雙向密加筋板強度公式的推導及其修正

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(武漢理工大學 交通學院，武漢 430063)

高速化和輕型化已成為船舶制造的發展趨勢。減小板的厚度對減輕結構重量效果顯著，但由此會引起板的穩定性、局部強度、局部振動性態的下降，焊接變形增大。針對這些問題，目前高速船廣泛采用了雙向密加筋板船體結構這種形式。由于雙向密加筋板結構形式和常規的結構形式不同，故設計中多根據設計者的經驗預選有關構件，再采用有限元方法進行強度校核。這既給設計者帶來諸多不便，也帶有較多的人為因素影響[1]。本文通過將雙向密加筋板模型簡化為正交異性板模型，將平衡方程進行無因次變換，最終利用各向同性板的彎曲要素表來確定雙向密加筋板中的最大應力值。

1 板材料屬性的轉換

運用力學方法，將縱、橫筋等效分攤在板上，從而將雙向密加筋板等效為理想的正交異性板。

1.1 符號含義

Asx、Asy——x、y方向筋的截面積；

nsx、nsy——x、y方向加筋數；

L、B、t——加筋板的長、寬、板厚；

νxy(νyx)——x(y)方向伸長在y(x)方向收縮的泊松比；

Gxy——兩個主方向x、y間夾角變化的剪切模數；

Dx、Dy——正交異性板x、y方向的抗彎剛度；

Ix、Iy——x、y方向加筋對中性軸的慣性矩；

zox、zoy——板中面到x、y方向加筋帶板中性軸的距離；

twx、twy——x、y方向加筋腹板的厚度；

hwx、hwy——x、y方向加筋腹板的高度；

bfx、tfx——x方向加筋翼板的寬度、厚度；

H——正交異性板的有效扭轉剛度；

M1、M2——正交異性板x、y方向最大彎矩；

Mx、My——各向同性板x、y方向最大彎矩。

1.2 彈性模量轉換

(1)

(2)

1.3 抗彎剛度和抗扭轉換

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

當為各向同性板時，則有

(12)

1.4 泊松比轉換

根據Betti能量互換定律的推理，作用在x方向的力使y方向發生的變形，等于作用在y方向的力使x方向發生的變形，則有：

(13)

(14)

2 雙向密加筋板強度公式推導及分析

2.1 強度公式推導

在均布載荷q作用下，正交異性板的彎曲微分方程式為

(15)

則式(15)轉換為

(16)

(17)

(18)

比較(18)和(19)可知，當γ1=γ2,即

(19)

時，正交異性板的彎曲要素可以借助各向同性板的彎曲要素準確地決定。當等式(19)不滿足時，對于正交異性板的近似解可以選出某個各向同性板的計算邊長比γ，借助于它使得正交異性板的彎曲要素以最小誤差決定。因此，設

w0=w1+w2

(20)

式中：w0——正交異性板撓函數(無因次函數)；

w1——各向同性板撓函數(無因次函數)；

w2——修正值(無因次函數)。

將式(20)代入式(18)有

(21)

因為函數w1由方程式

(22)

決定，所以(21)減去(22)后，得到有關w2的方程

(23)

所選擇的計算邊長比必須使得修正值w2為最小。對于一般的密加筋板而言，可近似認為γ1和γ2足夠接近，此修正值很小。采用伽遼金法來決定γ[3]，讓式(23)在第一次近似中的解恒等于零，得

(24)

將w1按照滿足相應邊界條件展開成三角級數的第一項，沿整個周界剛性固定的板有

w1=f1(1-cos2πε)(1-cos2πη)

(25)

(26)

將應力轉換為無因次坐標形式為

(27)

(28)

利用各向同性板的彎曲要素表，將應力用彎矩的形式表達。彎矩的無因次形式為

(29)

(30)

可以導得

(31)

(32)

將上式聯合最終得到構造正交異性板的應力表達形式

[zx(Mx-νyMy)λ2+zyνy(My-νxMx)]

(33)

[zxνx(Mx-νyMy)λ2+zy(My-νxMx)]

(34)

k4、k5經γ由各向同性板的彎曲要素表確定。

2.2 強度公式的分析

本文僅求得雙向密加筋板最大應力值，而不考慮應力的分布。又在均布載荷作用下，正交異性板的最大應力值在其長邊的中點，故僅用公式

[zx(Mx-νyMy)λ2+zyνy(My-νxMx)]

(35)

此時，要求L≥B。當L≤B時，可將L、B交換來計算結果。

3 有限元計算

3.1 有限元計算模型

板長取為定值L=1 800 mm，長寬比分別取0.8,1.0,1.2,1.4,1.6,1.8,2.2,2.4；

加筋類型及尺寸為

L60×40×4，L50×32×4，⊥4×60/4×40；

邊界條件為沿周界剛性固定；

加筋數目(橫筋×縱筋)為

3×3，3×4，3×4，4×4，4×5[4]；

載荷為均布載荷，q=0.04 MPa。

3.2 計算數據分析

限于篇幅，表1給出加筋數為3×3，加筋尺寸為L60×40×4，板長為1 800 mm的雙向密加筋板的計算結果。

表1 最大公式值與FEM計算值比較(載荷)

圖1包含了70個計算數據，顯示出本文公式計算值與有限元計算結果之間相對誤差的分布。其變異系數COV=1.29% 。

圖1 本文公式與FEM計算結果的誤差分布

3.3 計算撓度數據分析

構造正交異性板最大撓度為

(36)

式中k1通過γ由各向同性板的彎曲要素表確定。本文僅對長邊為奇數筋的角鋼通過使用1stopt軟件對公式參數修正，得到

(37)

加筋數為3×5，加筋尺寸為L60×40×4，板長1 800 mm的雙向密加筋板計算結果見表2。

表2 最大公式值與FEM計算值比較(撓度)

4 強度公式的修正

相同尺寸的T型材、L型材僅一個方向的抗彎剛度相同，其抗扭剛度和另外方向的抗彎剛度是不一樣的。故在有限元計算中，相同尺寸的T型材和L型材的應力值不一樣，須對它們分別修正。又因本文所推導的公式需采用各向同性板的彎曲要素,而各向同性板的彎曲要素僅列出板兩邊中點的彎矩值。在均布荷重下四周剛性固定的各向同性板最大彎矩位于板長邊的中點。故當長邊加筋數為奇數時，其最大應力位置與最大彎矩位置相同；而當長邊加筋數為偶數時，其最大應力位置與最大彎矩位置不同，也應分別修正。

通過對大量的有限元計算數據進行分析，綜合考慮到以上因素以及誤差的平均值、誤差與邊長比L/B的COV大小，利用最小二乘法,求得的修正系數見表3。

表3 公式修正系數

修正后的公式表達為

[zx(Mx-νyMy)λ2+zyνy(My-νxMx)]

(39)

式中:k——按表3所給數據選取。

5 結束語

大量計算驗證了本文提供的修正公式能夠對雙向密加筋板的強度進行準確預報，公式形式簡單，能夠廣泛運用于工程實際中。

[1] 劉彥峰,楊 平.密加筋板結構強度和穩定性的力學性能分析與結構設計[D].武漢：武漢理工大學,2006.

[2] PAIK J K, THAYAMBALLI A K, BONG J K. Large deflection orthotropic plate approach to develop ultimate strength formulations for stiffened panels under combined biaxial compression/tension and lateral pressure[J]. Thin-walled Structures, 2001(39):226-227.

[3] Я.И.考羅特金.板與圓筒形殼的彎曲及穩定性[M].陳鐵，方譯.北京：高等教育出版社，1958.

[4] 張征波.內河高速船的新型船體結構形式—雙向加筋板船體結構[J].船舶工程,2004,26(1):22-25.