 假定氣缸壁和活塞都是絕熱的, 截面積為S的活塞(質量忽略不計)上放置有總質量為M的n個砝碼. 在初始時刻系統處于平衡狀態, 活塞的高度為hn. 現將活塞上的砝碼依次去掉, 每去掉一個待系統恢復平衡后再去掉另一個, 在去掉i個砝碼并重新恢復平衡后, 活塞的高度、氣缸內的氣體壓強和溫度分別是hn-i,pn-i和Tn-i, 直到去掉全部砝碼為止. 氣缸內的氣體在中間過程的一系列平衡態中滿足理想氣體狀態方程

pn-iVn-i=pn-iShn-i=νRTn-i

(2)

其中ν為氣缸內氣體物質的量,R為普適氣體常量. 在各個平衡態, 活塞受到氣缸內氣體的壓力, 外部大氣壓和砝碼的壓力保持靜止, 由力學平衡條件可得

pn-iS=p0S+(n-i)mg

(3)

在中間過程的各個平衡態之間氣缸內的氣體處于非平衡態, 沒有統一的壓強, 但活塞受到的外部壓力是恒定的, 氣體的內能變化量可以通過外界功來計算[6]. 因為從一個平衡態到另一個平衡態的過程中，活塞的高度由hn+1-i上升到hn-i, 同時活塞受到的外部壓力為p0S+(n-i)mg, 因此,這一過程中外界對氣體做功為

Wi=-[p0S+(n-i)mg](hn-i-hn+1-i)

(4)

而氣缸內的氣體和外界沒有熱交換, 所以，外界對氣體做功等于氣體內能的增量

νCVTn-i=νCVTn+1-i-[p0S+

(n-i)mg](hn-i-hn+1-i)

(5)

聯立式(2)、(3)和(5)可以得到遞推關系

(6)

定義無量綱數

則式(6)可以寫作

(7)

(8)

當Mg=(b-1)p0S時有

(9)

將式(7)、(9)代入式(8)可得

(10)

式(10)即整個過程的熵變表達式, 為n的減函數. 下面計算n→∞時的熵變, 在這一條件下對數函數中的第二項是趨于零的, 因此,可以忽略對數函數冪級數展開式中的高階小量, 即做ln(1+x)～x的代換, 這樣得到

(11)

利用定積分的定義可得

νCVlnb-νCVlnb=0

(12)

因此, 在n→時,該過程確實是趨于準靜態的. 同樣是狀態參量經歷一系列微小的改變, 為何兩個系統在n→的極限下具有截然不同的性質呢? 準靜態過程要求任一中間態無限地接近平衡態, 因此，體系內部以及體系和外界之間必須滿足力學平衡條件, 即各處壓強之差為無窮小. 如果增加小砝碼分割的數量, 可以以任意精度趨近于這一要求. 而對于自由膨脹過程, 在去掉隔板的瞬間, 新增加的空間仍處于真空狀態, 壓強為零, 這與新增加的體積大小無關, 因此，即使n→也無法使所有中間狀態都無限接近于平衡態. 同時還可以看到, 要想達到理想的準靜態過程, 外界參量不能存在任何有限大的躍變, 所謂過程進行得緩慢, 不僅是對整個過程而言, 對其中的任一微小過程也應成立. 所以, 在準靜態過程中, 外界參量的變化應該是足夠緩慢且連續的.也就是說，將t時刻的體積V分割成許多相等的小體積Vi，在靜態中，各Vi中的分子數、p及T應相同；在準靜態中，各Vi中的分子數，p及T也應近似相同，所以，在氣體膨脹的準靜態過程中，不應移去隔板，而應緩慢將隔板外推.

參考文獻

1 趙凱華,羅蔚茵.熱學(第二版).北京：高等教育出版社,2005.134～135

2 施建青.大學物理學(上冊).北京：高等教育出版社,2009.202～203

3 張文杰,曹陽.大學物理教程.北京：中國農業大學出版社,2009.130～131

4 祝之光.物理學(第三版).北京：高等教育出版社,2009.133～135

5 張玉民.熱學(第二版).北京：科學出版社,2006.18～19

6 張學斌,張公元.關于熱力學中體積功的計算.大學物理,1995,14(6)：16～18