對一道競賽題的探討

瞿永明 黃尚鵬

(監利縣朱河中學 湖北 荊州 433325)

題目：(2006年第23屆全國中學生物理競賽復賽第5題)磁懸浮列車是一種高速運載工具．它具有兩個重要系統：一是懸浮系統，利用磁力(可由超導電磁鐵提供)使車體在導軌上懸浮起來與軌道脫離接觸；另一是驅動系統，在沿軌道上安裝的三相繞組(線圈)中，通上三相交流電，產生隨時間、空間作周期性變化的磁場，磁場與固連在車體下端的感應金屬板相互作用，使車體獲得牽引力．

為了有助于了解磁懸浮列車的牽引力的來由，我們求解下面的問題.

設有一與軌道平面垂直的磁場，磁感應強度B隨時間t和空間位置x變化規律為

B(x,t)=B0cos(ωt-kx)

式中B0，ω，k均為已知常量，坐標軸x與軌道平行．在任一時刻t，軌道平面上磁場沿x方向的分布是不均勻的，如圖1所示．圖中xOy平面代表軌道平面，“×”表示磁場的方向垂直xOy平面指向紙里，“·”表示磁場的方向垂直xOy平面指向紙外，規定指向紙外時B取正值．“×”和“·”的疏密程度表示沿著x軸B的大小分布．一與軌道平面平行的具有一定質量的金屬矩形框MNPQ處在該磁場中，已知與軌道垂直的金屬框邊MN的長度為l，與軌道平行的金屬框邊NP的長度為d，金屬框的電阻為R，不計金屬框的電感．

(2)試討論安培力的大小與線框幾何尺寸的關系．

圖1

分析：題給的磁場B(x,t)隨時間和空間的變化具有周期性，在某時刻t，磁場的空間分布為

B(x,t)=B0cos(ωt-kx)

在t+Δt時刻，磁場的空間分布為

B(x,t+Δt)=B0cos[ω(t+Δt)-kx]=

平移速度v0為恒量．

由此可見，題給出的磁場

B(x,t)=B0cos(ωt-kx)

可視為一在空間按余弦規律分布的非均勻磁場區域以速度v0沿x軸的正方向平移．如果金屬框移動的速度小于磁場區域平移的速度，那么通過金屬框的磁通量將隨時間發生變化，從而在金屬框中產生感應電流，感應電流將受到磁場的安培力作用.

下面筆者通過兩種方法來計算安培力的大小．

方法一：設時刻t穿過金屬框的磁通量為Φ(規定由紙內到紙外Φ為正)，經過一很短時間間隔Δt，整個磁場分布區域向x方向移動了一段距離v0Δt，金屬框向x方向移動了一段距離vΔt，其結果是：金屬框MN邊左側掃過面積為(v0-v)lΔt，有B(x,t)(v0-v)lΔt磁通量移進了金屬框，PQ邊左側掃過面積為(v0-v)lΔt，有B(x+d,t)(v0-v)lΔt磁通量移出了金屬框，故在t+Δt時刻，通過金屬框的磁通量為

Φ′=Φ+B(x,t)(v0-v)lΔt-

B(x+d,t)(v0-v)lΔt

在Δt時間間隔內，通過金屬框的磁通量增量為

ΔΦ=[B(x,t)-B(x+d,t)]l(v0-v)Δt

規定框內的感應電動勢E(t)沿順時針方向為正，則t時刻的感應電動勢

故

E(t)=[B(x,t)-B(x+d,t)]l(v0-v)

規定向右的力為正，則磁場作用于金屬框MN邊的安培力為i(t)B(x,t)l，由于PQ邊和MN邊的電流方向相反，磁場作用于金屬框PQ邊的安培力為-i(t)B(x+d,t)l，故金屬框的安培力的合力

F(t)=i(t)B(x,t)l-i(t)B(x+d,t)l

由以上各式得

{cos(ωt-kx)-cos[(ωt-kx)-kd]}2

再利用三角公式得

其中

F0稱為安培力F(t)的幅度．從上式可以看出，安培力F(t)在F0的幅度內隨時間變化，但其值不會小于零，表示磁場作用于金屬框的安培力始終向右．

方法二：在時刻t，金屬框沿x軸正方向移動的速度為v，磁場區域以速度v0(v0>v)沿x軸的正方向平移，則金屬框相對磁場區域沿x軸負方向移動的速度為v0-v，金屬框MN邊和PQ邊因切割磁感線而產生動生電動勢，規定框內的感應電動勢E(t)沿順時針方向為正，則金屬框MN邊位于坐標x處產生的動生電動勢為

E1(t)=B(x,t)l(v0-v)

PQ邊位于坐標x+d處產生的動生電動勢為

E2(t)=-B(x+d,t)l(v0-v)

故框內的總感應電動勢為

E(t)=E1(t)+E2(t)=

[B(x,t)-B(x+d,t)]l(v0-v)

以下解法同方法一．

顯然，方法二較方法一更符合學生的認知水平，容易理解，且計算簡便，不失為求解本題的最佳方法．

那么安培力的大小與線框幾何尺寸的關系是怎樣的呢？我們只需討論安培力F(t)的幅度F0與線框幾何尺寸的關系．F0與金屬框長度l的平方成正比，與金屬框的寬度d有關.

F0=0

當d取其他值時，F0介于零與最大值F0 max之間．

參考文獻

1 張大同.高中物理競賽輔導.西安：陜西師范大學出版社,2000

2 趙凱華,陳熙謀.電磁學.北京：高等教育出版社，2006