變進數VCN概述

葉球孫 劉用麟

(武夷學院 數學與計算機系，福建 武夷山354300)

1 引言

文獻[1][2]提出創新廣義數——變進數(VCN,Variable Carrying Numbers)基本概念，標志著傳統數論中曾經一直習慣而常穩態研究的恒進數 (FCN,Fixed Carrying Numbers)，可以逐步走出世人對數的研究、發展及使用已深陷停滯不前多年的困惑境界。然而，十多年來，一直少有專家學者能對VCN饒有興趣而更加深入地做繼續的研究與探索。

深感無憾的是，對VCN研究一直保持情有獨鐘的原創作者，仍在進行堅持不懈的努力和忠貞不渝的探究；更覺欣慰的是，2003年第10屆中國人工智能學術大會即CAAI-10后，創新廣義數VCN，先后分別得到學術界泰斗而世界著名數學家、CAAI指導委員會名譽主席吳文俊資深院士和人工智能 (AI,Artificial Intelligence)學專家、CAAI榮譽理事長 (原理事長)、CAAI指導委員會主席涂序彥教授等權威專家們充分肯定與熱情支持的手跡書面意見。這對VCN理論技術提出和倡導者[1]，以及此后對VCN理論技術有興趣的研究和應用者，無疑都將是一個巨大精神鼓勵。

吳文俊院士認為，葉球孫所提出VCN，是創新而更為廣義概念上的數，有獨到觀點，這些觀點確有許多潛在科學研究及應用價值。涂序彥榮譽理事長則認為，葉所提及VCN，不僅可用于密碼通信與信息安全方面，而且可用于各種變結構、變參數、復雜系統建模、分析與綜合，研究開發AI新理論、新方法和新技術。

目前，在理論上，VCN定性為廣義概念上的數，其研究、發展及應用前景行將特別看好；在實用上，已形成了一些獨特問題求解新方法、新技術，并極有潛力拓展成為今后AI技術新理論及其應用研究重要技術支柱之一。本文旨在介紹VCN基本概念、理論數值計算技術及其潛在研究、發展與應用前景。

2 基本概念

2.1 數/數制

數(N,Numbers)，其研究對象基本上是用來描述客觀物質或抽象概念量值的多與少,或物質現象發生頻率的高與低[2]。如魚、水、火和聲響、城市、水災 、火燙傷等。用數來描述這些物質、概念或物質現象多少量值時，就可以這樣說：1尾魚、2噸水、3場大火、4回聲響、5個城市、6次水災、7處火燙傷，如此等等。

計數制或簡稱數制 (NDR,Numbers’Describing Rules)，就是描述物質、概念或現象量值多少過程中，必須遵循某一特定換算關系的一種規則，主要有兩大類別：離散換算制(DCR,Dispersed Computation Rules)和進位換算制(CCR,Carrying Computation Rules)。人類社會發展早期，DCR中大多數采用保持標致物/標志符方法來描述物質或現象量值大小的離散計數制，如用1顆小黃豆表示5只羊，1顆鷹嘴豆 (綠豆)表示10顆小黃豆(50只羊),等等；用DCR表示數稱離散數(DCN,Dispersed Computation Numbers)。但所有DCR均有著難以普及和推廣應用重大缺陷：保持標致物有困難或標志符共識有障礙，DCR因此逐漸被淘汰。于是，后來就只能在這些DCR中，不得不完全摒棄了標致物保持法而優選了共識標志符來做不同排列組合的進位計數制CCR新方法來描述客觀物質或現象量值多少,用CCR表示數稱進制數(CCN,Carrying Computation Numbers),簡稱CN或N。

2.2 數字/即位數字

數字/即位數字(Figures/Numerals)，它是構成任意進制數最基本單元代碼(共識標志符)，或說它是數制為實現數描述中不可或缺的砝碼,但這些最基本單元代碼或砝碼本身也有一定量值，可以描述一定量物質。如：阿拉伯字符1,2,3…,英字母A,B,C,…等半角字符。

2.3 權值/位權值/模值

進制數中某即位數字取亞小值“1”時，其所表示量值大小數值就稱為權值(P,Power value)，簡稱為權(P,Power)；即位數字與其權值乘積稱位權值(FW,Figures’WeightValue)，簡稱位權FW；允許表示數范圍大小的值稱為模值(M,Module)，即位數字模值(FM，Figures’Module)是指該位所允許使用即位數字基代碼個數，或為該即位數字最大值加1；而進制數模值(NM,Numbers’Module)是指所允許使用n位進制數的數值個數或n個FM值的卷積(連乘)值，或為該進制數最大值加1。因此，一個任意位數進制數大小值可表示為其所有位權值之和(即權值展開式∑FWs)。

2.4 恒進數FCN/變進數VCN

根據數制概念，描述物質量值大小規則應當可以是多種多樣的，即所謂特定換算關系機制可以是無窮無盡的。NDR主流是CCR，它又可分為恒進制(FCR,Fixed Carrying Rules)和變進制(VCR,Variable Carrying Rules)兩大類。在某一進制數中，相鄰位與位之間即位數字的進退變換關系總是恒守“同一”規則的，稱為FCR，采用FCR描述數稱為恒進制數，簡稱恒進數FCN。常用FCN有十進制數(D,Decimal numbers)、十六進制數 (H,Hexadecimal numbers)、八進數(Q,Octonal numbers)、二進數(B,Binary numbers)等。事實上，“不變”只是相對的、短暫的，“變化”才是絕對的、永恒的。CCN規則CCR也不例外。在某CCN中，相鄰位與位之間即位數字的進退變換關系并不總是恒守 “同一”規則的，其規則有時是可以任意設定和不斷變化的，可稱其為VCR，采用VCR描述數稱為變進制數，簡稱變進數VCN。如，年份變換，并非每年(陰歷年)都是12個月，遇到閏年時便有13個月，多出1個月稱為閏月；月份變換，也并非每月都是30天，月大時有31天，月小時卻只有30天或29天(甚至每逢平年時二月只有28天)；再如表示時間的秒、分、時和天，由秒到分、以及由分到時都是60進制的，由小時到天則又是24進制的。所以，表示年份數、月份數和天數等時間長短數，其實質上就是一些地道的VCN。

須特別指出，目前國際上數學、計算機科學及其它實際應用諸多領域里，許多對數的研究、發展及使用均已深陷停滯不前多年的困惑境界里，如，某計算機器允許使用有效數字位數(稱為數值分辨率或精度，取決于微處理器CPU字長)不夠(有限)而帶來數值計算的擾動，從而必然導致了兩個難以克服重大缺陷：1)有著嚴密定義的高頻率的正向數學運算的計算結果的誤差得到了延續不斷的放大；2)利用有著嚴密定義的高頻率的正向數學運算的結果做反向的數學逆運算時，輸出將無以復現輸入。其根本原因，就在于對數的應用研究，只局限于習慣勢力已久的FCN恒進計數規則FCR里，而無人問津于VCR研究與應用！他們大多數只感興趣于FCR計數制規則的FCN，或者只是選用不同FCR的FCN，僅此而已！如十進數D恒守“逢十進一，借一當十”同一規則；二進數B恒守“逢二進一，借一當二”同一規則；八進數Q恒守“逢八進一，借一當八”同一規則；十六進數H恒守“逢十六進一，借一當十六”同一規則；…任意(r+1)進制數N(r+1)恒守“逢(r+1)進一，借一當(r+1)”同一規則，r∈ N，N={1,2,3,… }，且 r=Max(Figures)，Figures 稱即位數字。

FCN中，最常用十進數D，始于中國商代(公元前17世紀～公元前11世紀)，但卻直到公元后第6世紀才推廣普及使用到世界各地[3]，至今已然長期主導并且占據著全球的數的統治使用地位又達1500年！這與正常人的雙手或雙腳擁有10個手指頭或腳趾頭的自然天成，有著極為密切關系。二進數B則是公元20世紀上半葉末所發明現代電子計算機(電腦)內部占據統治使用地位的FCR中最低FM值的FCN，可謂電腦系統內部世界就是二進制世界(FM=2)。

2.5 人工智能AI與智模數IFN

AI是一門新興邊緣學科[4],它已引起眾多學科日益重視,并且有越來越重要實用意義。許多具有不同專業背景科學家和工程師正在從AI這門年輕學科中發現諸多新思想和新方法。另外,AI也是計算機科學中智能計算機系統設計研究一個重要分支,它將研究：如何設計智能計算機系統,并讓這些系統投入實際運行或應用中,呈現出與人類智能行為，如理解語言、自我學習、邏輯推理、自動定理證明和問題求解等有關特性。在過去三、四十年里,就已建立了一些AI計算機系統。這些系統運用，其實就是在計算機上通過一特定計算機程序運行，亦即吳文俊院士所稱謂腦力勞動機械化[5]辦法來實現。如,能求解微分方程,能與人下棋,能設計分析集成電路,會合成人類自然語言,會檢索情報,會做疾病診斷,可控制太空飛行器和水下機器人運動,可模仿人獨立行走,并機智地避開障礙物,足球機器人比賽,如此等等。

數是認識世界和描述世界量化符號，數學是研究精密計算與深入分析的工具性科學。模糊數學是研究模糊性與精密性之間如何準確定位的技術性科學，它與精密數學存在并不矛盾，均系數學研究的一個重要分支，其學術中心任務應當是：如何在模糊中求取精確(而并非在精確中求取模糊!)。在模糊數學研究過程中,大量運用了集合論、不等式、函數和域等不少理論概念及其相關處理技術，并且已有了不少模糊控制類產品的出現，如模糊空調等。VCN中數制變化是無窮無盡的，也是可以人工智能地設置的，因此VCN模糊性極強，利用VCN可以很好地架起精密數學與模糊數學相互轉換的橋梁。智能模糊變進數 (AI-Fuzzy VCN)就是一種其數制變進關系規則可以人工智能地任意設置的變進數[6，12],簡稱智模數IFN。

3 進制數CCN處理技術

3.1 整型FCN特性及其計算

3.1.1 任意n位整型數FCN特性

1)等模性(SFM,Same Figures’Module):任意 i位上即位數字模FM均等,FM=FMi≡r+1;r∈N,N={1,2,3,…}

2)有界性(LFM,Limited Figures’Module):任意恒進數的即位數字模FM=FMi≡ r+1≧2;r∈N,N={1,2,3,… }

3)冪權性(DPN，Different Powers on Numbers’module):n位恒進數模 NM=(FM)n=(r+1)n;r∈N,N={1,2,3,…}

3.1.2 任意n位整型數FCN計算

設Fn-1Fn-2...F1F0為一任意n位r+1恒進數FCN。其中，r∈ N,Fn-1∈ Fn,Fn-2∈ Fn… ,F0∈ Fn，N={1,2,3,… },Fn={0,1,2,…,r}。則一個n位r+1整型FCN數值計算公式(按權值展開式)為

上式中r=Max(Figures)。顯然，n位r+1恒進整型最大數的數值計算公式為

3.2 整型VCN特性及其計算

3.2.1 任意n位整型數VCN特性

1)可 拓 性/壓 縮 性(Extensibility/Compressibility):相同數值大小的數由低進制向高進制轉換時，其數據外在表示形式可以得到壓縮，從而節約不少計算機內使用存儲空間，因而其數據表示[7]及存儲既可拓(Extensive)[8]，也可壓(Compressible)，故其容量溢出特性也是可變的，亦可稱其為容量的變溢性(VCO,Variable Capacities of Overflowing)。如覺得 θ、1、2、3、4、5、6、7、8、9十個阿拉伯數字字符還不夠用，還可建議拓展用A、B、C、… … ，X、Y、Z 等 26 個英文字母分別表示 10、11、12、… … 、33、34、35 數值。這樣就可以得到 2～36 間任意VCN(含FCN：最小2進數到最大36進數)。其中，用θ表示0,以示區別于O半角字母符。

2)模糊性/保密性(Fuzziness/Properties of keeping a secret):任意位上權值(或簡稱為權)為其系列相鄰低位即位數字模值FM的卷積,其外表組合排列數字的數值大小也是難以精確估算而模糊的，頗具模糊性。外在數據表示數值大小模糊性越強，其對外保密性就越好，可用于純數值加密計算技術。

3)智能性/設密性(Intellectuality/Properties of making a secret):n位VCN中相鄰位即位數字間VCR規則又是可以事先以AI技術設定的，所以VCN精確換算又是可以靈活實現而智能的，頗具智能性[4]。

3.2.2 任意n位整型數VCN計算

設FnFn-1…F1為一任意n位變進整型數VCN。其中，Fn∈ Rn,Fn-1∈ Rn-1,… ,F1∈ R1;rn∈ N,rn-1∈ N,… ,r1∈ N;N={1,2,3,… },Rn={0,1,2,3,…,rn},Rn-1={0,1,2,3,… ,rn-1},R1={0,1,2,3,…,r1},則一個n位整型VCN數值計算公式(按卷積展開式)為

上式中 r=Max(Fi)，i∈ N 。

顯然,n位整型VCN最大數值計算公式為

3.3 實型VCN與FCN計算

3.3.1 實型FCN表示及計算

設RF=Fn-1Fn-2...F1F0· F-1F-2...F-m+1F-m為一任意 n位r+1恒進整型、m位r+1恒進分型的實數FCN。其中，r∈ N,Fn-1∈ Fn,Fn-2∈ Fn,… ,F-m∈ Fn,N={1,2,3,… },Fn={0,1,2,… ,r},r=Max(Fi),i∈ {-m,-m+1,-m+2,… ,n-1}。則一個n位r+1恒進整數、m位r+1恒進小數的實型FCN數值計算公式(按權值展開式)為

3.3.2 實型VCN表示及計算

設RV=FnFn-1...F1· F-1F-2...F-m為一任意n位ri+1變進整型、m位ri+1變進分型的實數VCN。其中，ri∈N,Fn∈ Rn,Fn-1∈ Rn-1,… ,F-m∈ R-m,N={1,2,3,… },Ri={0,1,2,… ,ri},ri=Max(Fi),i∈ {-m,-m+1,… ,n-1,n}。則一個 n 位 ri+1變進整數、m位ri+1變進小數的實型VCN數值計算公式(按權值展開式)為

3.4 變進數VCN與恒進數FCN相互轉換

從FCN與VCN數值計算公式可以看出，當取VCN中相鄰位允許最大FM恒相等時，即FMn-1=FMn-2=...=FM1=FM0≡ r+1，r∈ {1，2，3，… }=N，且 r=Max(Figures)時，該VCN就變成了FCN。所以，FCN只是VCN中一些特例而已，FCN具有VCN全部共性，但已喪失了許多VCN應有個性。

FCN中，常用十進數D轉換成其它非D的FCN主要方法有兩種：1)整數用“除模(基)取余”法，小數用“乘模(基)取整”法；2)利用按權值展開式逆運算求解法。而其它非D的FCN轉換成常用十進數D時只有唯一方法，即按權值大小展開式的求解法。

根據VCN智能特性，它既可以將FCN中常用十進數D轉換為2≦FM＜10的任意低模(基)值FCN，又可以轉換為FM＞10任意高模(基)值FCN。數學家可以保證：任何一種FCN或VCN均可以用來準確描述任意物質量值大小或多少；任意循環或非循環數也均可用某種逼近的分式，或開奇偶次方根函數，或其它數學函數諸如各種插值/分段函數法來精確描述。

4 發展VCN研究前景

一個學科產生分支起源，總是從世人所關切而感興趣的重要問題研究；一旦形成了一些特有研究對象、特有研究方法、以及較系統理論和成果時，一門新學科就宣告誕生了。只不過有的學科是側重于以研究對象來劃分，有的則是側重于研究方法來劃分而已。

數論(或稱高等算術)是研究整數性質的一個數學分支。屬于數論范圍許多著名問題在很早就已開始研究，也得到了相當豐富成果；但很奇怪，數論作為一門獨立數學分支出現[9]，卻是遲至十九世紀初的事。直至高斯(C.F.Gauss)在1801年發表了天才著作《算術研究(Disquisitions Arithmeticae)》才成為世人公認的作為一門獨立學科－－數論誕生標志。數論最基本特有研究方法就是Gauss在這一天才著作中所創立的同余理論。

解析數論又是數論中以解析方法作為研究工具的一個分支。G.F.B.Rieman 在 1859 年發表著名論文《論不大于一個給定值素數個數 (ber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grǒsse)》是開始形成數論中一個重要分支－－解析數論主要標志。他利用解析方法來研究整數性質的研究出發點是以下著名歐拉(Euler)恒等式，即對任意實數s＞1，均有

這一恒等式也是數論中最重要定理－－算術基本定理的解析等價式，通過它可以把世人很少了解素數p和非常熟悉自然數n以十分明確形式聯系起來，即素數性質可以通過函數

在數論、解析數論、以及其它諸多有關數實際研究與應用(含整型數與分型數)中，有一個無可否認事實是：全世界都在按照一定習慣勢力地使用著普遍遵守FCR的FCN，如占據統治使用地位的十進數D和計算機內占統治使用地位的二進數B。由于FCR刻板性和計算機器CPU字長有限性，給傳統數值計算技術帶來無以克服的溢出和擾動現象。這恐怕與獨立數學分支即數論出現姍姍來遲奇怪現象，不無內在必然聯系；而VCR靈活性可以克服CPU字長有限性，能實現無溢出和無擾動的數值計算。因此，基于VCR特性的VCN數值計算技術，確有許多潛在科學研究及應用價值，VCN發展前景無限。如果一味只習慣FCN研究，那么只能得到“只見樹木，不見森林”的結果；發展VCN研究，可以更好地促進FCN應用，它可以不用改變傳統習慣勢力對世人已產生先入為主的固疾影響，比如世人已習慣了FCN中十進數D的正確使用－－這沒關系，現代超強巨型計算機科學技術，可以輕而易舉地將VCN數據處理結果輸出轉換為FCN中世人所熟悉的十進數D。

5 變進數VCN應用

VCR特性VCN可用于如下領域：1)AI智能搜索技術中，傳統經典無信息搜索中訪問數據結點數如寬度優先搜索寬度值和深度優先搜索深度值的表示等[10,11]。2)密碼科學技術中，更新傳統FCN加密和解密的智能數值計算等[12]。3)精密數值計算技術中，更新傳統FCN數值計算技術，可實現智能無溢出、無擾動(即運算結果正負誤差可逼近為零)精確數值計算等[13-15]。4)數值分析中，信度計算、誤差判定、數值表示、極值條件優化、多值模糊邏輯等[16-18]。5)圖文聲技術中，簡單拓撲特征圖形、字符和聲音信息的精確表示、3D實體圖形表面可視性的視覺計算等[19,20]。6)數論和計算技術中，給定N值內素數個數函數π(N)求解[21]、不同FCR/FCN精確數值轉換和衡量超強計算功能指標的技術標桿，數值壓縮和語言拓展技術等。

6 結束語

VCN是FCN延伸，也是全新而廣義的概念數。FCN只是VCN中一些特殊情形，它雖具VCN一切共性，但已喪失VCN不少個性。VCN研究就是對廣義數的共性及其更為豐富個性的深入挖掘性研究，也是對傳統數值計算技術革新性研究；而且，VCN比FCN應用更加廣泛，也更具現實意義。

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