一道變力做功問題兩種方法的比較及分析

蔡莉莉

(華北科技學院基礎部 北京 101601)

1 引言

功是物理學中非常重要又經常涉及的物理概念.無論是大學物理還是高中物理關于功的計算都是力學中的一個重點，就高中階段而言，按考試說明和教學大綱要求，不僅要讓學生正確理解功的物理意義，同時必須掌握功的計算方法.而高中物理課本中給出的功的計算公式W=Fscosθ僅適用于恒力做功的計算，對于變力做功的問題，由于中學生不具備微積分知識，因此,通常采用一些間接的方法，如圖像法、平均力法、動能定理法、功能原理法[1].這些間接的方法并不適用于所有變力做功的問題，有的問題可能用這些方法結果正確，但是分析過程欠妥.大學物理中關于做功的計算往往涉及到變力做功，因而需要利用微積分的概念來分析，而剛剛接觸大學物理的大一學生習慣用中學思維看待問題以及用中學物理的解題方法解決大學物理的問題，在某種程度上已形成思維定勢，這樣，必然會出現錯誤的解題方法.

以下我們通過具體實例來說明在處理變力做功問題中，這種思維定勢帶來的弊端.

2 問題分析

【例1】如圖1所示，有一面積為50 m2的地下蓄水池，水深為1.5 m，水面至地面的距離為5 m，求將池中的水抽到地面需要做的功[2].

圖1

解析：這是大學物理中變力做功的一道典型問題，在教學過程中發現很多學生利用功能原理求解，即A=ΔE.將全部水看成一個整體，水全部抽到地面時，動能沒有變化，只看重心的變化，很明顯當水全部抽到地面后重心上升了

Δh=5.75 m

故機械能的變化量為

ΔE=ΔEP=mgΔh

因此,水抽到地面需要做功為

A=mgΔh=ρShgΔh

代入數據得

A=4.2×106J

上述分析和求解過程被相當多的中學物理教師所認可，在網上搜索也可見到諸多類似的例題及相似的分析方法[3].如果該題放在中學物理中，只能采用功能原理來求解，但是,當我們在大學物理中,學完變力做功并具備微積分知識后，就可以按照大學物理的方法求解.這是一個標準變力做功問題，因為池中的水是一點點抽上去的，也就是說在抽水的過程中水的質量一直是變量，因此，最佳處理方法應該取微元，以下為正確解法.

正確解法： 以蓄水池底部為坐標原點，向上為x軸正向，離地面x處，取高度為dx的水作為微元，先計算將這一高度為dx的水抽到地面所做的元功為

dA=ρSg(h-x)dx

其中ρ為水的密度,S為面積，h為水池深度，則將全部水抽到地面做的總功為

其中h1為水深，代入數據得

A=4.2×106J

雖然利用功能原理和變力做功定義得出的結果相同，但是仔細分析發現兩種解法的思維形式完全不同，功能原理認為抽水的過程水的質量保持不變，將水看作一整體，而用變力做功的定義恰恰與之相反.如果這種解法對于該題勉強可以接受的話，那么,我們如果將蓄水池的形狀由矩形變為不規則形狀，再用功能原理來求，會出現一個新的問題，水被抽到地面后重心的變化將是一個難題，而如果采用變力做功的定義則問題迎刃而解.

【例2】蓄水池為一個半球體,如圖2，其他條件不變，深度(即半徑)仍為6.5 m，水面距地面仍5 m，求將這池水吸到地面，需要做多少功？

圖2

解析：按變力做功積分的方法，則與上題解法相同，僅元功對應的面積S稍作變化

S=π[R2-(R-x)2]

以蓄水池最低點為坐標原點，向上為x軸正向，離地面x處，取高度為dx的水作為微元，將這一高度為dx的水抽到地面所做的元功為

dA=ρSg(R-x)dx=

ρπ2Rx-x2g(R-x)dx

將全部水抽到地面做的功為

代入數據得

A=2.3×106J

通過上述實例的分析可見，解決變力做功的最佳途徑還是結合高等數學的微積分來處理，這就要求教師在教學中要注重引導學生正確分析問題的方法，讓學生盡可能快地拋棄中學教學中用功能原理求解變力做功的思維定勢.

存在疑問的還有諸如下述問題，質量為2 kg的均勻鏈條長為2 m,自然堆放在光滑的水平面上,用力F豎直向上勻速提起此鏈條,已知提起鏈條的速度v=6 m/s,求該鏈條全部被提起時拉力所做的功.該問題的解決方法在中學中也常出現錯誤的解法，即用功能原理方法，當鏈條剛被全部提起時，重心升高了1 m，故機械能的變化量為

ΔE=ΔEP=mgΔh

代入數據得

A=19.6 J

因此，上提過程拉力做的功就等于機械能的增量

A=mgΔh

代入數據得

A=19.6 J

當我們在大學物理中給出了變力做功的定義形式后，發現這種做法存在問題，鏈條雖然做勻速運動，但卻是依次從桌面被提起參與勻速運動，鏈條的質量在不斷變化，動能也發生了變化，因此,認為鏈條動能不變是錯誤的.同時在鏈條運動過程中，鏈條間的張力在做功，即要考慮內力做功問題，因此,采用功能原理求解必須考慮內力做功，不能單純看質心的變化.實際上類似的問題不應該放在中學物理習題中，它完全超出了中學物理的要求，只有在大學階段學習了變力做功知識后方可求解[4].

3 結論

總之，大學物理課程是中學物理的延續、深化和拓展，和中學物理之間有很大的區別，中學物理課程中的知識多涉及特殊情況下的理想模型，例如,勻加速直線運動、恒力做功和變化的電磁場等.鑒于此，大學物理的學習要以高等數學為工具考慮問題，利用微積分和矢量等解決大學物理中的一般化問題.因此，在大學物理教學中教師要引導學生在處理問題時始終以定義為中心，這樣思路簡單、嚴謹，不易出錯.

參考文獻

1 孟藍宏.變力做功的幾種解題方法.物理教學，2009，31(2)：45～47

2 吳百詩.大學物理(上)(第三次修訂本).西安：西安交通大學出版社，2008，62

3 李建華.變力做功問題歸類例析.物理教學探討，2007，25(10)：5～8

4 龔勁濤，馮文林.關于一道變力做功問題的錯解分析.物理教師，2011，32(6)：12