磁場范圍的最小面積

鄔劍峰

(奉化中學 浙江 寧波 315500)

在平常教學過程中，筆者遇到這樣的一道題.

【題目】電子質量為m，電荷量為e，如圖1所示，從坐標原點O處沿xOy平面射入第一象限，射入時速度方向不同，速度大小均為v0．現在某一區域加一垂直于xOy平面的勻強磁場，磁感應強度為B，磁場方向垂直紙面向外.若這些電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏MN上，熒光屏與y軸平行.求：

(1)熒光屏上光斑分布的長度；

(2)所加磁場范圍的最小面積．

圖1

分析：(1)如圖2所示，求光斑分布長度，關鍵是找到兩個邊界點，初速度方向沿x軸正方向的電子，沿圓弧OB運動到P；初速度方向沿y軸正方向的電子，沿圓弧OC運動到Q．電子在磁場中的半徑為

由幾何關系可知

圖2

(2)沿任一方向射入第一象限的電子經磁場偏轉后都能垂直打到熒光屏MN上，所加最小面積的磁場的邊界是以O′(0，R)為圓心，R為半徑的圓的一部分，如圖2中實線所示，所以磁場范圍的最小面積

筆者查閱了多本參考書和網上的解答，盡管解答的方法有所不同，但其所加磁場范圍的最小面積是跟上面的結論是一樣的，筆者認為這個問題還可以進一步探討．

要弄清這個問題，首先來要了解兩個推論(下面討論的磁場都為勻強磁場，且方向垂直紙面向外)：

(1)如果磁場區域(圓形)的半徑R1和電子在該磁場區域的偏轉半徑R2相等時，那么在磁場邊緣O點向各個方面發射的電子經磁場偏轉后，電子將沿同一方向運動．如圖3(a)所示．(利用電子入射點、磁場區域圓心、電子出射點和電子運動軌跡圓心構成菱形，即可證明此結論)

所加磁場的最小范圍為一“樹葉”形狀.

圖3

圖4

讓我們來看另一個推論：如圖5所示，在單邊界的磁場區域里，通過幾何關系可知，如果電子與邊界成θ角進入磁場，那么電子一定與邊界成θ角離開磁場．

圖5

圖6

結語：求解磁場區域的最小面積一般從找出邊界點或邊界線入手，然后再確定區域形狀，最后利用幾何關系求出相應面積，如果題目沒有特殊的要求，可以通過“割補”把整個區域進行分解，以求得最小面積．