Orlicz空間中的Zbǎganu常數(shù)

許 晶,苑小磊

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 通化 134002)

1 預(yù)備知識(shí)

令φ為N函數(shù)，在測度空間(Ω,∑,u)中生成的Orlicz空間標(biāo)記為Lφ(u)范數(shù)有Luxemburg范數(shù)和Orlicz范數(shù)，其中Ω可以取[0,1]，N，R+．當(dāng)Ω取N時(shí)，我們把生成的Orlicz空間標(biāo)記為Lφ．最后，我們給出一些文中常用的記法：

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)X為Banach空間，則J(X)<2當(dāng)且僅當(dāng)CZ(X)<2．

證明 必要性 文[1]中作者證明了對(duì)于任何非平凡的Banach空間X，都有

另一方面，由CZ(X)和CNJ(X)的定義顯然可知CZ(X)≤CNJ(X)，因此可得

由J(X)<2，可知CZ(X)<2．

充分性 對(duì)任何Banach空間X，有

(1)

事實(shí)上，當(dāng)x,y∈S(X)時(shí)，

[min‖x+y‖,‖x-y‖]2≤
‖x+y‖×‖x-y‖≤
CZ(X)(‖x‖2+‖y‖2)=2CZ(x)

這就證明了(1)式．因此，當(dāng)CZ(X)<2時(shí)，由(1)式可知J(X)<2．

推論1Lφ自反當(dāng)且僅當(dāng)Lφ一致非方，當(dāng)且僅當(dāng)CZ(Lφ)<2．

證明 由定理1和文[2]中的結(jié)果容易證得結(jié)論成立．

引理1 設(shè)φ為N函數(shù)，則下列不等式成立:

①當(dāng)空間被賦予Luxemburg范數(shù)時(shí)，有

②當(dāng)空間被賦予Orlicz范數(shù)時(shí)，有

其中(φ,ψ)為一對(duì)互余的函數(shù)．

證明 由不等式(1)和文[3]關(guān)于J(Lφ),J(lφ)的下界估計(jì)易得到上面的結(jié)論．

引理2 設(shè)φ為N函數(shù)，φ0(u)=u2，0

(2)

若測度空間(Ω,∑,u)是一個(gè)σ有限空間，則由φs生成的Orlicz空間Lφ，被賦予Luxemburg范數(shù)或Orlicz范數(shù)時(shí)，都有CZ(Lφs)≤21-s．

證明 由文[4]知對(duì)任何x,y∈Lφ，由Clarkson型不等式可得：

(3)

另外，由H?lder型不等式可得：

特別的，當(dāng)n=2時(shí)，有

(4)

(5)

由(5)可知當(dāng)(x,y)≠(0,0)時(shí)，有

從而引理得證．

例1 設(shè)

φ(u)=|u|2p+2|u|p(1

φs由它的反函數(shù)

來確定．于是

從而由引理1和引理2可得

CZ(Lφs[0,1])=21-s,

證明 當(dāng)空間被賦予Luxemburg范數(shù)時(shí)，由引理1和引理2可知：

(6)

其中

(7)

或者

注意對(duì)任何N函數(shù)φ，都有

當(dāng)βφ=1時(shí)，由(7)可知

因此

(8)

綜上可以得到下面兩個(gè)結(jié)果：

(1)設(shè)1

參考文獻(xiàn)：

[1]Changsen Yang.A note on Jordan-von Neu-mann constant and James constant[J].Math.Appl. 2009,357:98-102.

[2]CHEN S T.Geometry of Orlicz spaces[M].Dissertations Math.,1996,356:1-204.

[3]Ren Z D.Nonsquare Constants of Orlicz Spaces,Stochastic Processes and Functional Analysis[G]//Edited by J.A.Goldstein,N.E.Gretsky and J.J.Uhl,Jr.,Marcel Dekker.Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics.1997,186:179-197.

[4]Rao M M,REN Z D.Applications of Orlicz Spaces[M].USA：Pure and Applied Mathematics.,2002.