一道變力做功問題兩種方法的比較及分析

蔡莉莉

(華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部 北京 101601)

1 引言

功是物理學(xué)中非常重要又經(jīng)常涉及的物理概念.無論是大學(xué)物理還是高中物理關(guān)于功的計算都是力學(xué)中的一個重點，就高中階段而言，按考試說明和教學(xué)大綱要求，不僅要讓學(xué)生正確理解功的物理意義，同時必須掌握功的計算方法.而高中物理課本中給出的功的計算公式W=Fscosθ僅適用于恒力做功的計算，對于變力做功的問題，由于中學(xué)生不具備微積分知識，因此,通常采用一些間接的方法，如圖像法、平均力法、動能定理法、功能原理法[1].這些間接的方法并不適用于所有變力做功的問題，有的問題可能用這些方法結(jié)果正確，但是分析過程欠妥.大學(xué)物理中關(guān)于做功的計算往往涉及到變力做功，因而需要利用微積分的概念來分析，而剛剛接觸大學(xué)物理的大一學(xué)生習(xí)慣用中學(xué)思維看待問題以及用中學(xué)物理的解題方法解決大學(xué)物理的問題，在某種程度上已形成思維定勢，這樣，必然會出現(xiàn)錯誤的解題方法.

以下我們通過具體實例來說明在處理變力做功問題中，這種思維定勢帶來的弊端.

2 問題分析

【例1】如圖1所示，有一面積為50 m2的地下蓄水池，水深為1.5 m，水面至地面的距離為5 m，求將池中的水抽到地面需要做的功[2].

圖1

解析：這是大學(xué)物理中變力做功的一道典型問題，在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生利用功能原理求解，即A=ΔE.將全部水看成一個整體，水全部抽到地面時，動能沒有變化，只看重心的變化，很明顯當(dāng)水全部抽到地面后重心上升了

Δh=5.75 m

故機(jī)械能的變化量為

ΔE=ΔEP=mgΔh

因此,水抽到地面需要做功為

A=mgΔh=ρShgΔh

代入數(shù)據(jù)得

A=4.2×106J

上述分析和求解過程被相當(dāng)多的中學(xué)物理教師所認(rèn)可，在網(wǎng)上搜索也可見到諸多類似的例題及相似的分析方法[3].如果該題放在中學(xué)物理中，只能采用功能原理來求解，但是,當(dāng)我們在大學(xué)物理中,學(xué)完變力做功并具備微積分知識后，就可以按照大學(xué)物理的方法求解.這是一個標(biāo)準(zhǔn)變力做功問題，因為池中的水是一點點抽上去的，也就是說在抽水的過程中水的質(zhì)量一直是變量，因此，最佳處理方法應(yīng)該取微元，以下為正確解法.

正確解法： 以蓄水池底部為坐標(biāo)原點，向上為x軸正向，離地面x處，取高度為dx的水作為微元，先計算將這一高度為dx的水抽到地面所做的元功為

dA=ρSg(h-x)dx

其中ρ為水的密度,S為面積，h為水池深度，則將全部水抽到地面做的總功為

其中h1為水深，代入數(shù)據(jù)得

A=4.2×106J

雖然利用功能原理和變力做功定義得出的結(jié)果相同，但是仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)兩種解法的思維形式完全不同，功能原理認(rèn)為抽水的過程水的質(zhì)量保持不變，將水看作一整體，而用變力做功的定義恰恰與之相反.如果這種解法對于該題勉強(qiáng)可以接受的話，那么,我們?nèi)绻麑⑿钏氐男螤钣删匦巫優(yōu)椴灰?guī)則形狀，再用功能原理來求，會出現(xiàn)一個新的問題，水被抽到地面后重心的變化將是一個難題，而如果采用變力做功的定義則問題迎刃而解.

【例2】蓄水池為一個半球體,如圖2，其他條件不變，深度(即半徑)仍為6.5 m，水面距地面仍5 m，求將這池水吸到地面，需要做多少功？

圖2

解析：按變力做功積分的方法，則與上題解法相同，僅元功對應(yīng)的面積S稍作變化

S=π[R2-(R-x)2]

以蓄水池最低點為坐標(biāo)原點，向上為x軸正向，離地面x處，取高度為dx的水作為微元，將這一高度為dx的水抽到地面所做的元功為

dA=ρSg(R-x)dx=

ρπ2Rx-x2g(R-x)dx

將全部水抽到地面做的功為

代入數(shù)據(jù)得

A=2.3×106J

通過上述實例的分析可見，解決變力做功的最佳途徑還是結(jié)合高等數(shù)學(xué)的微積分來處理，這就要求教師在教學(xué)中要注重引導(dǎo)學(xué)生正確分析問題的方法，讓學(xué)生盡可能快地拋棄中學(xué)教學(xué)中用功能原理求解變力做功的思維定勢.

存在疑問的還有諸如下述問題，質(zhì)量為2 kg的均勻鏈條長為2 m,自然堆放在光滑的水平面上,用力F豎直向上勻速提起此鏈條,已知提起鏈條的速度v=6 m/s,求該鏈條全部被提起時拉力所做的功.該問題的解決方法在中學(xué)中也常出現(xiàn)錯誤的解法，即用功能原理方法，當(dāng)鏈條剛被全部提起時，重心升高了1 m，故機(jī)械能的變化量為

ΔE=ΔEP=mgΔh

代入數(shù)據(jù)得

A=19.6 J

因此，上提過程拉力做的功就等于機(jī)械能的增量

A=mgΔh

代入數(shù)據(jù)得

A=19.6 J

當(dāng)我們在大學(xué)物理中給出了變力做功的定義形式后，發(fā)現(xiàn)這種做法存在問題，鏈條雖然做勻速運(yùn)動，但卻是依次從桌面被提起參與勻速運(yùn)動，鏈條的質(zhì)量在不斷變化，動能也發(fā)生了變化，因此,認(rèn)為鏈條動能不變是錯誤的.同時在鏈條運(yùn)動過程中，鏈條間的張力在做功，即要考慮內(nèi)力做功問題，因此,采用功能原理求解必須考慮內(nèi)力做功，不能單純看質(zhì)心的變化.實際上類似的問題不應(yīng)該放在中學(xué)物理習(xí)題中，它完全超出了中學(xué)物理的要求，只有在大學(xué)階段學(xué)習(xí)了變力做功知識后方可求解[4].

3 結(jié)論

總之，大學(xué)物理課程是中學(xué)物理的延續(xù)、深化和拓展，和中學(xué)物理之間有很大的區(qū)別，中學(xué)物理課程中的知識多涉及特殊情況下的理想模型，例如,勻加速直線運(yùn)動、恒力做功和變化的電磁場等.鑒于此，大學(xué)物理的學(xué)習(xí)要以高等數(shù)學(xué)為工具考慮問題，利用微積分和矢量等解決大學(xué)物理中的一般化問題.因此，在大學(xué)物理教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生在處理問題時始終以定義為中心，這樣思路簡單、嚴(yán)謹(jǐn)，不易出錯.

參考文獻(xiàn)

1 孟藍(lán)宏.變力做功的幾種解題方法.物理教學(xué)，2009，31(2)：45～47

2 吳百詩.大學(xué)物理(上)(第三次修訂本).西安：西安交通大學(xué)出版社，2008，62

3 李建華.變力做功問題歸類例析.物理教學(xué)探討，2007，25(10)：5～8

4 龔勁濤，馮文林.關(guān)于一道變力做功問題的錯解分析.物理教師，2011，32(6)：12